5.3: Secuencias de funciones

La mayoría de las funciones que has encontrado tienen la propiedad de que en (casi) cada punto la función tiene un límite que concuerda con su valor allí. Esta es una característica muy útil de una función, y se llama continuidad.

DEFINICIÓN. Continuo Let\(f\) ser una función real con dominio\(X \subseteq \mathbb{R} .\) Let\(a \in X\). Entonces decimos que\(f\) es continuo en\(a\) si\(\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=\)\(f(a)\). Decimos que\(f\) es continuo\(X\) si es continuo en cada punto de\(X\)

Intuitivamente, la idea de una función continua en un intervalo es que no tiene saltos. Esto lo haremos preciso en el Capítulo 8 cuando probemos el Teorema del Valor Intermedio 8.10, que afirma que si una función continua en un intervalo toma dos valores distintos\(c\) y\(d\), también debe asumir cada valor entre\(c\) y \(d\).

EJEMPLO 5.18. Demostrar que la función\(f(x)=x^{2}\) es continua en\(\mathbb{R}\). Discusión. ¿Cómo haríamos esto desde los primeros principios? Tenemos que demostrar que para cada\(a \in \mathbb{R}\), para cada\(\varepsilon>0\), siempre podemos encontrar un\(\delta>0\) tal que para cualquiera\(x \in \mathbb{R}\)\[|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad\left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon .\] (¿Por qué no necesitamos agregar la hipótesis\(0<|x-a|\)?) La forma más fácil de hacerlo es anotar una fórmula que, dada\(a\) y\(\varepsilon\), produce una\(\delta\) satisfactoria (5.19).

Como\(x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)\), si\(|x-a|\) es menor que algún número\(\delta\) (aún sin especificar), entonces\(\left|x^{2}-a^{2}\right|\) es menor que\(\delta|x+a|\). Entonces queremos No\[\delta|x+a| \leq \varepsilon\] podemos elegir\(\delta=\varepsilon /|x+a|\), porque\(\delta\) no podemos depender de\(x\). Pero si\(|x-a|<\delta\), entonces\[\begin{aligned} |x+a| & \leq|x|+|a| \\ &<|a|+\delta+|a|=2|a|+\delta, \end{aligned}\] SO\[\left|x^{2}-a^{2}\right|<\delta(2|a|+\delta) \stackrel{?}{\leq} \varepsilon .\] Debemos elegir\(\delta\) para que la última desigualdad se mantenga. Por la fórmula cuadrática,\[\delta(2|a|+\delta) \leq \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \delta \leq \sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a| .\] Así que elige\(\delta=\sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a|\) y (5.19) sostiene.

OBSERVACIÓN. Una prueba formalmente correcta podría haberse reducido a:

PRUEBA. Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y\(\varepsilon>0\). Entonces dejando\(\delta=\sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a|\) que tengamos\(|x-a|<\delta \Longrightarrow\left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon\). Q.E.D.

Sin embargo, si bien un lector diligente podría verificar que esta prueba es correcta,\(\delta\) sacarse de un sombrero como este no le da al lector la idea de que nuestra prueba mucho más larga sí. Recuerde, una prueba tiene más de una función: no sólo debe convencer al lector de que el resultado reclamado es cierto, sino que también debe ayudar al lector a entender por qué el resultado es cierto. Una buena prueba debe ser descriptible en unas pocas frases en inglés, para que un oyente experto pueda entonces ir a escribir una prueba más detallada con bastante facilidad.

OBSERVACIÓN. No es necesario elegir el mayor valor de para\(\delta\) que la desigualdad\(\stackrel{?}{\leq}\) en (5.21) se mantenga - cualquier positivo\(\delta\) que satisfaga la desigualdad funcionará. Esto permite simplificar el álgebra. Por ejemplo,\(\delta_{1}\) seamos tales que\[|x-a|<\delta_{1} \Rightarrow|x+a|<2|a|+1 .\] (Tal\(\delta_{1}\) existe a partir de la continuidad de la función más simple\(x \mapsto x\)). Entonces vamos\[\delta=\min \left(\delta_{1}, \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right)\] y (5.20) sostiene.

Se podría imaginar repetir pruebas como las anteriores para demostrar eso\(x^{3}\)\(x^{4}\),, y así sucesivamente son continuas, pero queremos dar grandes pasos. ¿Podemos mostrar que todos los polinomios son continuos?

Primero observe que debido a que los límites se comportan bien con respecto a las operaciones algebraicas (Teorema 5.9), y la continuidad se define en términos de límites, entonces las combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas.

Proposición 5.22. Supongamos\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) y\(g: X \rightarrow \mathbb{R}\) son funciones reales que son continuas en\(a \in X\). Dejar\(c\) y\(d\) ser escalares\({ }^{2}\). Entonces\(c f+d g\) y ambos\(f g\) son continuos a una, y así es\(f / g\) si\(g(a) \neq 0\).

PRUEBA. Ejercicio.

Las funciones constantes son continuas (Lema 5.15), y la función\(f(x)=x\) es continua (Ejercicio 5.16). Así se puede demostrar por inducción sobre el grado de polinomio, utilizando la Proposición 5.22, que todos los polinomios son continuos (Ejercicio 5.27). Una vez que hayas demostrado que todos los polinomios son continuos, puedes probar que las funciones racionales son continuas donde el denominador no se desvanece.

Este resultado se utiliza con tanta frecuencia que lo declararemos formalmente.

\({ }^{2}\)Un escalar es solo una palabra elegante para un número. PROPOSICIÓN 5.23. Cada polinomio es continuo en\(\mathbb{R}\). Toda función racional es continua donde el denominador es distinto de cero.

Qué pasa con la función exponencial\[e^{x}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} ?\] Cada suma parcial es un polinomio, y por lo tanto continuo; así que si supiéramos que el límite de una secuencia de funciones continuas era continuo, estaríamos hechos. Esto resulta, sin embargo, ser un problema sutil, que abordamos en la siguiente Sección.