4.3: La regla de la cadena

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En las dos últimas secciones aprendimos reglas para diferenciar simbólicamente algunas funciones. Para resumir, hemos establecido algunas fórmulas elementales y algunas reglas aritméticas.

Fórmulas elementales:

Si\(f(x)=a\text{,}\) entonces\(f'(x)=0\text{.}\)

Si\(f(x)=ax\text{,}\) entonces\(f'(x)=a\text{.}\)

Si\(f(x)=a*x^n\text{,}\) entonces\(f(x)=a*n*x^{n-1}\text{,}\) para cualquier número distinto de cero n.

Si\(f(x)=e^x\text{,}\) entonces\(f'(x)=e^x\text{.}\)

Si\(f(x)=a^x\text{,}\) entonces\(f'(x)=a^x \ln(a)\text{.}\)

Si\(f(x)=\ln(x)\text{,}\) entonces\(f'(x)=1/x\)

Reglas aritméticas derivadas:

Regla múltiple escalar: La derivada de\(c*f(x)\) es\(c*f'(x)\text{.}\)

Regla de suma y diferencia: La derivada de\(f(x)\pm g(x)\) es\(f'(x)\pm g'(x)\text{.}\)

Regla del producto: La derivada de\(f(x)g(x)\) es\(f' (x) g(x)+f(x)g'(x)\text{.}\)

Regla del cociente: La derivada de\(f(x)/g(x)\) es\(\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \text{.}\)

La otra forma en que tradicionalmente construimos funciones a partir de funciones más simples es mediante el uso de la composición. Queremos ser capaces de tomar derivadas de funciones como\((2x+3)^{52}\text{,}\)\(\sqrt{(x^2 )+5x+7}\text{,}\) y\(1.06^{.2x}\text{.}\)

Reclamación\(4.3.1\). Chain Rule.

El derivado de\(f(g(x))\) es\(f'(g(x))g'(x)\) En otras palabras,

\[ \left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))*g'(x)\text{.} \nonumber \]

Ejemplo 4.3.2: Regla de Cadena Simple.

Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

\(\displaystyle f(p)=(p^3+2 p+5)^7.\)
\(\displaystyle g(q)=\sqrt{q^2+6}.\)
\(\displaystyle h(x)=e^{2 x+5}.\)

Solución

Podríamos hacer este problema expandiéndolo a un polinomio y usando reglas de la sección anterior, pero eso es demasiado difícil. Podemos escribir\(f(p)\) como\(g(h(p))\) donde\(h(p)=p^3+2 p+5\) y\(g(p)=p^7\text{.}\) usamos las reglas de la sección anterior para computar\(h'(p)=3 p^2+2\) y\(g'(p)=7p^6\text{.}\) componer obtenemos\(g'(h(p))=7(p^3+2 p+5)^6\text{.}\) Así
\[ f'(p)=g'(h(p))h'(p)=7(p^3+2 p+5)^6(3 p^2+2 ). \nonumber \]