6.3: La infinitud de los Primes

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El punto culminante de esta sección es el Teorema 6.25, que establece que hay infinitamente muchos primos. La primera prueba conocida de este teorema está en los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.). Euclides lo declaró de la siguiente manera:

Proposición IX.20. Los números primos son más que cualquier multitud asignada de números primos.

Hay algunas observaciones interesantes que hacer sobre la proposición de Euclides y su prueba. Primero, observe que la afirmación del teorema no contiene la palabra “infinito”. Los griegos estaban temerosos por la idea del infinito. Así, demostró que había más primos que cualquier número finito dado. Hoy diríamos que hay infinitamente muchos. De hecho, Euclides demostró que hay más de tres primos y concluyó que había más que ningún número finito. Si bien tal prueba no se considera válida en la era moderna, podemos perdonar a Euclides por esta prueba menos que rigurosa; de hecho, es fácil convertir su prueba en la general que darás a continuación. Por último, la prueba de Euclides fue geométrica. Estaba viendo sus números como segmentos de línea con longitud integral. El concepto moderno de número aún no se desarrolló.

Antes de abordar una prueba del Teorema 6.25, necesitamos probar un par de resultados preliminares. Se le proporciona el comprobante del primer resultado.

Teorema 6.23. El único número natural que divide\(1\) es\(1\).

\(m\)Sea un número natural que divida\(1\). Lo sabemos\(m\geq 1\) porque 1 es el entero positivo más pequeño. Desde\(m\) divide\(1\), existe\(k\in \mathbb{N}\) tal que\(1=mk\). Ya que\(k\geq 1\), vemos eso\(mk\geq m\). Pero\(1=mk\), y así\(1\geq m\). Así, tenemos\(1\leq m \leq 1\), lo que implica eso\(m=1\), como se desee.

Para el siguiente teorema, intente utilizar una prueba por contradicción junto con el Teorema 6.23.

Teorema 6.24. Dejar\(p\) ser un número primo y dejar\(n\in \mathbb{Z}\). Si\(p\) divide\(n\), entonces\(p\) no divide\(n+1\).

Ya estamos listos para probar el siguiente teorema importante. Usa una prueba por contradicción. En particular, supongamos que hay finitamente muchos primos, digamos\(p_1, p_2,\ldots,p_k\). Considera el producto de todos ellos y luego agrega 1.

Teorema 6.25. Hay infinitamente muchos números primos.

Concluimos este capítulo con un divertido problema que involucra números primos. Este problema viene de David Riccheson (Dickinson College).

Problema 6.26. Comience con los primeros números\(n\) primos,\(p_1,\ldots, p_n\). Divídalos en dos juegos. Dejar\(a\) ser el producto de los primos en un juego y dejar\(b\) ser el producto de los primos en el otro conjunto. Supongamos que el producto es 1 si el conjunto está vacío. Por ejemplo, si\(n=5\), podríamos tener\(\{2,7\}\) y\(\{3,5,11\}\), y así\(a=14\) y\(b=165\). En general, ¿de qué podemos concluir\(a+b\) y\(a-b\)? Formar una conjetura y luego probarla.