2.5: Poblaciones discretas estructuradas por edad
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En un modelo discreto, los censos de población ocurren en momentos discretos y los individuos son asignados a clases de edad, abarcando un rango de edades. Para simplificar el modelo, asumimos que el tiempo entre censos es igual al lapso de edad de todas las clases de edad.
| \(u_{i, n}\) | número de mujeres en la clase de edad\(i\) en el censo\(n\) |
|---|---|
| \(s_{i}\) | fracción de mujeres que sobreviven desde la clase de edad\(i-1\) hasta\(i\) |
| \(m_{i}\) | número esperado de descendencia femenina de una hembra en la clase de edad\(i\) |
| \(l_{i}=s_{1} \cdots s_{i}\) | fracción de mujeres que sobreviven desde el nacimiento hasta la clase de edad\(i\) |
| \(f_{i}=m_{i} l_{i}\) | Proporción reproductiva básica |
| \(\mathcal{R}_{0}=\sum_{i} f_{i}\) |
Un ejemplo es un país que censa su población cada cinco años, y asigna individuos a clases de edad que abarcan cinco años (por ejemplo, 0-4 años, 5-9 años, etc.). Aunque los censos de país suelen contar tanto a hembras como a machos por separado, solo contaremos a las hembras e ignoraremos a los machos.
Hay varias definiciones nuevas en esta Sección y las pongo en Tabla\(2.2\) para facilitar su referencia. \(u_{i, n}\)Definimos como el número de mujeres en la clase de edad\(i\) en el censo\(n\). Suponemos que\(i=1\) representa la primera clase de edad y\(i=\omega\) la última. Ninguna hembra sobrevive más allá de la última clase de edad. También asumimos que el primer censo se realiza cuando\(n=1\). Definimos\(s_{i}\) como la fracción de hembras que sobreviven de clase de edad\(i-1\) a clase de edad\(i\) (con\(s_{1}\) la fracción de recién nacidos que sobreviven a su primer censo), y definimos\(m_{i}\) como el número esperado de nacimientos femeninos por hembra en clase de edad\(i\).
Construimos ecuaciones de diferencia para\(\left\{u_{i n+1}\right\}\) en términos de\(\left\{u_{i n}\right\}\). Primero, los recién nacidos en el censo\(n+1\) nacieron entre el censo\(n\) y\(n+1\) las hembras de diferentes edades, con diferentes fertilidades. Además, solo una fracción de estos recién nacidos sobrevive a su primer censo. Segundo, solo una fracción de las mujeres en la clase de edad\(i\) que fueron contadas en el censo\(n\) sobrevive para ser contadas en la clase de edad\(i+1\) en el censo\(n+1\). Al juntar estas dos ideas con los parámetros adecuadamente definidos,\(\left\{u_{i, n+1}\right\}\) se determina que las ecuaciones de diferencia para
\[\begin{aligned} u_{1, n+1} &=s_{1}\left(m_{1} u_{1, n}+m_{2} u_{2, n}+\cdots+m_{\omega} u_{\omega, n}\right) \\[4pt] u_{2, n+1} &=s_{2} u_{1, n} \\[4pt] u_{3, n+1} &=s_{3} u_{2, n} \\[4pt] \vdots & \\[4pt] u_{\omega, n+1} &=s_{\omega} u_{\omega-1, n} \end{aligned} \nonumber \]
que se puede reescribir como la ecuación matricial
\[\left(\begin{array}{c} u_{1, n+1} \\[4pt] u_{2, n+1} \\[4pt] u_{3, n+1} \\[4pt] \vdots \\[4pt] u_{\omega, n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} s_{1} m_{1} & s_{1} m_{2} & \ldots & s_{1} m_{\omega-1} & s_{1} m_{\omega} \\[4pt] s_{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\[4pt] 0 & s_{3} & \ldots & 0 & 0 \\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\[4pt] 0 & 0 & \ldots & s_{\omega} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1, n} \\[4pt] u_{2, n} \\[4pt] u_{3, n} \\[4pt] \vdots \\[4pt] u_{\omega, n} \end{array}\right) ; \nonumber \]
o en forma de vector compacto como
\[\mathbf{u}_{n+1}=\mathrm{L} \mathbf{u}_{n} \nonumber \]
donde\(L\) se llama Leslie Matrix.
Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver determinando los valores propios y los vectores propios asociados de la Matriz de Leslie. Se puede resolver directamente la ecuación característica\(\operatorname{det}(\mathrm{L}-\lambda \mathrm{I})=0\), o reducir el sistema de ecuaciones de diferencia de primer orden (2.5.2) a una sola ecuación de alto orden para el número de mujeres en la primera clase de edad. Siguiendo este último enfoque, y comenzando con la segunda fila de\((2.5.2)\), tenemos
\[\begin{aligned} u_{2, n+1} &=s_{2} u_{1, n} \\[4pt] u_{3, n+1} &=s_{3} u_{2, n} \\[4pt] &=s_{3} s_{2} u_{1, n-1} \\[4pt] & \vdots \\[4pt] u_{\omega, n+1} &=s_{\omega} u_{\omega-1, n} \\[4pt] &=s_{\omega} s_{\omega-1} u_{\omega-2, n-1} \\[4pt] & \vdots \\[4pt] &=s_{\omega} s_{\omega-1} \cdots s_{2} u_{1, n-\omega+2} \end{aligned} \nonumber \]
Si definimos\(l_{i}=s_{1} s_{2} \cdots s_{i}\) que es la fracción de hembras que sobreviven desde el nacimiento hasta la clase de edad\(i\), y\(f_{i}=m_{i} l_{i}\) ser el número de crías femeninas que se espera de una hembra recién nacida al llegar a la clase de edad\(i\) (teniendo en cuenta que no puede sobrevivir a la clase de edad\(i\)), luego la primera fila de (2.5.2) se convierte
\[u_{1, n+1}=f_{1} u_{1, n}+f_{2} u_{1, n-1}+f_{3} u_{1, n-2}+\cdots+f_{\omega} u_{1, n-\omega+1} . \nonumber \]
Aquí, hemos hecho la suposición simplificadora de\(n \geq \omega\) que para que todas las hembras contabilizadas en el\(n+1\) censo nacieron después del primer censo.
