7.5: Divisibilidad y polinomios

Aplicamos algunas de las ideas sobre divisibilidad introducidas en secciones anteriores de este capítulo a polinomios con coeficientes reales,\(\mathbb{R}[x]\). Esto requiere que tratemos a polinomios algebraicamente. Comenzamos definiendo formalmente las operaciones sobre\(\mathbb{R}[x]\). Let\(f, g \in \mathbb{R}[x]\),\[f(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}\] y\[g(x)=\sum_{m=0}^{M} b_{m} x^{m} .\] So\(f\) es un polinomio de grado\(N\) como máximo y\(g\) es un polinomio de grado como máximo\(M\). Para simplificar nuestras expresiones, suscribimos a la convención que para los polinomios\(f\) y\(g, a_{n}=0\) para todos\(n>N\), y\(b_{m}=0\) para todos\(m>M\). Es decir, podemos considerar un polinomio como una serie de potencias en la que todos pero finitamente muchos de los coeficientes equivalen a 0.

OBSERVACIÓN. Si un polinomio es idénticamente igual a una constante distinta de cero, decimos que el polinomio tiene grado cero. Si el polinomio es idénticamente cero, no definimos su grado. Esta es una conveniencia notacional: un polinomio de grado 0 es una constante distinta de cero.

Definimos suma y multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\) por\[f(x)+g(x):=\sum_{i=0}^{\max (M, N)}\left(a_{i}+b_{i}\right) x^{i}\] y\[f(x) \cdot g(x):=\sum_{i=0}^{M+N}\left(\sum_{j=0}^{i} a_{j} \cdot b_{i-j}\right) x^{i} .\] Debe confirmar que\(0 \in \mathbb{R}[x]\) es la identidad aditiva en\(\mathbb{R}[x]\), y\(1 \in \mathbb{R}[x]\) es la identidad multiplicativa en\(\mathbb{R}[x]\). También debes verificar que la suma y la multiplicación en\(\mathbb{R}[x]\) son

(1) asociativo

(2) conmutativo

(3) distributivo (es decir, la multiplicación distribuye sobre la suma).

Demostraremos que una versión del Algoritmo de División es válida para polinomios. En efecto, es la razón por la que la división larga de polinomios es esencialmente similar a la división de enteros.

TEOREMA 7.21. Algoritmo de división Si\(f, g \in \mathbb{R}[x]\)\(g \neq 0\), y, entonces hay polinomios únicos\(q\) y\(r\) tal que\[f=q \cdot g+r\] y cualquiera\(r=0\) o el grado de\(r\) es menor que el grado de \(g\). Discusión. Argumentamos primero por la existencia de un cociente y resto que satisfaga la afirmación del teorema. Dejamos\(g\) ser un polinomio real arbitrario y argumentamos por inducción sobre el grado de\(f\) - para este divisor particular\(g\). El principio de inducción arrojará el resultado para el divisor\(g\) y cualquier dividendo. Al\(g\) ser un polinomio real arbitrario, se garantiza la existencia de un cociente y resto para cualquier divisor y dividendo. La singularidad se demuestra directamente.

Prueba. Vamos\(g \in \mathbb{R}[x]\). Si\(g\) es una constante, entonces\(q(x)=(1 / g(x))(f(x))\) y\(r=0\) satisfacer la afirmación del teorema. Además, cualquier resto debe ser el polinomio cero, ya que es imposible tener un grado menor que el grado de\(g\). Por lo tanto,\(q(x)=(1 / g(x))(f(x))\) es el cociente único que satisface el Algoritmo de División.

Dejar\(g\) ser un polinomio de grado mayor a 0. Demostramos el resultado para todos los posibles\(f\) (para este particular\(g\)) por inducción en el grado de\(f\). Dejar\(M\) ser el grado de\(g\) y\(N\) ser el grado de\(f\).

Caso base:\(N<M\)

Entonces\(q=0\) y\(r=f\) satisfacer la conclusión del teorema.

Paso de inducción: Supongamos que el resultado se mantiene para todos los polinomios de grado menor que\(N\).\(N \geq M\) Demostramos que se sostiene para\(f \in \mathbb{R}[x]\) de grado\(N\). Asumimos que\[f(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}\] donde\(a_{n} \in \mathbb{R}\) (para\(\left.0 \leq n \leq N\right)\) y\(a_{N} \neq 0\). Vamos\[g(x)=\sum_{m=0}^{M} b_{m} x^{m}\] donde\(b_{m} \in \mathbb{R}\) (para\(0 \leq m \leq M\)) y\(b_{M} \neq 0\). Let\[h(x)=\left(\frac{a_{N}}{b_{M}}\right) x^{(N-M)} .\] Entonces el grado de\(f-h \cdot g\) es menor que\(N\) o\(f-h \cdot g\) es idénticamente 0. Entonces hay\(s \in \mathbb{R}[x]\) tal que\[f=h \cdot g+s\] donde\(s=0\) o el grado de\(s\) es menor que\(N\). Si\(s=0\), entonces vamos\(q=h\) y\(r=0\).

De lo contrario, por la hipótesis de inducción, hay algún polinomio\(\bar{q}\) tal que\[s=\bar{q} \cdot g+r\] donde\(r=0\) o el grado de\(r\) es menor que\(M\). Así\[f=h g+s=h g+\bar{q} g+r=(h+\bar{q}) g+r .\] si dejamos\(q=h+\bar{q}\) entonces\[f=q g+r .\] Así, por el principio de inducción, para cualquiera\(f \in \mathbb{R}[x]\), hay\(q\) y\(r\) tal que\[f=q \cdot g+r .\] Desde\(g\) era un polinomio arbitrario de grado mayor que 0, el resultado se mantiene para todos\(f\) y\(g\).

