5.4: Ejercicios

EJERCICIO 5.1. Demostrar que las definiciones de límite en las páginas 129 y 130 son las mismas.

EJERCICIO 5.2. Demostrar Lema 5.14, y la aseveración relacionada de que\(|c|-|d| \leq|c+d|\).

EJERCICIO 5.3. Para\(n \in \mathbb{N}^{+}, a_{i} \in \mathbb{R}(1 \leq i \leq n)\), demostrar que\[\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right| .\] EJERCICIO 5.4. Demostrar Lema\(5.15\).

EJERCICIO 5.5. Demostrar parte (v) del Teorema 5.9.

EJERCICIO 5.6. Dé un ejemplo de dos funciones\(f\) y\(g\) que no tengan límites en un punto\(a\) pero tal que\(f+g\) sí. Para el mismo par de funciones,\(f-g\) también puede tener un límite en\(a\)? EJERCICIO 5.7. Supongamos que\(f\) es una función real y\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\)\(L\). Demostrar que si\(X \subseteq \operatorname{Dom}(f)\), entonces\[\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=L .\] EJERCICIO 5.8. Usa el método de Arquímedes (el método de las sumas de Riemann) para demostrarlo\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}\] (Necesitarás conocer una fórmula para\(\sum_{k=0}^{n} k^{2}\) - ver Proposición 4.6).

EJERCICIO 5.9. Utilice el método de Arquímedes para probarlo\[\int_{0}^{1} x^{3} d x=\frac{1}{4} .\] (Ver Ejercicio 4.16).

EJERCICIO 5.10. Demostrar que la función Heaviside tiene límites tanto a la izquierda como a la derecha en\(0 .\)

EJERCICIO 5.11. Demostrar que una función tiene un límite en un punto si y sólo si tiene límites tanto izquierdo como derecho en ese punto y sus valores coinciden.

EJERCICIO 5.12. Demostrar que el Teorema\(5.9\) aplica a límites restringidos.

EJERCICIO 5.13. El punto\(a\) es un punto límite del conjunto\(X\) si, por cada\(\delta>0\), existe un punto\(x\) adentro\(X \backslash\{a\}\) con\(|x-a|<\delta\). Dejar\(f\) ser una función de valor real en\(X \subseteq \mathbb{R}\). Demostrar que si\(a\) es un punto límite de\(X\), entonces si\(f\) tiene un límite restringido en\(a\) él es único. Demostrar que si no\(a\) es un punto límite de\(X\), entonces cada número real es un límite restringido de\(f\) at\(a\).

EJERCICIO 5.14. \(\lim _{x \rightarrow 0} \sin (x) / x=1\)Demuéstralo.

EJERCICIO 5.15. Demostrar Proposición 5.22.

EJERCICIO 5.16. Demostrar que la función\(f(x)=x\) es continua en todas partes\(\mathbb{R}\). EJERCICIO 5.17. En el Ejercicio 4.12 se da una fórmula para los números de Fibonacci. Evaluar\(\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n+1} / F_{n}\).

EJERCICIO 5.18. ¿Qué tan grande debe\(n\) ser para asegurar que\(F_{n+1} / F_{n}\) está dentro\(10^{-1}\) del límite en el Ejercicio 5.17? \(10^{-2}\)¿Dentro? \(10^{-k}\)¿Dentro?

EJERCICIO 5.19. Define la función\(\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\[\psi(x):= \begin{cases}0 & x \notin \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{Q} .\end{cases}\] Demostrar que\(\psi\) es discontinuo en todas partes.

EJERCICIO\(5.20\). Definir la función\(\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\[\phi(x):= \begin{cases}0 & x \notin \mathbb{Q} \\ \frac{1}{n} & x \in \mathbb{Q} \backslash\{0\}, x=\frac{m}{n}, \operatorname{gcd}(m, n)=1, n>0 \\ 1 & x=0 .\end{cases}\] Demostrar que\(\phi\) es continua en cada número irracional y discontinuo en cada número racional.

EJERCICIO 5.21. Demostrar que una función de valor real\(f\) en un intervalo abierto\(I\) es continua en cualquier punto donde exista su derivada, es decir, donde\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] exista. ¿Cuál es lo contrario de esta afirmación? Demostrar que lo contrario no es cierto.

EJERCICIO 5.22. Demostrar que si la función\(f\) tiene el límite\(L\) de la derecha en\(a\), entonces la secuencia\(f\left(a+\frac{1}{n}\right)\) tiene límite\(L\) como\(n \rightarrow \infty\). Demostrar que lo contrario es falso en general.

EJERCICIO 5.23. Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones reales. Vamos\(a \in \mathbb{R}\) y supongamos que\[\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L_{1}\] y\[\lim _{x \rightarrow L_{1}} f(x)=L_{2} .\] Demostrar que\[\lim _{x \rightarrow a} f \circ g=L_{2} .\] Si\(g\) es continuo en\(a\) y\(f\) es continuo en\(g(a)\), es\(f \circ g\) continuo en\(a\)?

EJERCICIO 5.24. Que\(f\) sea una función real,\(a \in \mathbb{R}\) y\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\)\(L\). Si\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) converge a\(a\), demostrar que\(\left\langle f\left(a_{n}\right)\right\rangle\) converge a\(L\).

EJERCICIO 5.25. Ejemplo Completo 5.26. Es decir, probar que\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{3}}\right) \frac{(n)(n+1)(2 n+1)}{6}=1 / 3 .\] EJERCICIO 5.26. Evaluar ¿\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} .\]Se puede dar una interpretación geométrica de este límite?

EJERCICIO 5.27. Utilice la inducción para demostrar que cada polinomio es continuo en cada número real.

EJERCICIO 5.28. Vamos\(-1<x<1\). Demostrar que la serie geométrica con relación\(x, \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}\), converge a\(\frac{1}{1-x}\).

EJERCICIO 5.29. Que los números de Fibonacci\(F_{n}\) se definan como en el Ejercicio 4.12. Considera la serie Power\(F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} F_{n} x^{n}\). Demostrar que la serie power satisface\[F(x)=x^{2} F(x)+x F(x)+x .\] Solve (5.32) para\(F(x)\), descomponerla por fracciones parciales y usar Ejercicio\(5.28\) para derivar Fórmula\(4.20\). Esta técnica para encontrar una fórmula para\(F_{n}\) estudiar la función\(F\) suele ser fructífera. La función\(F\) se llama la función generadora para la secuencia.

EJERCICIO 5.30. Supongamos que se define una secuencia con la misma relación de recurrencia que los números de Fibonacci\(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\), pero con diferentes valores iniciales para\(F_{1}\) y\(F_{2}\). Encontrar la función generadora para la nueva secuencia, y de ahí calcular una fórmula para el término general. ¿\(\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n+1} / F_{n}\)Siempre es lo mismo?

EJERCICIO 5.31. Demostrar que el seno y el coseno son funciones continuas en todos\(\mathbb{R}\).