8.8: Funciones reales

Si relees tu texto de cálculo, observarás que muchos de los teoremas del cálculo dependen en última instancia del Teorema del Valor Intermedio.

TEOREMA 8.10. Teorema del Valor Intermedio Let\(f\) Ser una función real continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\). Si\(f(a)<L<f(b)\) o\(f(b)<L<f(a)\) luego\[(\exists c \in(a, b)) \quad f(c)=L .\] Prueba. Dejar\(f\) ser una función real continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\), y\(f(a)<L<f(b)\). Demostramos el caso especial\(L=0\). Dado el resultado para\(L=0\), el teorema se desprende de la aplicación del caso especial a la función\(f(x)-L\).

Let\[X=\{x \in[a, b] \mid(\forall y \in[a, x]) f(y) \leq 0\} .\] Entonces\(X \neq \emptyset\) y\(X\) está delimitado arriba por\(b\). Por la Propiedad Límite Mínimo Superior,\(X\) tiene un límite superior mínimo,\(m \leq b\). La función\(f\) es continua, y por lo tanto\(\lim _{x \rightarrow m} f(x)=f(m)\). Si\(f(m)=0\), se prueba el teorema.

(i) Supongamos que\(f(m)>0\). Vamos\(0<\varepsilon<f(m)\). Para cualquiera\(x \in[a, m)\),\(f(x) \leq 0\) y en\[|f(x)-f(m)| \geq f(m)>\varepsilon\] consecuencia para cualquier\(\delta>0\), hay\(x\) en el pinchado\(\delta\) -barrio de\(m\) tal que\[|f(x)-f(m)| \geq \varepsilon\] Esto contradice la suposición de que\(\lim _{x \rightarrow m} f(x)=f(m)\). Por lo tanto\(f(m) \leq 0 .\)

ii) Supongamos que\(f(m)<0\). Vamos\(0<\varepsilon<|f(m)|\). Para cualquiera\(\delta>0\), hay\(x \in(m, m+\delta)\) tal que\(f(x)>0\). De lo contrario\[[a, m+\delta) \subseteq X,\] contradiciendo la suposición de que\(m\) es el límite superior mínimo para\(X\). Entonces para cualquiera\(\delta>0\) hay\(x\) en el pinchado\(\delta\) -barrio de\(m\) tal que\[|f(x)-f(m)| \geq|f(m)|>\varepsilon .\] Esto contradice la suposición que\(f\) es continua en\(m\). Por lo tanto\(f(m)=0 .\)

TEOREMA 8.11. Teorema de Valor Extremo Si\(f\) es una función real continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\), entonces\(f\) logra un máximo y un mínimo encendido\([a, b]\).

PRUEBA. Mostramos primero que el rango de\(\left.f\right|_{[a, b]}\) está delimitado arriba y abajo. A modo de contradicción supongamos que el rango de no\(f\) está delimitado por encima. Porque\(n \in \mathbb{N}\), que\(a_{n} \in[a, b]\) sea tal que\(f\left(a_{n}\right)>n\). Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) tiene una subsecuencia convergente,\(\left\langle a_{g(n)}\right\rangle\), convergente a algún número\(c \in[a, b]\). Por la continuidad de\(f\), si\(c \in(a, b)\) entonces\[f(c)=\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{g(n)}\right) .\] (Ver Ejercicio 8.25.) Si\(c\) es un punto final de\([a, b]\), hacemos la reclamación correspondiente para el límite unilateral apropiado. No obstante, para cualquier\(n \in \mathbb{N}\),\[f\left(a_{g(n)}\right)>g(n)>n .\] por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{g(n)}\right)\) no existe. Por lo tanto, el rango de\(f\) está delimitado por encima. Del mismo modo, el rango de\(f\) está delimitado por debajo. Por la Propiedad de Límite Mínimo Superior, el rango de\(f\) tiene un límite superior mínimo\(M\),, y un límite inferior mayor,\(L\).

Ya que\(M\) es un límite mínimo superior para el rango de\(f\), para cualquier\(\varepsilon>0\), hay\(x \in[a, b]\) tal que\[|f(x)-M|<\varepsilon .\] For\(n \in \mathbb{N}^{+}\), let\(a_{n} \in[a, b]\) be such that\[\left|f\left(a_{n}\right)-M\right|<\frac{1}{n} .\] The sequence \(\left\langle a_{n}\right\rangle\)tiene una subsecuencia convergente según el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Dejar\(\left\langle c_{n}\right\rangle\) ser una subsecuencia convergente de\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) con límite\(c \in[a, b]\). Dado que\(\left\langle c_{n}\right\rangle\) es una subsecuencia de\(\left\langle a_{n}\right\rangle\), para cualquier\(n \in \mathbb{N}^{+}\),\[\left|f\left(c_{n}\right)-M\right|<\frac{1}{n} .\] De ahí\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(c_{n}\right)=M .\] Por la continuidad de\(f\),\[\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(c_{n}\right)=M .\] si\(c \in(a, b)\) entonces If\(c\) es un punto final de\([a, b]\) tenemos la reivindicación análoga para el límite unilateral apropiado. Por lo tanto\(f\) logra un valor máximo en\([a, b]\). Por un argumento análogo,\(f\) logra un valor mínimo on\([a, b]\).