Eso lo demostramos\(q\) y\(r\) somos únicos. Dejar\[f=q g+r=\bar{q} g+\bar{r}\] donde los restos,\(r\) y\(\bar{r}\), tienen grado menor que el grado de\(g\) o son el polinomio 0. Entonces\[\begin{gathered} q g+r-(\bar{q} g+\bar{r})= \\ (q-\bar{q}) g+(r-\bar{r})=0 . \end{gathered}\] Let\(Q=q-\bar{q}\) y\(R=r-\bar{r}\). Supongamos que\(Q \neq 0\). Entonces el grado de no\(Q \cdot g\) es menor que el grado de\(g\). Sin embargo los restos\(r\) y\(\bar{r}\) tienen grado menor que el grado de\(g\), o son el polinomio 0. Así el grado de\(R\) es estrictamente menor que el grado de\(g\), o\(R=0\). La suma de dos polinomios de diferente grado no puede ser idéntica a 0. De ahí que eso sea imposible\(Q \neq 0\). Si\(Q=0\) entonces\(R=0\). Por lo tanto\[q=\bar{q}\]\[r=\bar{r}\] y y el cociente y resto son únicos.

COROLARIO 7.22. Si\(f \in \mathbb{R}[x]\) y\(x_{0} \in \mathbb{R}\), entonces hay\(q \in \mathbb{R}[x]\) tal que\[f(x)=\left(x-x_{0}\right) \cdot q(x)+f\left(x_{0}\right) .\] Prueba. Aplicar el Algoritmo de División con\(g(x)=x-x_{0}\). Entonces el resto\(r\) es de grado 0, o idénticamente cero, así es constante, y evaluando\[f(x)=\left(x-x_{0}\right) q(x)+r(x)\] en\(x=x_{0}\) da\(r(x)=f\left(x_{0}\right)\). Por lo tanto,\[f(x)=\left(x-x_{0}\right) q(x)+f\left(x_{0}\right) .\] utilizamos estos resultados para probar una propiedad algebraica de polinomios.

DEFINICIÓN. Ideal Si\(I \subseteq \mathbb{R}[x]\) y\(I \neq \emptyset\), entonces llamamos\(I\) un ideal de\(\mathbb{R}[x]\) siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

(1) Si\(f, g \in I\) entonces\(f+g \in I\).

(2) Si\(f \in I\) y\(g \in \mathbb{R}[x]\) entonces\(f \cdot g \in I\).

Un ideal de\(\mathbb{R}[x]\) es un conjunto que se cierra bajo adición de elementos en el ideal, y multiplicación por todos los elementos de\(\mathbb{R}[x]\), estén o no en el ideal. Si observa de cerca la definición de combinación de enteros (Sección 7.1), observará que el conjunto de combinaciones de enteros de un par de enteros se cierra bajo adición de elementos en el conjunto y multiplicación por enteros arbitrarios. Por supuesto esta analogía entre los enteros y los polinomios no es accidental. Si generalizas la idea de una combinación entera a polinomios, dirías que las combinaciones polinómicas de un par de polinomios es un ideal de\(\mathbb{R}[x]\). Para los enteros pudimos demostrar que el conjunto de combinaciones de enteros de un par de enteros es precisamente los múltiplos enteros del mayor divisor común de los enteros. ¿Podemos probar un resultado análogo para polinomios? DEFINICIÓN. Principal ideal Un ideal\(I\) en\(\mathbb{R}[x]\) es principal si hay\(f \in \mathbb{R}[x]\) tal que\[I=\{f \cdot g \mid g \in \mathbb{R}[x]\} .\] en la definición de ideal principal,\(f\) se llama generador de\(I\). El teorema se\(7.7\) puede reafirmar para decir que el conjunto de combinaciones de enteros de un par de enteros es el ideal principal (in\(\mathbb{Z}\)) generado por el mayor divisor común del par.

TEOREMA 7.23. Cada ideal de\(\mathbb{R}[x]\) es principal.

Prueba. Deja\(I\) ser un ideal de\(\mathbb{R}[x]\). Dejar\(f\) ser un polinomio de grado más bajo en\(I\). Demostramos que\(f\) genera\(I\). Vamos\(h \in I\). Es suficiente para demostrar que\(h\) es un múltiplo de\(f\). Por Teorema 7.21, hay\(q, r \in \mathbb{R}[x]\),\(r=0\) o el grado de\(r\) menos que el grado de\(f\), tal que\[h=q f+r .\] Desde\(I\) es un ideal y\(f \in I\),\[q f \in I\] y \[h-q f=r \in I .\]Por supuesto\(f\) es de grado mínimo en\(I\), entonces\(r=0\). Por lo tanto\[h=q f\] y\(f\) genera\(I\).

Este programa parece estar moviéndonos hacia un resultado para polinomios que es análogo al Teorema Fundamental de la Aritmética. Un polinomio es irreducible si no puede escribirse como producto de polinomios de menor grado. Demostraremos en Teorema\(9.48\) que cada polinomio en\(\mathbb{R}[x]\) factores singularmente en el producto de polinomios irreducibles (hasta el orden de factores y multiplicación por constantes), y además que todos los polinomios irreducibles son de grado como máximo\(2 .\) El estudio de las propiedades algebraicas de los polinomios es el principio motivador más importante en Álgebra. Los buenos textos sobre Álgebra incluyen [2] de John Fraleigh y [3] de Israel Herstein.