8.1: Los números naturales

¿Cuáles son los números reales y por qué los números racionales no son suficientes para nuestras necesidades matemáticas? En última instancia, los números reales deben satisfacer ciertas propiedades axiomáticas que consideramos deseables para interpretar el mundo natural al tiempo que satisfacen el deseo del matemático de una base formal para el razonamiento matemático.

Por supuesto que los números reales deben contener los números racionales. También requerimos que los números reales satisfagan propiedades algebraicas bastante obvias que se mantienen para los números racionales, como la conmutatividad de la suma o la propiedad distributiva. Estos axiomas nos permiten utilizar el álgebra para resolver problemas. Adicionalmente debemos satisfacer propiedades geométricas como la desigualdad triangular que permiten la interpretación de números reales positivos como distancias. Necesitamos que nuestro sistema numérico contenga números que surgen de la interpretación algebraica y geométrica de los números. Desafortunadamente los números racionales no bastan para este objetivo limitado. Por ejemplo,\(\sqrt{2}\), que sabes por ejemplo\(3.23\) que es irracional, surge geométricamente como la longitud de la diagonal de la unidad cuadrada, y como la solución a la ecuación algebraica\(x^{2}=2\).

El desarrollo del límite dio lugar a nuevas preguntas sobre los números reales. En particular, ¿cuándo estamos seguros de que una secuencia de números es convergente en nuestro sistema numérico? Los reclamos de prueba de convergencia suelen utilizar otra propiedad de los números reales, la propiedad de límite superior menor. Muchas de las poderosas conclusiones del cálculo son consecuencias de esta propiedad. Hablando vagamente, la propiedad de límite superior mínimo implica que la línea numérica real no tiene ningún “agujero”. Dicho de otra manera, si todos los elementos de un conjunto no vacío de números reales son menores que todos los elementos de otro conjunto no vacío de números reales, entonces hay un número real mayor o igual a todos los elementos del primer conjunto, y menor o igual a todos los elementos del segundo conjunto. Esta propiedad se denomina orden-integridad, y se define formalmente en la Sección 8.10. Orden-integridad, y sus consecuencias deseables, no se sostienen para los números racionales.

¿Cómo demostramos la existencia de un conjunto con orden y operaciones que satisfaga todas estas necesidades simultáneamente? No se puede simplemente suponer que tal estructura existe. Es posible que las propiedades especificadas sean lógicamente inconsistentes. Podríamos intentar construir el conjunto. ¿Cuáles son las reglas para la construcción de un objeto matemático? Esta pregunta impulsó a los matemáticos de finales del siglo XIX y principios del XX a desarrollar las reglas para tal construcción, los axiomas de la teoría de conjuntos.

Por esta razón construimos los números reales con una construcción set-teórica. Es decir, construiremos los números naturales, enteros, números racionales y números irracionales a su vez, utilizando conjuntos básicos, funciones y relaciones. Al hacerlo construiremos un conjunto con orden y operaciones que contenga los números racionales (o una estructura que se comporte precisamente como esperamos que se comporten los números racionales), satisfaga los axiomas algebraico y de orden, tenga las propiedades que necesitamos para el cálculo y se construye con las herramientas que usted desarrollados en los Capítulos 1 y 2.

Los números naturales

Cuando introdujimos los números naturales en el Capítulo 1 fuimos explícitos que no estábamos definiendo el conjunto. En cambio, procedimos bajo el supuesto de que estás familiarizado con los números naturales en virtud de tu experiencia matemática previa. Ahora definimos los números naturales en el universo de conjuntos, construyéndolos a partir del conjunto vacío. DEFINICIÓN. Función sucesora Let\(Y\) be a set. La función sucesora,\(S\), se define por\[S(Y):=Y \cup\{Y\} .\] DEFINICIÓN. Conjunto inductivo Let\(S\) Ser la función sucesora y\(X\) ser cualquier colección de conjuntos que satisfagan las siguientes condiciones:
(1)\(\emptyset \in X\)
(2)\([Y \in X] \Rightarrow[S(Y) \in X]\).

Entonces\(X\) se llama un conjunto inductivo.

DEFINICIÓN. Números naturales Dejar\(X\) ser cualquier conjunto inductivo. El conjunto de números naturales es la intersección de todos los subconjuntos de\(X\) que son conjuntos inductivos.

