4.2: Reglas Derivadas para Combinaciones de Funciones

En la última sección aprendimos reglas para diferenciar simbólicamente algunas funciones elementales. Para resumir, hemos establecido 4 reglas.

Fórmulas elementales:

Si f\((x)=x^n\text{,}\) entonces\(f'(x)=n*x^{(n-1)}\text{,}\) para cualquier número real\(n\text{.}\)

Si\(f(x)=e^x\text{,}\) entonces\(f'(x)=e^x\text{.}\)

Si\(f(x)=a^x\text{,}\) entonces\(f'(x)=a^x \ln(a)\text{.}\)

Si\(f(x)=\ln(x)\text{,}\) entonces\(f'(x)= 1/x\text{.}\)

Sin embargo todavía no tenemos una regla para tomar la derivada de una función tan simple como\(f(x)=x+2\text{.}\) En lugar de producir reglas para cada tipo de función, deseamos descubrir cómo diferenciar funciones obtenidas por aritmética en funciones que ya sabemos diferenciar. Esto nos permitiría diferenciar funciones como\(f(x)=5 x^3+3x^2+1\text{,}\)\(g(x)=(x+2) 1.03^x\text{,}\) o\(F(x)= \ln(x)/(x+3)\text{,}\) que se construyen de nuestras funciones elementales. Queremos reglas para multiplicar una función conocida por una constante, para sumar o restar dos funciones conocidas, y para multiplicar o dividir dos funciones conocidas.

4.2.1 Derivados de productos escalares

Comenzamos diferenciando una constante veces una función.

Reclamación\(4.2.1\). Scalar Multiple Rule.

El derivado de\(c*f(x)\) es\(c*f'(x)\text{.}\) En otras palabras,

\[ [c*f(x)]'=c*f'(x)\text{.} \nonumber \]

Ejemplo 4.2.2: Derivadas de Constantes por Funciones Estándar.

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

1. \(\displaystyle f(x)=2e^x\)
2. \(\displaystyle g(x)=500(1.05)^x\)
3. \(\displaystyle h(x)=\ln(x^7)\)

Solución

Usando nuestra regla

1. \(\displaystyle f'(x)=2[e^x ]'=2e^x.\)
2. \(\displaystyle g'(x)=500[(1.05)^x ]'=500(1.05)^x \ln(1.05).\)
3. \(\displaystyle h'(x)=[\ln(x^7)]'=[7 \ln(x)]'=7[\ln(x)]'=7/x.\)

Derivadas de sumas y diferencias

A continuación queremos ver la suma o diferencia de dos funciones.

Reclamación\(4.2.3\). Sum and Difference Rule.

El derivado de\(f(x)\pm g(x)\) es\(f'(x)\pm g'(x)\text{.}\) En otras palabras,

\[ [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\text{.} \nonumber \]

Ejemplo 4.2.4: Derivadas de Sumas y Diferencias de Funciones Estándar.

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

1. \(\displaystyle f(x)=5x^3+3x^2-7\)
2. \(\displaystyle g(x)=100e^x-1000(1.03)^x\)
3. \(\displaystyle h(x)=5\sqrt{x}+2/\sqrt{x}-7x^{-3}\)

Solución

Usando nuestra regla

1. \(\displaystyle f'(x)=[5x^3 ]'+[3x^2 ]'-[7]'=15x^2+6x-0.\)
2. \(\displaystyle g'(x)=100[e^x]'-1000(1.03)^x]'=100e^x-1000(1.03)^x \ln(1.03).\)
3. \ begin {reunir*} h' (x) =5 [x^ {1/2}] '+2 [x^ {-1/2}] '-7 [x^ {-3}] '\\ =5/2 x^ {-1/2} -x^ {-3/2} +21 x^ {-4}\\\ =\ frac {5} {2\ sqrt {x}} -\ frac {1} {\ sqrt rt {x^3}} +\ frac {21} {x^4}. \ end {reunir*}

Teoría y justificación

El argumento básico para todas nuestras reglas comienza con la linealidad local. Recordemos que si\(f(x)\) es diferenciable\(x_0\text{,}\) entonces en una región alrededor\(x_0\text{,}\) podemos aproximarnos\(f(x)\) por una función lineal,\(f(x)\approx f'(x_0 )(x-x_0 )+f(x_0)\text{.}\) Para encontrar la derivada de un producto escalar, suma, diferencia, producto, o cociente de funciones conocidas, realizamos las acciones apropiadas sobre el lineal aproximaciones de esas funciones. Luego tomamos el coeficiente del término lineal del resultado.

Para nuestra primera regla estamos diferenciando una constante veces una función. Siguiendo el método general observamos cómo multiplicamos una constante por la aproximación lineal.

\[ c*(f' (x_0 )(x-x_0 )+f(x_0 ))=(c f' (x_0 ))(x-x_0 )+(c f(x_0 )) \nonumber \]

Tomando el coeficiente del término lineal da la regla múltiple escalar, la derivada de una constante veces a funciones es la constante por la derivada de la función.