Por el Teorema del Valor Extremo, una función continua logra valores extremos en un intervalo delimitado cerrado. Es fácil construir ejemplos para los cuales el teorema falla para intervalos abiertos. El teorema del valor extremo tiene en común con la propiedad de límite inferior superior que garantiza la existencia de un número que satisface una condición deseable sin proporcionar información adicional sobre el número en sí. Muy a menudo basta con saber de manera abstracta que una función alcanza su extremo sin tener que distinguir más el objeto. ¿Qué más podemos concluir sobre los valores extremos de una función? TEOREMA 8.12. Dejar\(f\) ser una función real definida en un intervalo\((a, b)\). Si\(c \in(a, b)\) es tal que\(f(c)\) es un valor extremo de\(f\) on\((a, b)\) y\(f\) es diferenciable en\(c\), entonces\(f^{\prime}(c)=0\).

PRUEBA. Dejar\(f\) y\(c\) satisfacer las hipótesis del teorema. Supongamos que\(f(c)\) es el valor máximo alcanzado por\(f\) on\((a, b)\). Para cualquier\(x \in(a, c), f(x) \leq f(c)\) y\[\frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .\] Por lo tanto\[\lim _{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .\] De manera similar,\[\lim _{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \leq 0 .\] Sin embargo\(f\) es diferenciable en\(c\), por lo que\[0 \leq \lim _{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x}=f^{\prime}(c)=\lim _{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \leq 0 .\] Un argumento similar prueba la pretensión de\(f(c)\) un valor mínimo de\(f\) on\((a, b)\).

COROLARIO 8.13. Dejar\(f\) ser una función real continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\). Entonces\(f\) logra un máximo y mínimo on\([a, b]\) y si\(c \in[a, b]\) es un número en el que\(f\) logra un valor extremo, entonces uno de los siguientes debe ser cierto de\(c\):

i)\(f^{\prime}(c)=0\)

ii) no\(f\) es diferenciable en\(c\)

(iii)\(c\) es un punto final de\([a, b]\).

TEOREMA 8.14. Teorema del Valor Medio Dejar\(f\) ser una función real continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\) y diferenciable en\((a, b)\). Entonces hay\(c \in(a, b)\) tal que\[f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\] Prueba. Primero probamos un caso especial del Teorema del Valor Medio, conocido como Teorema de Rolle. Supongamos que\(f(a)=f(b)\). Demostramos que hay\(x \in(a, b)\) tal que\(f^{\prime}(x)=0\).

Si\(f\) es constante entonces\(f^{\prime}(x)=0\) para todos\(x \in(a, b)\). Supongamos que no\(f\) es constante y que hay\(x \in(a, b)\) tal que\(f(x)>f(a)\). Por el Teorema del Valor Extremo\(f\) logra un valor máximo\(M\) en\([a, b]\). Así,\[M>f(a)=f(b) .\] Seamos\(c \in(a, b)\) tal que\(f(c)=M\). Por Teorema 8.12,\(f^{\prime}(c)=0\). Si hay\(x \in(a, b)\) tal que\(f(x)<f(a)\), la prueba es similar.

Para probar el Teorema del Valor Medio en general, lo reducimos al Teorema de Rolle. Se resta del segmento\(f(x)\) de línea formado por\((a, f(a))\) y\((b, f(b))\). Dejar\[g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) .\] La función\(g(x)\) satisface las hipótesis del Teorema de Rolle. Entonces hay\(c \in(a, b)\) tal que\(g^{\prime}(c)=0\). Ya que\[g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] tenemos\[g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\] y\[f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\] El Teorema del Valor Medio tiene muchas consecuencias prácticas, una de las cuales exponemos aquí.

COROLARIO 8.15. Dejar\(f\) ser una función diferenciable en\((a, b)\). Si\(f^{\prime}(x)>0\) (resp. \(f^{\prime}(x)<0\)) en\((a, b)\) entonces\(f\) está aumentando (resp. decreciente) en\((a, b)\).