4.4: Desigualdad aritmética-geométrica

Se han presentado modestas generalizaciones de inducción matemática básica (Corolario\(4.8\) y Corolario 4.9). La formalidad de nuestro enfoque podría sugerir que la inducción es una técnica rígida que debe aplicarse de manera inflexible de manera prescriptiva específica. A un matemático la inducción se rige por dos ideas:

(1) La inducción utiliza el ordenamiento bien de los números naturales, o más generalmente cualquier conjunto bien ordenado, para probar declaraciones universales cuantificadas sobre el conjunto.

(2) Cada elemento del conjunto sobre el que cuantifique debe ser contabilizado por la inducción.

Las caracterizaciones formales de inducción en Sección\(4.2\) son suficientes pero no necesarias para lograr los objetivos de una prueba por inducción. El teorema de esta sección te dará un sentido sobre cómo se puede extender la técnica de inducción. DEFINICIÓN. Media aritmética Let\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) Ser números reales. La media aritmética de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) es\[\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right) .\] Definición. Media geométrica Let\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) be números reales positivos. La media geométrica de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) es\[\sqrt[N]{a_{1} \cdots a_{N}} .\] TEOREMA 4.16. Desigualdad media aritmética-geométrica Let\(a_{1}, \ldots, a_{N} \in\)\(\mathbb{R}^{+}\). Después\[\sqrt[N]{a_{1} \cdots a_{n}} \leq \frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right) .\] Discusión. Esto lo demostramos con un argumento interesante debido originalmente a Cauchy; nuestro tratamiento es del libro [1]. Argumentamos por inducción sobre el tamaño de la muestra sobre la cual estamos calculando las medias. Después de argumentar el caso base mostramos que si la desigualdad se mantiene para las medias aritméticas y geométricas de\(N\) los números, necesariamente se sostiene para las medias de\(2 N\) los números. Esto implica que el teorema se sostiene para las medias de\(2^{N}\) números para cualquier\(N \in \mathbb{N}\) (por un argumento de inducción estándar).

Luego mostramos que el resultado que se mantiene para\(N\) los números implica que se mantiene para\(N-1\) los números. Esto implica que si el resultado se mantiene en un número natural\(N\), la desigualdad se mantiene para todos los medios de menos de\(N\) números. Dado cualquiera\(k \in \mathbb{N}, 2^{k}>k\) y dado que el teorema se sostiene para medias de\(2^{k}\) números, se sostiene para medios de\(k\) términos.

Comprobante. Argumentamos por inducción sobre el número de términos en cada lado de la desigualdad.

Caso base:\((N=2)\)

Vamos\(a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}^{+}\). Entonces\[\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}=a_{1}^{2}-2 a_{1} a_{2}+a_{2}^{2} \geq 0 .\] Por lo tanto\[2 a_{1} a_{2} \leq a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\] y\[\begin{aligned} 4 a_{1} a_{2} & \leq a_{1}^{2}+2 a_{1} a_{2}+a_{2}^{2} \\ &=\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2} . \end{aligned}\] Así\[2 \sqrt{a_{1} a_{2}} \leq a_{1}+a_{2} .\] Por lo tanto la desigualdad se mantiene por dos términos.

Paso de inducción:

