3.2: La paradoja de Russell

Pasamos ahora nuestra atención al tema de si hay una madre de todos los conjuntos universales. Antes de seguir leyendo, considera esto por un momento. Es decir, ¿hay un conjunto más grande del que todos los demás conjuntos sean un subconjunto? O, en otras palabras, ¿hay un conjunto de todos los conjuntos? Para ayudar a envolver nuestra cabeza en torno a este tema, considere el siguiente acertijo, conocido como la Paradoja del Barbero de Sevilla.

En Sevilla, hay un barbero que afeita a todos esos hombres, y sólo a esos hombres, que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero?

Problema 3.24 En la paradoja del barbero de Sevilla, ¿el barbero se afeita o no?

El problema 3.24 es un ejemplo de paradoja. Una paradoja es una afirmación que puede mostrarse, utilizando un conjunto dado de axiomas y definiciones, para ser tanto verdadera como falsa. Recordemos que un axioma es una afirmación que se supone que es verdadera sin pruebas. Estos son los bloques básicos a partir de los cuales se prueban todos los teoremas. A menudo se utilizan paradojas para mostrar las inconsistencias en una teoría axiomática defectuosa. El término paradoja también se emplea de manera informal para describir un resultado sorprendente o contradictorio que se desprende de un conjunto de reglas dado. Ahora, supongamos que hay un conjunto de todos los conjuntos y llámalo\(\mathcal{U}\). Es decir,\(\mathcal{U}\coloneqq \{A\mid A\mbox{ is a set}\}\).

Dada nuestra definición de\(\mathcal{U}\), explicar por qué\(\mathcal{U}\) es un elemento de sí mismo.

Si seguimos con esta línea de razonamiento, debe darse el caso de que algunos conjuntos sean elementos de sí mismos y otros no lo son. Dejar\(X\) ser el conjunto de todos los conjuntos que son elementos de sí mismos y dejar\(Y\) ser el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

[prob:russell] ¿\(Y\)Pertenece a\(X\) o\(Y\)? Explique por qué esto es una paradoja.

La paradoja anterior es una forma de formular una paradoja denominada Paradoja de Russell, que lleva el nombre del matemático y filósofo británico Bertrand Russell (1872—1970). ¿Cómo nos metimos en este lío en primer lugar? Al asumir la existencia de un conjunto de todos los conjuntos, podemos producir todo tipo de paradojas. La única manera de evitar este tipo de paradojas es concluir que no hay un conjunto de todos los conjuntos. Es decir, la colección de todos los conjuntos no puede ser un conjunto en sí mismo.

De acuerdo con la ingenua teoría de conjuntos (es decir, acercarse a la teoría de conjuntos usando lenguaje natural en lugar de lógica formal), cualquier colección definible es un conjunto. Como ilustra la Paradoja de Russell, esto lleva a problemas. Resulta que cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción, y de ahí la presencia de contradicciones como la Paradoja de Russell parecería catastrófica para las matemáticas. Dado que la teoría de conjuntos a menudo se ve como la base para el desarrollo axiomático en las matemáticas, la Paradoja de Russell pone en tela de juicio los fundamentos de las matemáticas. En respuesta a esta amenaza, una gran cantidad de investigación se dedicó a desarrollar axiomas consistentes (es decir, libres de contradicciones) para la teoría de conjuntos a principios del siglo XX. En 1908, Ernst Zermelo (1871-1953) propuso una colección de axiomas para la teoría de conjuntos que evitaban las inconsistencias de la teoría de conjuntos ingenua. En la década de 1920, los ajustes a los axiomas de Zermelo fueron realizados por Abraham Fraenkel (1891-1965), Thoralf Skolem (1887—1963), y Zermelo que dieron como resultado una colección de nueve axiomas, llamada ZFC, donde ZF significa Zermelo y Fraenkel y C significa el Axioma de Elección, que es uno de los nueve axiomas. Hablando libremente, el Axioma de Elección establece que dada cualquier colección de conjuntos, cada uno conteniendo al menos un elemento, es posible hacer una selección de exactamente un objeto de cada conjunto, incluso si la colección de conjuntos es infinita. Hubo un periodo de tiempo en matemáticas en el que el Axioma de Elección era polémico, pero hoy en día es generalmente aceptado. Hay una historia fascinante sobre el Axioma de Elección, incluyendo su controversia. La página de Wikipedia para el Axioma de Elección es un buen lugar para comenzar si estás interesado en aprender más. Hay varios enfoques axiomáticos en competencia para la teoría de conjuntos, pero ZFC es considerada la colección canónica de axiomas por la mayoría de los matemáticos.

El Apéndice C incluye algunos ejemplos más de paradojas, que se le anima a reflexionar.