7.6: Ejercicios

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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EJERCICIO 7.1. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Demostrar que si no\(n\) es primo entonces\(n\) tiene un factor primo\(p \leq \sqrt{n}\).

EJERCICIO\(7.2\). ¿Son\(15,462,227\) y\(15,462,229\) relativamente primos?

EJERCICIO 7.3. Si\(n \in \mathbb{N}\), ¿bajo qué condiciones son\(n\) y\(n+2\) relativamente prime?

EJERCICIO 7.4. Demostrar que cada número natural puede escribirse como producto de una potencia de 2 y un número impar.

EJERCICIO 7.5. Encuentra\(\operatorname{gcd}(8243235,453169)\).

EJERCICIO 7.6. Encuentra\(\operatorname{gcd}(15570555,10872579)\).

EJERCICIO 7.7. Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros y\(m=\operatorname{gcd}(a, b)\). \(\frac{b}{m}\)Demuéstralo\(\frac{a}{m}\) y son números enteros relativamente primos.

EJERCICIO 7.8. Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros positivos con descomposición prima dada por\[a=\prod_{n=1}^{N} p_{n}^{r_{n}}\] y\[b=\prod_{n=1}^{N} p_{n}^{s_{n}}\] donde\(p_{n}, r_{n}, s_{n} \in \mathbb{N}\) y\(p_{n}\) es primo para\(1 \leq n \leq N\). Probar que si es\(t_{n}=\min \left(r_{n}, s_{n}\right)\) por\(1 \leq n \leq N\), entonces\[\operatorname{gcd}(a, b)=\prod_{n=1}^{N} p_{n}^{t_{n}} .\] EJERCICIO 7.9. En el comunicado de Lemma 7.14, supongamos que\(\operatorname{gcd}(a, n) \neq\) 1. Demostrar que la función no\(\phi_{a}\) es una permutación de\(\mathbb{Z}_{n}^{*}\). EJERCICIO 7.10. Demostrar Proposición 7.16.

EJERCICIO 7.11. ¿4757 es primo?

EJERCICIO 7.12. Definir un ideal\(\mathbb{Z}\) de forma natural: Un conjunto\(I \subseteq \mathbb{Z}\) es un ideal de\(\mathbb{Z}\) si para alguno\(m, n \in I\) y\(c \in \mathbb{Z}\),

\(m+n \in I\)

\(m c \in I\).

Si\(a, b \in \mathbb{Z}\), demostrar que el conjunto de combinaciones enteras de\(a\) y\(b\) son un ideal de\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 7.13. Demostrar que cada ideal de\(\mathbb{Z}\) es principal. (Pista: encuentra el generador del ideal.)

EJERCICIO 7.14. Dejar\(p\) ser primo y\(\mathbb{Z}_{p}[x]\) ser el conjunto de polinomios con coeficientes en\(\mathbb{Z}_{p}\). ¿Qué se puede decir de las raíces del polinomio\(x^{p-1}-[1]\) en\(\mathbb{Z}_{p}\)? (Decimos que\([a] \in \mathbb{Z}_{p}\) es una raíz de un polinomio\(f \in \mathbb{Z}_{p}[x]\) si\(\left.f([a])=[0] .\right)\)

EJERCICIO 7.15. Demostrar que 0 es la identidad aditiva en\(\mathbb{R}[x]\) y 1 es la identidad multiplicativa en\(\mathbb{R}[x]\). Utilizar las definiciones formales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\).

EJERCICIO 7.16. Demostrar que el grado del producto de polinomios es igual a la suma de los grados de los polinomios. Utilizar la definición formal de multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\).

EJERCICIO 7.17. Vamos\(p \in \mathbb{R}[x]\). Demostrar que\(p\) tiene una inversa aditiva en\(\mathbb{R}[x]\). Demostrar que\(p\) tiene una inversa multiplicativa iff\(p\) tiene grado 0. Utilizar las definiciones formales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\).

EJERCICIO 7.18. Demostrar que la suma y multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\) son asociativas y conmutativas, y que la propiedad distributiva posee. Utilizar las definiciones formales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\).

EJERCICIO 7.19. Para\(0 \leq n \leq N\), vamos\(a_{n} \in \mathbb{R}\). Si\(f=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}\) y\(g(x)=x-1\), encuentra el cociente único y el resto donde\(f\) está el dividendo y\(g\) es el divisor. EJERCICIO 7.20. Vamos\(f, g, q \in \mathbb{R}[x], g \neq 0\). Supongamos que ese\(f\) es el dividendo,\(g\) el divisor y\(q\) el cociente. Demostrar que la suma del grado de\(g\) y el grado de\(q\) igual al grado de\(f\).

EJERCICIO 7.21. ¿Existe una versión del Algoritmo Euclidiana para\(\mathbb{R}[x]\)?