3.1: Sets

En su esencia, todas las matemáticas se construyen sobre la teoría de conjuntos. En este capítulo, presentaremos algunos de los conceptos básicos de los conjuntos y sus propiedades.

Definición 3.1. Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos. Si\(A\) es un conjunto y\(x\) es un elemento de\(A\), escribimos\({x\in A}\). De lo contrario, escribimos\({x\notin A}\). El conjunto que no contiene elementos se llama conjunto vacío, y se denota con el símbolo\({\emptyset}\). Cualquier conjunto que contenga al menos un elemento se denomina conjunto no vacío.

Si pensamos en un conjunto como una caja que potencialmente contiene algunas cosas, entonces el conjunto vacío es una caja sin nada en ella. Una suposición que haremos es que para cualquier conjunto\(A\),\(A\notin A\). El lenguaje asociado a los conjuntos es específico. A menudo vamos a definir conjuntos usando la siguiente notación, llamada notación set-builder:\[{S=\{x \in A\mid P(x)\}},\] donde\(P(x)\) es alguna declaración predicado que implica\(x\). La primera parte “\(x \in A\)" denota qué tipo de\(x\) se está considerando. El predicado a la derecha de la barra vertical (que no debe confundirse con “divide”) determina la (s) condición (es) que cada uno\(x\) debe cumplir para ser miembro del conjunto. Esta notación se lee como “El conjunto de todos\(x\) en\(A\) tal que”\(P(x)\). A modo de ejemplo, el conjunto\(\{x\in \mathbb{N}\mid x \mbox{ is even and }x\geq 8\}\) describe la colección de números incluso naturales que son mayores o iguales a 8.

Hay algunos conjuntos que se discuten comúnmente en matemáticas y tienen símbolos predefinidos para denotarlos. Ya nos hemos encontrado con los números enteros, los números naturales y los números reales. Observe que nuestra definición de los números racionales utiliza la notación set-builder.

• Números Naturales:\({\mathbb{N}:= \{1,2,3,\ldots\}}\). Algunos libros incluirán cero en el conjunto de números naturales, pero nosotros no.
• Enteros:\({\mathbb{Z} := \{0, \pm 1, \pm2, \pm 3, \ldots\}}\).
• Números racionales:\({\mathbb{Q} := \{a/b \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0\}}\).
• Números reales:\({\mathbb{R}}\) denota el conjunto de números reales. Estamos dando por sentado que tienes cierta familiaridad con este conjunto.

Dado que el conjunto de números naturales consiste en los enteros positivos, los números naturales a veces se denotan por\({\mathbb{Z}^+}\).

Problema 3.2. Desempaqueta el significado de cada uno de los siguientes conjuntos y proporciona una descripción de los elementos que contiene cada conjunto.

1. \(A=\{x \in \mathbb{N} \mid x = 3k \mbox{ for some } k\in \mathbb{N} \}\)
2. \(B=\{t \in \mathbb{R} \mid t \leq 2 \mbox{ or } t\geq 7 \}\)
3. \(C=\{t \in \mathbb{Z} \mid t^2 \leq 2 \}\)
4. \(D=\{s \in \mathbb{Z} \mid -3<s\leq 5 \}\)
5. \(E=\{m \in \mathbb{R} \mid m = 1 - \frac{1}{n} \mbox{, where } n \in \mathbb{N} \}\)

Problema 3.3. Escribe cada una de las siguientes frases usando la notación set-builder.

1. [prob:set-builder ejemplos a] El conjunto de todos los números reales menores que\(-\sqrt{2}\).
2. [prob:set-builder examples b] El conjunto de todos los números reales mayores\(-12\) y menores que o iguales a 42.
3. El conjunto de todos los enteros pares.

Las partes (a) y (b) del Problema 3.3 son ejemplos de intervalos.

Definición 3.4. Para\(a,b\in\mathbb{R}\) con\(a<b\), definimos los siguientes conjuntos, denominados intervalos.

