2.4: Los conejos son una población estructurada por edad

Los conejos de Fibonacci forman una población estructurada por edades y podemos usar este simple caso para ilustrar el enfoque más general. Los conejos de Fibonacci pueden clasificarse en dos clases significativas de edad: juveniles y adultos. Aquí, los juveniles son los conejos recién nacidos que aún no pueden aparearse; los adultos son aquellos conejos de al menos un mes de edad. Comenzando con una pareja recién nacida a principios del primer mes, censamos la población al inicio de cada mes posterior después de que las hembras apareadas hayan dado a luz. Al inicio del mes\(n\) th, deja\(u_{1, n}\) ser el número de parejas de conejos recién nacidos, y dejar\(u_{2, n}\) ser el número de parejas de conejos de al menos un mes de edad. Dado que cada pareja adulta da a luz a una pareja juvenil, el número de parejas juveniles al inicio del\((n+1)\) -st mes es igual al número de parejas adultas al inicio del\(n\) -ésimo mes. Y dado que el número de parejas adultas al inicio del\((n+1)\) -st mes es igual a la suma de parejas adultas y juveniles al inicio del\(n\) -ésimo mes, tenemos

\[\begin{aligned} &u_{1, n+1}=u_{2, n} \\[4pt] &u_{2, n+1}=u_{1, n}+u_{2, n} \end{aligned} \nonumber \]

o escrito en forma de matriz

\[\left(\begin{array}{l} u_{1, n+1} \\[4pt] u_{2, n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} u_{1, n} \\[4pt] u_{2, n} \end{array}\right) . \nonumber \]

Reescrito en forma vectorial, tenemos

\[\mathbf{u}_{n+1}=L \mathbf{u}_{n \prime} \nonumber \]

donde las definiciones del vector\(\mathbf{u}_{n}\) y la matriz\(L\) son obvias. Las condiciones iniciales, con una pareja juvenil y sin adultos, son dadas por

\[\left(\begin{array}{l} u_{1,1} \\[4pt] u_{2,1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\[4pt] 0 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

La solución de este sistema de ecuaciones de diferencia acopladas, lineales, de primer orden, (2.4.2), procede de manera similar a la de las ecuaciones acopladas, lineales, diferenciales de primer orden. Con el ansatz,\(\mathbf{u}_{n}=\lambda^{n} \mathbf{v}\), obtenemos tras la sustitución en (2.4.2) el problema del valor propio

\[\mathbf{L} \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \nonumber \]

cuya solución produce dos valores propios\(\lambda_{1}\) y\(\lambda_{2}\), con vectores propios correspondientes\(\mathbf{v}_{1}\) y\(\mathbf{v}_{2}\). La solución general a (2.4.2) es entonces

\[\mathbf{u}_{n}=c_{1} \lambda_{1}^{n} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \lambda_{2}^{n} \mathbf{v}_{2} \nonumber \]

con\(c_{1}\) y\(c_{2}\) determinado a partir de las condiciones iniciales. Ahora supongamos eso\(\left|\lambda_{1}\right|>\left|\lambda_{2}\right|\). Si reescribimos (2.4.5) en el formulario

\[\mathbf{u}_{n}=\lambda_{1}^{n}\left(c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2}\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\right)^{n} \mathbf{v}_{2}\right) \nonumber \]

entonces porque\(\left|\lambda_{2} / \lambda_{1}\right|<1, \mathbf{u}_{n} \rightarrow c_{1} \lambda_{1}^{n} \mathbf{v}_{1}\) como\(n \rightarrow \infty\). La asintótica de larga duración de la población, por lo tanto, depende únicamente de\(\lambda_{1}\) y del autovector correspondiente\(\mathbf{v}_{1} .\) Para nuestros conejos de Fibonacci, los valores propios se obtienen resolviendo\(\operatorname{det}(\mathrm{L}-\lambda \mathrm{I})=\) 0, y encontramos

\[\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} -\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 1-\lambda \end{array}\right) &=-\lambda(1-\lambda)-1 \\[4pt] &=0 \end{aligned} \nonumber \]

o\(\lambda^{2}-\lambda-1=0\), con soluciones\(\Phi\) y\(-\phi\). Ya que\(\Phi>\phi\), el valor propio\(\Phi\) y su correspondiente vector propio determinan la estructura de edad de la población asintótica de larga duración. El vector propio se puede encontrar resolviendo

\[(\mathrm{L}-\Phi \mathrm{I}) \mathbf{v}_{1}=\mathbf{0} \nonumber \]

o

\[\left(\begin{array}{cc} -\Phi & 1 \\[4pt] 1 & 1-\Phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{11} \\[4pt] v_{12} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\[4pt] 0 \end{array}\right) \nonumber \]

La primera ecuación es solo\(-\Phi\) veces la segunda ecuación (use\(\Phi^{2}-\Phi-1=0\)), así que eso\(v_{12}=\Phi v_{11}\). Tomando\(v_{11}=1\), tenemos

\[\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\[4pt] \Phi \end{array}\right) \nonumber \]

La estructura de edad asintótica obtenida de\(\mathbf{v}_{1}\) muestra que la proporción de adultos a juveniles se acerca a la media dorada; es decir,

\[\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{2, n}}{u_{1, n}} &=v_{12} / v_{11} \\[4pt] &=\Phi . \end{aligned} \nonumber \]