9.3: Conjuntos Infinitos

En la sección anterior, exploramos conjuntos finitos. Ahora, juguemos con conjuntos infinitos.

Definición 9.26. Un conjunto\(A\) es infinito si no\(A\) es finito.

Veamos si podemos utilizar esta definición para probar que el conjunto de números naturales es infinito. En aras de una contradicción, asumamos lo contrario. Entonces existe\(n\in\mathbb{N}\) tal que\(card([n])=card(\mathbb{N})\), lo que implica que existe una biyección\(f:[n]\to \mathbb{N}\). ¿Qué puedes decir del número\(m:= \max(f(1),f(2),\ldots,f(n))+1\)?

Teorema 9.27. El conjunto\(\mathbb{N}\) de números naturales es infinito.

El siguiente teorema es análogo al Teorema 9.19, pero para conjuntos infinitos. Para probar este teorema, intente una prueba por contradicción. Deberías terminar componiendo dos bijecciones, digamos\(f:A\to B\) y\(g:B\to [n]\) para algunas\(n\in\mathbb{N}\). Como veremos más adelante, lo contrario de este teorema no es cierto en general.

Teorema 9.28. Si\(A\) es infinito y\(card(A)=card(B)\), entonces\(B\) es infinito.

Problema 9.29. Verifique rápidamente que los siguientes conjuntos son infinitos apelando al Teorema 9.27, Teorema 9.28 o Problema 9.6.

1. El conjunto de números naturales impares
2. El conjunto de números naturales pares
3. \(\mathbb{Z}\)
4. \(R=\{\frac{1}{2^n}\mid n\in \mathbb{N}\}\)
5. \(\mathbb{N}\times \{a\}\)

Observe que la Definición 9.26 nos dice qué conjuntos infinitos no son, pero en realidad no nos dice cuáles son. A la luz del Teorema 9.27, una forma de pensar sobre conjuntos infinitos es la siguiente. Supongamos que\(A\) es algún conjunto no vacío. Seleccionemos un elemento aleatorio de\(A\) y lo dejemos a un lado. Llamaremos a este elemento el “primer” elemento. Después seleccionamos uno de los elementos restantes y se deja a un lado, también. Este es el “segundo” elemento. Imagina que continuamos de esta manera, eligiendo un “tercer” elemento, y “cuarto” elemento, etc. Si el conjunto es infinito, nunca debemos quedarnos sin elementos para seleccionar. De lo contrario, crearíamos una bijección con\([n]\) para algunos\(n\in\mathbb{N}\).

El siguiente problema, a veces referido como el Hotel Hilbert, que lleva el nombre del matemático alemán David Hilbert (1862-1942), ilustra otra forma de pensar sobre conjuntos infinitos.

Problema 9.30. El Infinite Hotel cuenta con habitaciones numeradas\(1,2,3,4,\ldots\). Todas las habitaciones del Infinite Hotel están ocupadas actualmente.

1. ¿Es posible hacer espacio para un huésped más (asumiendo que quieren una habitación para sí mismos)?
2. Un número infinito de nuevos invitados, digamos\(g_1, g_2,g_3,\ldots\), aparecen en el lobby y cada uno exige una habitación. ¿Es posible hacer espacio para todos los nuevos huéspedes aunque el hotel ya esté lleno?

El problema anterior verifica que existe un subconjunto propio de los números naturales que está en biyección con los propios números naturales. También fuimos testigos de esto en las Partes (a) y (b) del Problema 9.29. Observe que el Teorema 9.23 prohíbe este tipo de comportamiento para conjuntos finitos. Resulta que este fenómeno es cierto para todos los conjuntos infinitos. El siguiente teorema verifica que los dos puntos de vista de conjuntos infinitos discutidos anteriormente son válidos. Para probar este teorema, necesitamos probar que los tres enunciados son equivalentes. Un enfoque posible es probar (i) si y sólo si (ii) y (ii) si y sólo si (iii). Para (i) implica (ii), construir\(f\) recursivamente. Porque (ii) implica (i), probar una prueba por contradicción. Para (ii) implica (iii), dejar\(B=A\setminus \{f(1),f(2),\ldots\}\) y mostrar que se\(A\) puede poner en bijección con\(B\cup\{f(2),f(3),\ldots\}\). Por último, para (iii) implica (ii), supongamos que\(g:A\to C\) es una biyección para algún subconjunto propio\(C\) de\(A\). Vamos\(a\in A\setminus C\). Definir\(f:\mathbb{N}\to A\) vía\(f(n)=g^n(a)\), donde\(g^n\) los medios componen\(g\) consigo mismos\(n\) tiempos.

Teorema 9.31. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

1. El conjunto\(A\) es infinito.
2. Existe una función de inyección\(f:\mathbb{N}\to A\).
3. El conjunto se\(A\) puede poner en bijección con un subconjunto apropiado de\(A\) (es decir, existe un subconjunto apropiado\(B\) de\(A\) tal que\(card(B)=card(A)\)).

Cabe mencionar que para el teorema anterior, (iii) implica (i) se desprende inmediatamente del contrapositivo del Teorema 9.23. Al probar (i) implica (ii) en el teorema anterior, ¿aplicaste el Axioma de Elección? Si es así, ¿dónde?

Corolario 9.32. Un conjunto es infinito si y sólo si tiene un subconjunto infinito.

Corolario 9.33. Si\(A\) es un conjunto infinito, entonces\(card(\mathbb{N})\leq card(A)\).

Problema 9.34. Encontrar una nueva prueba del Teorema 9.27 que utiliza (iii) implica (i) del Teorema 9.31.

Problema 9.35. Verifique rápidamente que los siguientes conjuntos sean infinitos apelando ya sea al Teorema 9.31 (use (ii) implica (i)) o Corolario 9.32.

1. Conjunto de números naturales impares
2. Conjunto de números naturales pares
3. \(\mathbb{Z}\)
4. \(\mathbb{N}\times \mathbb{N}\)
5. \(\mathbb{Q}\)
6. \(\mathbb{R}\)
7. Conjunto de cuadrados perfectos en\(\mathbb{N}\)
8. \((0,1)\)
9. \(\mathbb{C}:= \{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\}\)