¿Están bien definidos los números naturales? Es decir, ¿depende la definición de la elección del conjunto\(X\)? Si\(\mathcal{F}\) es una familia de conjuntos, todos los cuales son inductivos, se demuestra fácilmente que la intersección también\(\mathcal{F}\) es inductiva. Si se nos dan conjuntos\(X\) y\(Y\) que son inductivos, ¿darán lugar los conjuntos al mismo conjunto de “números naturales”? Nuevamente se ve fácilmente que la respuesta es sí ya que\(X \cap Y\) es un subconjunto de ambos\(X\) y\(Y\), y es inductivo. Los “números naturales” definidos en términos de\(X\) y\(Y\) serán los “números naturales” definidos en términos de\(X \cap Y\) - constituyen el conjunto inductivo “más pequeño”. Para definir los números naturales en el universo de conjuntos, se debe otorgar que existe un conjunto inductivo. Es un axioma de la teoría de conjuntos que existe tal conjunto, llamado el axioma del infinito (ver Apéndice B para una discusión de los axiomas de la teoría de conjuntos).

¿Qué tiene que ver este conjunto con los números naturales tal y como los entendemos y utilizarlos en matemáticas? Consideremos la función\(i\),, definida por\[i(0)=\emptyset\] y\[i(n+1)=i(n) \cup\{i(n)\} .\] So\[\begin{aligned} i(0) &=\emptyset \\ i(1) &=\{\emptyset\} \\ i(2) &=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\ i(3) &=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} . \end{aligned}\] Entonces\(i\) da una biyección entre los números naturales, tal y como los entendemos intuitivamente, y el conjunto inductivo mínimo que definimos anteriormente.

Definamos\(\ulcorner n\urcorner\) formalmente como el conjunto que se obtiene aplicando la función sucesora\(S\) a los\(n\) tiempos establecidos vacíos. Entonces\[0=\emptyset\] y para\(n>0\) el conjunto\[\ulcorner n\urcorner=\{\emptyset,\{\emptyset\}, \ldots\}\] tiene exactamente\(n\) elementos, y lo identificaremos con el conjunto\[\{0,1, \ldots, n-1\}\] que antes elegimos como el conjunto canónico con\(n\) elementos.

El conjunto\[\mathbf{N}:=\{\ulcorner n\urcorner \mid n \in \mathbb{N}\}\] es inductivo, y por lo tanto contiene los números naturales. Finalmente el lector puede confirmar que no\(\mathbf{N}\) tiene un subconjunto adecuado que sea inductivo.

Para resumir la construcción hasta el momento, el axioma del infinito garantiza que hay un conjunto que es inductivo. Escoge tal conjunto,\(X\). La intersección de todos los subconjuntos de\(X\) que son inductivos es\(\mathbf{N}\), que podemos identificar con los números naturales (concebidos intuitivamente) por la bijección i. Para continuar la construcción, consideramos\(\mathbb{N}\) y\(\mathbf{N}\) ser el mismo conjunto. Necesitamos\(\mathbb{N}\) tener las operaciones\(+\) y. así como la relación\(\leq\). Definiremos adición\(\mathbb{N}\) con operaciones de conjunto básico y cardinalidad. Si\(m, n \in \mathbb{N}\), entonces definimos suma por\[m+n:=|(\ulcorner m\urcorner \times\{\ulcorner 0\urcorner\}) \cup(\ulcorner n\urcorner \times\{\ulcorner 1\urcorner\})| .\] Recordemos que la cardinalidad de un conjunto finito es el número natural único que es biyectiva con el conjunto - de ahí que la expresión complicada en el lado derecho de la definición es un número natural. Es fácil confirmar que la adición definida de esta manera concuerda con la operación habitual en\(\mathbb{N}\). ¿Por qué nos molestaríamos en definir una operación que has entendido desde hace muchos años? Hemos definido la adición de números naturales como una operación establecida.

La multiplicación es algo más fácil de definir. Si\(m, n \in \mathbb{N}\), entonces\[m \cdot n:=|\ulcorner m\urcorner \times\ulcorner n\urcorner| .\] (Por supuesto, por\(\ulcorner m\urcorner \times\ulcorner n\urcorner\) nos referimos al producto cartesiano de los conjuntos\(\ulcorner m\urcorner\) y\(\ulcorner n\urcorner\).) Finalmente\(m, n \in \mathbb{N}\)\[[m \leq n] \Longleftrightarrow[\ulcorner m\urcorner \subseteq\ulcorner n\urcorner] .\] si se debe confirmar que las operaciones y la relación de acuerdo con lo habitual\(+, \cdot\) y\(\leq\) en los números naturales.

Habiendo concluido esta construcción es razonable preguntarse si\(\mathbb{N}\) es verdaderamente el conjunto de números naturales. Ciertamente es justificable que concluya que no se proporciona claridad sobre el número 2 identificándolo con el conjunto\(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\). Lo que ganamos es una reducción de números a conjuntos que nos llevarán a través de la construcción de todos los números reales, incluyendo números que no son fáciles de construir.