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# 4.3: La regla de la cadena

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

En las dos últimas secciones aprendimos reglas para diferenciar simbólicamente algunas funciones. Para resumir, hemos establecido algunas fórmulas elementales y algunas reglas aritméticas.

Fórmulas elementales:

Si$$f(x)=a\text{,}$$ entonces$$f'(x)=0\text{.}$$

Si$$f(x)=ax\text{,}$$ entonces$$f'(x)=a\text{.}$$

Si$$f(x)=a*x^n\text{,}$$ entonces$$f(x)=a*n*x^{n-1}\text{,}$$ para cualquier número distinto de cero n.

Si$$f(x)=e^x\text{,}$$ entonces$$f'(x)=e^x\text{.}$$

Si$$f(x)=a^x\text{,}$$ entonces$$f'(x)=a^x \ln(a)\text{.}$$

Si$$f(x)=\ln(x)\text{,}$$ entonces$$f'(x)=1/x$$

Regla múltiple escalar: La derivada de$$c*f(x)$$ es$$c*f'(x)\text{.}$$

Regla de suma y diferencia: La derivada de$$f(x)\pm g(x)$$ es$$f'(x)\pm g'(x)\text{.}$$

Regla del producto: La derivada de$$f(x)g(x)$$ es$$f' (x) g(x)+f(x)g'(x)\text{.}$$

Regla del cociente: La derivada de$$f(x)/g(x)$$ es$$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \text{.}$$

La otra forma en que tradicionalmente construimos funciones a partir de funciones más simples es mediante el uso de la composición. Queremos ser capaces de tomar derivadas de funciones como$$(2x+3)^{52}\text{,}$$$$\sqrt{(x^2 )+5x+7}\text{,}$$ y$$1.06^{.2x}\text{.}$$

## Reclamación$$4.3.1$$. Chain Rule.

El derivado de$$f(g(x))$$ es$$f'(g(x))g'(x)$$ En otras palabras,

$\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))*g'(x)\text{.} \nonumber$

## Ejemplo 4.3.2: Regla de Cadena Simple.

Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

1. $$\displaystyle f(p)=(p^3+2 p+5)^7.$$
2. $$\displaystyle g(q)=\sqrt{q^2+6}.$$
3. $$\displaystyle h(x)=e^{2 x+5}.$$

Solución

1. Podríamos hacer este problema expandiéndolo a un polinomio y usando reglas de la sección anterior, pero eso es demasiado difícil. Podemos escribir$$f(p)$$ como$$g(h(p))$$ donde$$h(p)=p^3+2 p+5$$ y$$g(p)=p^7\text{.}$$ usamos las reglas de la sección anterior para computar$$h'(p)=3 p^2+2$$ y$$g'(p)=7p^6\text{.}$$ componer obtenemos$$g'(h(p))=7(p^3+2 p+5)^6\text{.}$$ Así

$f'(p)=g'(h(p))h'(p)=7(p^3+2 p+5)^6(3 p^2+2 ). \nonumber$

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