7.1: Teorema Fundamental de la Aritmética

En este capítulo investigamos la divisibilidad. Puede parecer peculiar que investiguemos un tema que has estudiado desde la primaria, pero no te dejes engañar por la aparente sencillez del tema. El estudio de la divisibilidad de los números enteros forma parte de la teoría de números. La geometría y la teoría de números son las áreas más antiguas del estudio matemático, y siguen siendo campos activos de la investigación matemática.

Teorema fundamental de la aritmética

DEFINICIÓN. Divide, factor Let\(a, b \in \mathbb{Z}\). Decimos que\(a\) divide\(b\), o\(a\) es un factor de\(b\), si\[(\exists c \in \mathbb{Z}) a \cdot c=b .\] Escribimos esto como\(a \mid b\). Si\(a\) no divide\(b\) escribimos\(a \nmid b\).

La divisibilidad es la idea central de la teoría de números. Es precisamente porque un entero no necesita ser un factor de otro entero, o un par de enteros puede no tener factores comunes no triviales, que la divisibilidad proporciona una visión de la estructura de los enteros. Dicho de otra manera, considere la definición de divisibilidad aplicada a los números racionales; encontrará que no proporciona ninguna idea en absoluto ya que un número racional distinto de cero es un factor de cualquier otro número racional. Además, muchas de las propiedades de los enteros con respecto a la divisibilidad generalizan muchas de las propiedades de los enteros con respecto a la divisibilidad generalizan de esta en la Sección 7.5.

DEFINICIÓN. Número primo Let\(p \in \mathbb{N}\). Decimos que\(p\) es un número primo si\(p>1\) y los únicos factores positivos de\(p\) son\(p\) y 1. DEFINICIÓN. Relativamente prime Let\(a, b \in \mathbb{Z}\). Eso decimos\(a\) y\(b\) son relativamente primos si no tienen un factor común mayor a 1.

DEFINICIÓN. Combinación entera Let\(a, b, c \in \mathbb{Z}\). Entonces\(c\) es una combinación entera de\(a\) y\(b\) si\[(\exists m, n \in \mathbb{Z}) c=m a+n b .\] PROPOSICIÓN 7.1. Vamos\(a, b \in \mathbb{Z}\). Si\(a\) y\(b\) son relativamente primos, entonces\(a-b\) y\(b\) son relativamente primos.

Discusión. Demostraremos lo contrapositivo demostrando que cualquier factor común de\(a-b\) y también\(b\) es un factor de\(a\).

PRUEBA. Dejar\(c>1\) ser un factor común de\(b\) y\(a-b\). Entonces\[(\exists m \in \mathbb{Z}) b=c m\] y\[(\exists n \in \mathbb{Z}) a-b=c n .\] Entonces\[c(m+n)=a\] y así\(c \mid a\). Por lo tanto si\(a\) y\(b\) son relativamente primos, entonces\(a-b\) y\(b\) son relativamente primos.

PROPOSICIÓN 7.2. Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros. Si\(a\) y\(b\) son relativamente primos, entonces\[(\exists m, n \in \mathbb{Z}) m a+n b=1 .\] Discusión. Argumentaremos a favor del caso en el que\(a\) y\(b\) son números naturales. Dada la propuesta para todos los pares de números naturales relativamente primos, podemos extenderla fácilmente a pares arbitrarios de números enteros relativamente primos cambiando el signo de\(m\) o\(n\) en la combinación de enteros. Esta suposición nos permite argumentar por inducción sobre la suma de los enteros. El argumento base para este argumento por inducción será\(a+b=3\). Si\(a=0=b\), entonces\(a\) y no\(b\) son relativamente primos. Si\(a+b=1\), entonces\(a\) y\(b\) son relativamente primos y la elección de\(m\) y\(n\) es obvia. Si\(a=b=1\) entonces\(a\) y\(b\) son relativamente primos y nuevamente la elección de\(m\) y\(n\) es obvia.

Comprobante. Eso podemos suponer\(a>b>0\). Argumentamos por inducción sobre\(a+b\).

Caso base:\(a+b=3\).

Entonces\(a=2\) y\(b=1\). Entonces paso\[a-b=1 .\] de inducción:

Supongamos que el resultado se mantiene para todos los pares de números naturales relativamente primos con suma menor que\(a+b\).

Por la Proposición 7.1,\(b\) y\(a-b\) son relativamente primos. Por la hipótesis de inducción, hay\(i, j \in \mathbb{Z}\) tales que\[i(a-b)+j b=1 .\] Discusión. Si\(a-b=b\), no estamos en el caso donde tenemos dos números positivos distintos. ¿Cómo manejamos esta posibilidad?

Dejar\(m=i\) y\(n=j-i\). Entonces\[m a+n b=1 .\] Por el principio de inducción el resultado se mantiene para todos los pares relativamente primos de números naturales.

DEFINICIÓN. Mayor divisor común,\(\operatorname{gcd}(a, b)\) Let\(a, b \in \mathbb{Z}\). El mayor divisor común de\(a\) y\(b\), escrito\(\operatorname{gcd}(a, b)\), es el entero más grande que divide ambos\(a\) y\(b\).