\(P(N)\)Sea la afirmación que (4.17) sostiene para todos\(a_{1}, \ldots, a_{N}>0\). Eso lo demostramos\(P(N) \Rightarrow P(2 N)\). Dejar\[G_{N}=\prod_{n=1}^{N} a_{n}\] y\[A_{N}=\left(\frac{\sum_{n=1}^{N} a_{n}}{N}\right) .\] Así\[\begin{aligned} G_{2 N} &=\prod_{n=1}^{2 N} a_{n} \\ &=\left(\prod_{n=1}^{N} a_{n}\right)\left(\prod_{n=N+1}^{2 N} a_{n}\right) \\ & \leq_{I H}\left(\sum_{n=1}^{N} \frac{a_{n}}{N}\right)^{N}\left(\sum_{n=N+1}^{2 N} \frac{a_{n}}{N}\right)^{N} \end{aligned}\] Que\[B=\sum_{n=N+1}^{2 N} \frac{a_{n}}{N} .\] Por el caso base\[\begin{aligned} A_{N} B & \leq\left(\frac{A_{N}+B}{2}\right)^{2} \\ &=\left(A_{2 N}\right)^{2} \end{aligned}\] Así\[\begin{aligned} \left(A_{N}\right)^{N} B^{N} &=\left(A_{N} B\right)^{N} \\ & \leq\left(\left(A_{2 N}\right)^{2}\right)^{N} \\ &=\left(A_{2 N}\right)^{2 N} \end{aligned}\] Así Por\[G_{2 N} \leq\left(A_{2 N}\right)^{2 N} .\] lo tanto, para cualquier\(N \in \mathbb{N}^{+}\),\[P(N) \Rightarrow P(2 N) .\] Discusión. \(Q(N)\)Déjese ser la declaración\(P\left(2^{N}\right)\). Entonces el argumento hasta el momento es una prueba estándar por inducción de\(\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) Q(N)\). Por supuesto que queremos mostrar\((\forall N \in \mathbb{N}) P(N)\). Esto lo hacemos demostrando\[\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] Let\(N>2\). Demostramos que\[P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] Asumir\(P(N+1)\). Después\[\left(G_{N}\right)\left(A_{N}\right) \leq\left(\frac{\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right)+A_{N}}{N+1}\right)^{N+1} .\] Discusión. Recordemos que\(G_{N}\) es producto de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\). Estamos tratando la suma\(A_{N}\) como el\(N+1^{\text {st }}\) factor,\(a_{N+1}\), y aplicando la desigualdad\(P(N+1)\).

Como\(4.18\) da\[\begin{aligned} \left(\frac{\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right)+A_{N}}{N+1}\right)^{N+1} &=\left(\frac{N A_{N}+A_{N}}{N+1}\right)^{N+1} \\ &=\left(A_{N}\right)^{N+1} \end{aligned}\] la Desigualdad\[G_{N} A_{N} \leq A_{N}^{N+1}\] y así\[G_{N} \leq\left(A_{N}\right)^{N}\] cuál es la declaración\(P(N)\). Entonces, de\[\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] ahí para todos\(N \geq 2, P(N)\).

La media aritmética y la media geométrica son diferentes formas de entender los promedios. Se relacionan por la desigualdad aritmética de la media geométrica (llamada desigualdad AGM). ¿Podemos aplicar la desigualdad? Consideremos una fácil aplicación geométrica del estuche\(N=2\). Considera el rectángulo con lados de largo\(a\) y\(b\). El perímetro del rectángulo es\[P=2 a+2 b\] y el área es\[A=a b .\]

En cálculo se demostró que el rectángulo de perímetro fijo con mayor área es el cuadrado. Esto también se puede probar directamente a partir de la desigualdad AGM:\[\begin{aligned} P &=2 a+2 b \\ &=\frac{4 a+4 b}{2} \\ & \geq \sqrt{16 a b} \\ &=4 \sqrt{a b} . \end{aligned}\] Así\[\frac{P^{2}}{16} \geq a b=A .\] Recordemos que\(P\) es fijo, y por lo tanto así es\(\frac{P^{2}}{16}\), y hemos demostrado que este es un límite superior para el área del rectángulo.

¿Se logra este límite superior? El área\(A\) del rectángulo varía según las dimensiones del rectángulo y si\(a=b\)\[\frac{P^{2}}{16}=\frac{(4 a)^{2}}{16}=A .\] Así se logra el área máxima del rectángulo cuando\(a=b\). Este resultado puede generalizarse a dimensiones superiores, sin necesidad de cálculo multivariable.

Demostrar teoremas no es solo una cuestión de técnica, aunque esto debe dominarse. También requiere creatividad y perspicacia. Una hermosa colección de pruebas está contenida en el libro [1] de Martin Aigner y Günter Ziegler.