4.4: El principio de ordenación correcta

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El penúltimo teorema de este capítulo se conoce como el Principio de Ordenamiento del Bien. Como verás, este teorema aparentemente obvio requiere de un poco de trabajo para probarlo. Cabe señalar que en algunos sistemas axiomáticos, el Principio de Ordenación del Bien se toma a veces como axioma. Sin embargo, en nuestro caso, el resultado se desprende de la inducción completa. Antes de afirmar el Principio de Ordenamiento del Bien, necesitamos una definición adicional.

Definición 4.35. Dejar\(A\subseteq \mathbb{R}\) y\(m\in A\). Entonces\(m\) se llama un máximo (o elemento mayor) de\(A\) si para todos\(a\in A\), tenemos\(a\leq m\). De igual manera,\(m\) se llama mínimo (o mínimo elemento) de\(A\) si para todos\(a\in A\), tenemos\(m\leq a\).

No es sorprendente que los máximos y mínimos sean únicos cuando existen. Podría ser útil revisar Skeleton Proof 2.90 antes de atacar el siguiente resultado.

Teorema 4.36. Si\(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que el máximo (respectivamente, mínimo) de\(A\) existe, entonces el máximo (respectivamente, mínimo) de\(A\) es único.

Si\(A\) existe el máximo de un conjunto, entonces se denota por\(\max(A)\). De igual manera, si\(A\) existe el mínimo de un conjunto, entonces se denota por\(min(A)\).

Problema 4.37. Encuentra el máximo y el mínimo para cada uno de los siguientes conjuntos cuando existan.

\(\{5,11,17,42,103\}\)
\(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{Z}\)
\((0,1]\)
\((0,1]\cap \mathbb{Q}\)
\((0,\infty)\)
\(\{42\}\)
\(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\)
\(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\}\)
\(\emptyset\)

Para probar el Principio de Ordenamiento del Bien, considere una prueba por contradicción. Supongamos que\(S\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb{N}\) que no tiene un elemento mínimo. Definir la proposición\(P(n):=\) “no\(n\) es un elemento de\(S\)" y luego utilizar la inducción completa para probar el resultado.

Teorema 4.38. Cada subconjunto no vacío de los números naturales tiene un elemento mínimo.

Resulta que el Principio de Ordenamiento del Bien (Teorema 4.38) y el Axioma de Inducción (Axioma 4.1) son equivalentes. En otras palabras, uno puede probar el Principio de Ordenamiento del Bien a partir del Axioma de Inducción, como lo hemos hecho nosotros, pero también se puede probar el Axioma de Inducción si se asume el Principio de Ordenamiento Bien.

Los dos últimos teoremas de esta sección pueden considerarse como versiones generalizadas del Principio de Ordenación del Bien.

Teorema 4.39. Si\(A\) es un subconjunto no vacío de los enteros y existe\(\ell\in \mathbb{Z}\) tal que\(\ell\leq a\) para todos\(a\in A\), entonces\(A\) contiene un elemento mínimo.

Teorema 4.40. Si\(A\) es un subconjunto no vacío de los enteros y existe\(u\in \mathbb{Z}\) tal que\(a\leq u\) para todos\(a\in A\), entonces\(A\) contiene un elemento mayor.

El elemento\(\ell\) en el Teorema 4.39 es referido como un límite inferior para\(A\) mientras que el elemento\(u\) en el Teorema 4.40 se llama un límite superior para\(A\). Estudiaremos los límites inferior y superior con más detalle en la Sección 5.1.