La ecuación de diferencia lineal de orden superior (2.5.3) puede resolverse usando la sustitución\(u_{1, n}=\lambda^{n} .\) directa de ansatz y la división por\(\lambda^{n+1}\) resultados en la ecuación discreta de EUlerLotka
\[\sum_{j=1}^{\omega} f_{j} \lambda^{-j}=1 \nonumber \]
que pueden tener raíces tanto reales como complejo-conjugadas.
Una vez que\(\lambda\) se determina un valor propio a partir de\((2.5.4)\), el vector propio correspondiente se\(\mathbf{v}\) puede calcular usando la matriz de Leslie. Tenemos
\[\left(\begin{array}{ccccc} s_{1} m_{1}-\lambda & s_{1} m_{2} & \ldots & s_{1} m_{\omega-1} & s_{1} m_{\omega} \\[4pt] s_{2} & -\lambda & \ldots & 0 & 0 \\[4pt] 0 & s_{3} & \cdots & 0 & 0 \\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\[4pt] 0 & 0 & \cdots & s_{\omega} & -\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} v_{1} \\[4pt] v_{2} \\[4pt] v_{3} \\[4pt] \vdots \\[4pt] v_{\omega} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0 \\[4pt] \vdots \\[4pt] 0 \end{array}\right) \nonumber \]
Tomando\(v_{\omega}=l_{\omega} / \lambda^{\omega}\), y comenzando con la última fila y trabajando hacia atrás, tenemos:
\[\begin{aligned} v_{\omega-1} &=l_{\omega-1} / \lambda^{\omega-1} \\[4pt] v_{\omega-2} &=l_{\omega-2} / \lambda^{\omega-2} \\[4pt] \vdots & \\[4pt] v_{1} &=l_{1} / \lambda \end{aligned} \nonumber \]
para que
\[v_{i}=l_{i} / \lambda^{i}, \quad \text { for } i=1,2, \ldots, \omega \nonumber \]
Podemos obtener una interesante implicación de este resultado formando la proporción de dos clases de edad consecutivas. Si\(\lambda\) es el valor propio dominante (y es real y positivo, como es el caso de las poblaciones humanas), entonces asintóticamente,
\[\begin{aligned} u_{i+1, n} / u_{i, n} & \sim v_{i+1} / v_{i} \\[4pt] &=s_{i+1} / \lambda \end{aligned} \nonumber \]
Con las fracciones de supervivencia\(\left\{s_{i}\right\}\) fijas, aumentar\(\lambda\) implica una proporción decreciente: una población de crecimiento más rápido tiene personas relativamente más jóvenes que una población de crecimiento más lento. De hecho, ahora estamos viviendo una época en la que los países desarrollados, particularmente Japón y los de Europa occidental, así como Hong Kong y Singapur, han bajado sustancialmente sus tasas de crecimiento poblacional y están aumentando la edad promedio de sus ciudadanos.
Si queremos simplemente determinar si una población crece o decae, podemos calcular la relación básica de reproducción\(\mathcal{R}_{0}\), definida como la expectativa neta de descendencia femenina a una hembra recién nacida. La estasis se obtiene si la hembra sólo se reemplaza antes de morir. Si\(\mathcal{R}_{0}>1\), entonces la población crece, y si\(\mathcal{R}_{0}<1\) entonces la población decae. \(\mathcal{R}_{0}\)es igual al número de crías femeninas que se espera de un recién nacido cuando se encuentra en la clase de edad\(i\), sumado en todas las clases de edad, o
\[\mathcal{R}_{0}=\sum_{i=1}^{\omega} f_{i} \nonumber \]
Para una población con aproximadamente el mismo número de hombres y mujeres,\(\mathcal{R}_{0}=1\) significa que una hembra recién nacida debe producir en promedio dos hijos a lo largo de su vida. Las noticias en la prensa occidental frecuentemente afirman que para un crecimiento demográfico cero, las mujeres necesitan tener\(2.1\) hijos. El término mujeres utilizado en estos relatos presumiblemente significa mujeres en edad fértil. Dado que las niñas que mueren jóvenes no tienen hijos, la estadística de\(2.1\) niños implica que\(0.1 / 2.1\), o alrededor\(5 \%\) de los niños mueren antes de llegar a la edad adulta.
Una aplicación útil del modelo matemático desarrollado en esta Sección es predecir la futura estructura de edades dentro de varios países. Esto puede ser importante para la planificación económica, por ejemplo, determinar los ingresos fiscales que pueden pagar los crecientes costos de la atención médica a medida que la población envejece. Para predicciones precisas sobre la futura estructura de edades de un país determinado, también se debe modelar la inmigración y la migración. Un sitio web interesante para navegar está en
http://www.census.gov/ipc/www/idb.
Este sitio web, creado por la oficina de censos de Estados Unidos, brinda acceso a la Base Internacional de Datos (BID), una fuente computarizada de estadísticas demográficas y socioeconómicas para 227 países y áreas del mundo. En clase, veremos y discutiremos la producción dinámica de algunas de las pirámides poblacionales, incluidas las de Hong Kong y China.