8.9: Cardinalidad de los números reales

Terminamos el Capítulo 6 con la afirmación no probada de que los números reales son incontables. Ahora que tenemos una definición formal de los números reales, estamos listos para completar nuestra investigación de la cardinalidad de\(\mathbb{R}\). Por Teorema\(6.11\) el conjunto de secuencias decimales infinitas es incontable, con cardinalidad\(2^{\aleph_{0}}\). Pasamos a afirmar que esto tuvo consecuencias para la cardinalidad de\(\mathbb{R}\). Consideramos la cuestión relacionada de la cardinalidad del intervalo unitario cerrado\([0,1]\).

Proposición 8.16. \(|[0,1]|=|\mathbb{R}|\).

Comprobante. Definir\(f:[0, \infty) \rightarrow(1 / 2,1]\) por\[f(x)=\frac{1}{x+2}+1 / 2 \text {. }\] Entonces\(f\) es una inyección. \(\mathbb{R}^{-}\)Dejen ser los números reales negativos, y definir\(g: \mathbb{R}^{-} \rightarrow[0,1 / 2)\) por\[g(x)=\frac{-1}{x-2} .\] Entonces\(g\) es una inyección. Que\(h: \mathbb{R} \rightarrow[0,1]\) sea la unión de las funciones\(f\) y\(g\). Entonces\(h\) es claramente una inyección. La función de identidad\([0,1]\) es una inyección en\(\mathbb{R}\). Por el Teorema de Schröder-Bernstein,\[|[0,1]|=|\mathbb{R}| \text {. }\] Investigamos la relación entre las expansiones decimales infinitas (que están relacionadas con secuencias decimales infinitas) y los números reales. Restringiremos nuestra atención a expansiones decimales infinitas de números en el intervalo unitario\([0,1]\).

DEFINICIÓN. Expansión decimal infinita Para todos\(n \in \mathbb{N}^{+}\), vamos\(a_{n} \in\)\(\ulcorner 10\urcorner\). Entonces\[a_{1} a_{2} \ldots a_{n} \ldots\] es una expansión decimal infinita. Dejar\(s\) ser una expansión decimal infinita\(a_{1} a_{2} \ldots\). Para\(n \in \mathbb{N}\), vamos\[s_{n}:=a_{1} \ldots a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} 10^{-k} .\] Queremos asociar expansiones decimales infinitas con números reales (entendidos como cortes Dedekind). Interpretamos las expansiones decimales infinitas como secuencias Cauchy de números racionales.

Dejar\(D\) ser el conjunto de expansiones decimales infinitas, y dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\[f\left(. a_{1} \ldots\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\] La secuencia\(\left\langle s_{n}\right\rangle\) es una secuencia de Cauchy por lo que converge a un número real. Let\[L:=\left\{x \in \mathbb{Q} \mid(\exists n \in \mathbb{N}) x<s_{n}\right\} .\] El conjunto\(L\) es un corte Dedekind y\(f(s)=L\). Es decir,\[\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=L .\]\(L\) es el límite inferior superior del conjunto\(\left\{s_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}\). Podemos asociar con cada expansión decimal infinita un número real en el intervalo unitario, y así podemos definir una función\(f: D \rightarrow[0,1]\). ¿Es\(f\) una sobrejección? Es decir, ¿cada número real en el intervalo unitario puede realizarse como una expansión decimal infinita? Vamos\(x \in[0,1]\). Definimos una secuencia creciente de números racionales convergiendo a\(x\). Para\(n \in N^{+}\), deja\(s_{n}\) ser la expansión decimal más grande a lugares\(n\) decimales que no es mayor que\(x\). Si\(n<m\), entonces\(s_{n}\) es un truncamiento de\(s_{m}\). Vamos\[s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\] Entonces\(f(s)=x\). Por lo tanto,\(f\) es una sobreyección sobre\([0,1]\).

Sería ideal si\(f\) fuera una inyección, pues de ello se seguiría que los cortes de Dedekind son solo las infinitas expansiones decimales. Sin embargo esto no es cierto. Supongamos que\[s=. a_{1} \ldots a_{n} a_{n+1} \ldots\] donde\(a_{n} \neq 9\) y para todos\(k>n, a_{k}=9\). Si\[t=. a_{1} \ldots a_{n-1}\left(a_{n}+1\right) 000 \ldots\] entonces\[f(s)=f(t) .\] Si ni\(s\) ni\(t\) son infinitas expansiones decimales que terminan en repetir 9's\(s<t\), y, entonces hay algunas\(n\) tales que\(s<t_{n}\). Entonces el número racional\(\left(s_{n}+t_{n}\right) / 2\) está en el corte de Dedekind\(f(t)\) y no en\(f(s)\), entonces\(f(s) \neq f(t)\). Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente teorema.

TEOREMA 8.17. Let\(D_{0}\) Ser el conjunto de expansiones decimales infinitas para los números en el intervalo unitario. Dejar\(f: D_{0} \rightarrow[0,1]\) ser definido por\[f\left(. a_{1} a_{2} \ldots\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} . a_{1} \ldots a_{n}=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} 10^{-k} .\] Entonces\(f\) es una surjección. Además, dos expansiones decimales distintas se identifican\(f\) por si una de ellas es de la forma\(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} 9999 \ldots\) con\(a_{n} \neq 9\) y la otra es. \(a_{1} a_{2} \ldots\left(a_{n}+1\right) 000 \ldots .\)

COROLARIO 8.18. \(|[0,1]|=2^{\aleph_{0}}\).

PRUEBA. Por Lema 8.17, Proposición\(6.15\) y Teorema 6.11,\[|[0,1]| \leq\left|D_{0}\right|=\left|\ulcorner 10\urcorner^{\mathbb{N}}\right|=2^{\aleph_{0}} .\] Let\(g:\ulcorner 2\urcorner^{\mathbb{N}+}\rightarrow [0,1] D_{0}\) Ser definido por\[g\left(\left\langle a_{n}\right\rangle\right)=. a_{1} a_{2} \ldots\] y\(h: D_{0} \rightarrow[0,1]\) ser definido como en el argumento para el Teorema 8.17. Entonces\(h \circ g:\ulcorner 2\urcorner^{\mathbb{N}} \rightarrow[0,1]\) es una inyección, y así\[2^{\aleph_{0}} \leq|[0,1]| .\] Por el Teorema de Schröder-Bernstein,\[|[0,1]|=2^{\aleph_{0}} .\] COROLARIO 8.19. \(|\mathbb{R}|=2^{\aleph_{0}}\).