1. (a, b): = {x ∈ R | a<x<b}
2. [a, b]: = {x ∈ R | a\(\leq\) x\(\leq\) b}
3. [a, b): = {x ∈ R | a\(\leq\) x< b}
4. (a,\(\infty\)): = {x ∈ R | a<x}
5. (-\(\infty\), b): = {x ∈ R | x<b}
6. (-\(\infty\),\(\infty\)): = R

Análogamente definimos\({(a,b]}\)\({[a,\infty)}\),, y\({(-\infty,b]}\). Los intervalos de la forma\((a,b)\)\((-\infty,b)\),\((a,\infty)\), y\((-\infty,\infty)\) se denominan intervalos abiertos mientras que\([a,b]\) se conoce como un intervalo cerrado. Un intervalo delimitado es cualquier intervalo de la forma\((a,b)\),\([a,b)\),\((a,b]\), y\([a,b]\). Para intervalos acotados,\(a\) y\(b\) se llaman los puntos finales del intervalo.

Siempre asumiremos que cada vez que escribamos\((a,b), [a,b], (a,b]\), o\([a,b)\) eso\(a<b\). Veremos de dónde viene la terminología de “abierto” y “cerrado” en la Sección 5.2.

Problema 3.5. Dé un ejemplo de cada uno de los siguientes.

1. Un intervalo que no es ni un intervalo abierto ni cerrado.
2. Un conjunto infinito que no es un intervalo.

Definición 3.5. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces decimos que\(A\) es un subconjunto de\(B\), escrito\({A\subseteq B}\), siempre que cada elemento de\(A\) sea un elemento de\(B\).

Problema 3.7. Enumere todos los subconjuntos de\(A=\{1,2,3\}\).

Cada conjunto no vacío siempre tiene dos subconjuntos. Observe que si\(A=\emptyset\), entonces las Partes (a) y (b) del siguiente teorema dicen lo mismo.

Teorema 3.8. \(A\)Déjese ser un conjunto. Entonces

1. \(A\subseteq A\), y
2. \(\emptyset \subseteq A\).

Observe que “\(A\subseteq B\)" equivale a “Para todos\(x\) (en el universo del discurso), si\(x\in A\), entonces”\(x\in B\). Ya que sabemos lidiar con declaraciones “para todos” y proposiciones condicionales, sabemos cómo hacer pruebas\(A\subseteq B\). Si\(A\) pasa a ser el conjunto vacío, entonces la afirmación “Para todos\(x\) (en el universo del discurso), si\(x\in A\), entonces\(x\in B\)" es vacuamente cierta. Esto está de acuerdo con el Teorema 3.8 (b), que establece que el conjunto vacío es siempre un subconjunto de cada conjunto. A la luz de esto, es común omitir la discusión del caso cuando\(A\) es el conjunto vacío al probar que\(A\) es s un subconjunto de\(B\).

Problema 3.9. Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos. Describir una prueba de esqueleto para probarlo\(A\subseteq B\).

Teorema 3.10. Supongamos que\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos. Si\(A\subseteq B\) y\(B\subseteq C\), entonces\(A\subseteq C\).

Definición 3.11. Dos conjuntos\(A\) y\(B\) son iguales, denotados\({A=B}\), si los conjuntos contienen los mismos elementos.

Dado que el siguiente teorema es una proposición bicondicional, es necesario escribir dos subpruebas distintas, una para “\(A=B\)implica\(A \subseteq B\) y\(B \subseteq A\) “, y otra para “\(A \subseteq B\)e\(B \subseteq A\) implica\(A=B\)”. Asegúrate de dejar claro al lector cuando estés demostrando cada implicación.

Teorema 3.12. Supongamos que\(A\) y\(B\) son conjuntos. Entonces\(A=B\) si y sólo si\(A \subseteq B\) y\(B \subseteq A\).

Tenga en cuenta que si queremos probar\(A=B\), entonces tenemos que hacer dos subpruebas separadas: una para\(A\subseteq B\) y otra para\(B\subseteq A\). Asegúrese de dejar claro al lector dónde comienzan y terminan estas subpruebas. Un enfoque es etiquetar cada subprueba con “\((\subseteq)\)" y “\((\supseteq)\)" (incluyendo los paréntesis), respectivamente.

Definición 3.13. Si\(A\subseteq B\), entonces\(A\) se llama un subconjunto apropiado siempre que\(A\neq B\). En este caso, podemos escribir\({A\subset B}\) o\({A\subsetneq B}\).