A continuación queremos ver la suma o diferencia de dos funciones. Siguiendo el método general observamos la suma o diferencia de las aproximaciones lineales.

\ begin {reunir*} (f' (x_0) (x-x_0) +f (x_0))\ pm (g' (x_0) (x-x_0) +g (x_0))\ = (f' (x_0)\ pm g' (x_0)) (x-x_0) + (f (x_0) ±g (x_0))\ end {reunir*}

Tomando el coeficiente del término lineal da la regla de suma o diferencia, la derivada de una suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de las derivadas de las funciones.

4.2.2 Derivados de productos

Volvemos nuestra atención al producto de dos funciones.

Reclamación\(4.2.5\). Product Rule.

El derivado de\(f(x)* g(x)\) es\(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) En otras palabras,

\[ [f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)\text{.} \nonumber \]

Advertencia: ¡Tenga en cuenta que el derivado de un producto no es el producto de los derivados!

Comenzamos con un ejemplo que podemos hacer multiplicando antes de tomar la derivada. Esto nos da una manera de comprobar que tenemos la regla correcta.

Ejemplo 4.2.6: Derivada simple de un Producto.

Let\(f(x)=x\) and\(g(x)=x^2\text{.}\) Find la derivada de\(f(x)*g(x)\text{.}\)

Solución

Tenga en cuenta que\(f(x)*g(x)=x^3\text{.}\) Usando nuestra regla para monomios\((f(x)*g(x))'=(x^3 )'=3x^2\text{.}\) Usando la misma regla que vemos\(f'(x)=1\text{,}\) y ahora\(g'(x)=2x\text{.}\) podemos evaluar usando la regla del producto:

\[ \begin{aligned} (f(x)*g(x))' \amp = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) \\ \amp = (1)*(x^2 )+(x)*(2x)= 3x^2. \end{aligned} \nonumber \]

Ambos métodos dan la misma respuesta. Tenga en cuenta que el producto de los derivados es el\(2x\) que NO es el derivado del producto.

Ejemplo 4.2.7: Derivados Generales de Productos.

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

1. \(\displaystyle f(x)=(6x+100)*(1.06)^x.\)
2. \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x} \ln(x).\)

Solución

1. \(\displaystyle f'(x)=(6)*(1.06)^x+(6x+100)*(1.06)^x \ln(1.06)\)
2. \(\displaystyle g'(x)=[\sqrt{x}]'\ln(x)+\sqrt{x}[\ln(x)]'= [1/(2\sqrt{x})]\ln(x)+\sqrt{x}[1/x].\)

Teoría y justificación

Siguiendo la regla general observamos el término lineal del producto de las aproximaciones lineales. Considera el producto de dos expresiones lineales.

\[ (a x+c)(b x+d)=a b x^2+(a d+b c)x+c d. \nonumber \]

El coeficiente del término lineal es\((a d+b c)\text{.}\) Así, cuando tomamos el producto

\[ (f'(x_0)(x-x_0 )+f(x_0 ))*(g' (x_0 )(x-x_0)+g(x_0 )), \nonumber \]

el coeficiente del término lineal es

\[ f'(x_0 )g(x_0 )+f(x_0)g'(x_0). \nonumber \]

4.2.3 Derivadas de cocientes

Por último, volvemos nuestra atención al cociente de dos funciones.

Reclamación\(4.2.8\). Quotient Rule.

El derivado de\(\frac{f(x)}{g(x)}\) es\(\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\) En otras palabras,

\[ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\text{.} \nonumber \]

Advertencia: ¡Una vez más, tenga en cuenta que la derivada de un cociente NO es el cociente de los derivados!

Ejemplo 4.2.9: Derivada simple de un cociente.

Let\(f(x)=x^2\) and\(g(x)=x\text{.}\) Find la derivada de\(f(x)/g(x)\text{.}\)

Solución

Tenga en cuenta que\(f(x)/g(x)=x\text{.}\) Usando nuestra regla para monomios\((f(x)*g(x))'=(x )'=1\text{.}\) Usando la misma regla que vemos\(f'(x)=2x\text{,}\) y ahora\(g'(x)=1\text{.}\) podemos evaluar usando la regla del cociente:

\[ \begin{aligned} (f(x)/g(x))' \amp = \frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2} \\ \amp = \frac{(2x)*(x )-(x^2)*(1)}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}=1. \end{aligned} \nonumber \]

Ambos métodos dan la misma respuesta. Tenga en cuenta que el cociente de los derivados es\(2x\text{,}\)

Ejemplo 4.2.10: Derivadas generales de cocientes.

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

1. \(\displaystyle f(x)=((6x^2+100))/(x^3+x).\)
2. \(\displaystyle g(x)=(1.07)^x/(3x+5).\)

Solución

1. \[ f'(x)=\left(\frac{6x^2+100}{x^3+3}\right)' =\frac{(12x)(x^3+3)-(6x^2+100)(3x^2+1)}{(x^3+2)^2} \nonumber \]