Entonces\(a\) y\(b\) son relativamente primos iff\(\operatorname{gcd}(a, b)=1\).

Proposición 7.3. Vamos\(a, b, c \in \mathbb{Z}\), y asumamos eso\(\operatorname{gcd}(a, b)=1\). Si\(a \mid c b\), entonces\(a \mid c\).

PRUEBA. Por Proposición\(7.2\) hay\(m, n \in \mathbb{Z}\) tales que\[m a+n b=1 .\] Por lo tanto\[c m a+c n b=c .\] Claramente\(a \mid c n b(\) desde\(a \mid c b)\) y\(a \mid c m a\). Entonces\[a \mid(c m a+c n b)\] y por lo tanto\(a \mid c\).

PROPOSICIÓN 7.4. Deje\(a, b, c \in \mathbb{Z} .\) Si\(\operatorname{gcd}(a, b)=1, a \mid c\) y\(b \mid c\), luego\[a b \mid c\] PRUEBA. Que\(m, n \in \mathbb{Z}\) sean tales que\(a m=c\) y\(b n=c\). Entonces\[a \mid b n\] Por Proposición\(7.3, a \mid n\). De ahí que exista\(k \in \mathbb{Z}\) tal que\[a k=n\] Por lo tanto\[a k b=c\] y\[a b \mid c\] LEMMA 7.5. Supongamos que
(1)\(p \in \mathbb{N}\) es primo
(2)\(N \geq 1\) y\(a_{1}, \ldots, a_{N} \in \mathbb{Z}\)
(3)\(p \mid\left(\prod_{n=1}^{N} a_{n}\right)\).

Entonces hay algunos\(n \leq N\) tales que\(p \mid a_{n}\).

Comprobante. Dejar\(p\) ser un número primo. Argumentamos por inducción sobre\(N\).

Caso base:\(N=1\)

El caso base es obvio.

Paso de inducción:

Vamos\(N>1\) y supongamos que el resultado se mantiene para todos los productos de menos que\(N\) factores.

Vamos\[a=\prod_{n=1}^{N-1} a_{n}\] y supongamos que\[p \mid\left(\prod_{n=1}^{N} a_{n}\right) .\] Entonces\[p \mid a \cdot a_{N} .\] Si\(p \mid a\), entonces por la hipótesis de inducción,\[(\exists n<N) p \mid a_{n} .\] Supongamos que no\(p\) es un factor de\(a\); ya que\(p\) es primo, \(\operatorname{gcd}(p, a)=1\). Por la Proposición 7.3,\(p \mid a_{N}\).

TEOREMA 7.6. Teorema Fundamental de la Aritmética Let\(N\) Ser un número natural mayor a 1. Entonces\(N\) puede expresarse de manera única como el producto de números primos (hasta el orden de los factores).

DISCUSIÓN. Permitimos un “producto” con un solo factor. Así que cualquier número primo es su propio factoring primo único.

PRUEBA. Argumentamos por inducción sobre los números naturales mayores que\(1 .\)

Caso base:\((N=2)\)

Por la discusión que precede a la prueba, 2 es su propio factoring principal.

Paso de inducción:

Supongamos que el resultado se mantiene para todos los números naturales mayores que 1 y menores que\(N\). Si\(N\) es primo, el resultado sigue. Si no\(N\) es primo, entonces hay\(a, b \in \mathbb{N}, a<N\) y\(b<N\), tal que\[a \cdot b=N \text {. }\] Por la hipótesis de inducción,\(a\) y\(b\) tienen factorizaciones primos únicas. El producto de los factorings será un factoraje principal de\(N\). ¿El factoring es único hasta el momento de ordenar? Supongamos que\[N=\prod_{i=1}^{m} p_{i}=\prod_{j=1}^{n} q_{j}\] donde\(p_{i}\) es primo para\(1 \leq i \leq m\), y\(q_{j}\) es primo para\(1 \leq j \leq n\). Entonces\[p_{1} \mid \prod_{j=1}^{n} q_{j} .\] Por Lema 7.5,\[(\exists j \leq n) p_{1} \mid q_{j} .\] Podemos reordenar los factores\(q_{1}, \ldots, q_{n}\) para que\(p_{1} \mid q_{1}\). Ambos\(p_{1}\) y\(q_{1}\) son primos, entonces\[p_{1}=q_{1} .\] Por lo tanto\[\prod_{i=2}^{m} p_{i}=\prod_{j=2}^{n} q_{j}<N .\] Por la hipótesis de inducción,\(p_{2}, \ldots, p_{m}\) es un factor primo único de\(\prod_{i=2}^{m} p_{i}\), así\(m=n\) y\(q_{2}, \ldots, q_{n}\) es un reordenamiento de\(p_{2}, \ldots, p_{m}\). Por lo tanto,\(q_{1} \cdots q_{n}\) es un reordenamiento de\(p_{1} \cdots p_{m}\) y el factoring principal de\(N\) es único.

OBSERVACIÓN. ¿Por qué el número 1 no se define como primo? Después de todo, ¡no tiene otros factores que él mismo o 1! La razón es porque es muy útil tener singularidad en el Teorema Fundamental de la Aritmética. Si 1 se considerara prime, podría incluirse arbitrariamente a menudo en la factorización de\(N\).