Tenga en cuenta que algunos autores\(\subset\) suelen significar\(\subseteq\), por lo que podría surgir cierta confusión si no está leyendo detenidamente.

Definición 3.14. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos en algún universo de discurso\(U\).

1. La unión de los conjuntos\(A\) y\(B\) es\(A \cup B\) : = {\(x\in U \mid x\in A \mbox{ or } x\in B \)}.
2. La intersección de los conjuntos\(A\) y\(B\) es\(A \cap B \): = {\(x\in U \mid x\in A \mbox{ and } x\in B\) }.
3. La diferencia de conjunto de los conjuntos\(A\) y\(B\) es\(A \setminus B\) : = {\(x\in U \mid x\in A \mbox{ and } x\notin B \)}.
4. El complemento de\(A\) (relativo a\(U\)) es el conjunto\(A^c\):=\( U \setminus A\) ={\( x \in U \mid x \notin A\)}.

Definición 3.15. Si dos conjuntos\(A\) y\(B\) tienen la propiedad que\(A \cap B = \emptyset\), entonces decimos eso\(A\) y\(B\) son conjuntos disjuntos.

Problema 3.16. Supongamos que el universo del discurso es\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\). Vamos\(A=\{1, 2, 3, 4, 5\}\),\(B=\{1, 3, 5\}\), y\(C=\{2, 4, 6, 8\}\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(A \cap C\)
2. \(B \cap C\)
3. \(A \cup B\)
4. \(A\setminus B\)
5. \(B \setminus A\)
6. \(C \setminus B\)
7. \(B^c\)
8. \(A^c\)
9. \((A\cup B)^c\)
10. \(A^c\cap B^c\)

Problema 3.17. Supongamos que el universo del discurso es\(U=\mathbb{R}\). Vamos\(A=[-3,-1)\),\(B=(-2.5,2)\), y\(C=(-2,0]\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(A^c\)
2. \(A \cap C\)
3. \(A \cap B\)
4. \(A \cup B\)
5. \((A\cap B)^c\)
6. \((A\cup B)^c\)
7. \(A \setminus B\)
8. \(A\setminus (B \cup C)\)
9. \(B \setminus A\)

Problema 3.18. Supongamos que el universo del discurso es\(U=\{x,y, z, \{y\}, \{x,z\}\}\). Dejar\(S=\{x,y,z\}\) y\(T=\{x,\{y\}\}\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(S \cap T\)
2. \((S\cup T)^{c}\)
3. \(T\setminus S\)

Teorema 3.19. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos tales que\(A \subseteq B\), entonces\(B^c \subseteq A^c\).

Teorema 3.20. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces\(A\setminus B = A \cap B^c\).

En el Capítulo 2, encontramos la Ley de De Morgan (ver Teorema 2.26 y Problema 2.27), que proporcionaba un método para negar proposiciones compuestas que involucran conjunciones y disyunciones. El siguiente teorema proporciona un método para tomar el complemento de uniones e intersecciones de conjuntos. A este resultado también se le conoce como Ley De Morgan. ¿Ves por qué?

Teorema 3.21. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces

1. \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\), y
2. \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\).

El siguiente teorema indica cómo intersecciones y uniones interactúan entre sí.

Teorema 3.22. Si\(A\),\(B\), y\(C\) son conjuntos, entonces

1. \(A \cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\), y
2. \(A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)\).

Problema 3.23. Para cada uno de los enunciados (a) — (d) de la izquierda, encuentre una proposición simbólica equivalente elegida de la lista (i) — (v) a la derecha. Tenga en cuenta que no todas las declaraciones de la derecha se van a utilizar.

\(A \nsubseteq B\). \(A \cap B= \emptyset\). \((A \cup B)^{c} \neq \emptyset\). \((A \cap B)^{c} = \emptyset\).

\((\forall x)(x \in A \wedge x \in B)\) \((\forall x)(x \in A \implies x \notin B)\) \((\exists x)(x \notin A \wedge x \notin B)\) \((\exists x)(x \in A \vee x \in B)\) \((\exists x)(x \in A \wedge x\notin B)\)