7.5: Integración mediante álgebra informática
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Recordemos que el teorema fundamental del cálculo establece que si\(F(x)\) es una función con su derivada igual a\(f(x)\) sobre la región\(a \le x \le b\text{,}\) entonces\(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\text{.}\) Nosotros decimos que\(\int_a^b f(x)dx\) es la integral definitiva de de\(f(x)\)\(a\) a\(b\text{.}\) Si\(f(x)\) es una derivada de\(F(x)\text{,}\) entonces\(F(x)\) es un anti-derivado de\(f(x)\text{,}\) y cualquier anti-derivado de\(f(x)\) tiene la forma\(F(x) + c\text{,}\) para alguna constante\(c\text{.}\) Utilizamos el símbolo\(\int f(x)dx\text{,}\) sin límites de integración, para la integral indefinida.
En la sección 7.1 nos fijamos en aproximar integrales definidas con una suma de Riemann que sumaba el área de un montón de rectángulos. En la sección 7.2 vimos que el teorema fundamental del cálculo nos permite utilizar una integral antiderivada o indefinida para evaluar una integral definida. En las secciones 7.3 y 7.4 vimos cómo calcular integrales indefinidas a mano para un número limitado de funciones. En esta sección veremos cómo usar software de computadora en un sitio web para encontrar antiderivados.
Comenzamos con Wolfram|Alpha, disponible en (http://www.wolframalpha.com >. Podemos darle a Wolfram|Alpha la pregunta que queremos resolver en inglés sencillo. En nuestro caso nos gustaría encontrar la antiderivada de\(x^n\) con respecto a\(x\text{.}\)
El Alfa da una respuesta.
Tenga en cuenta que la respuesta nos dice la pregunta que está respondiendo Wolfram|Alpha. Eso nos ayuda a comprobar que hemos sido entendidos adecuadamente. Puede que nos resulte útil dar una fórmula sin las palabras adicionales.
La interfaz es bastante robusta. Entiende la convención de que la variable para problemas matemáticos suele ser\(x\text{,}\) por lo que generalmente adivinará que x es nuestra variable si no especificamos la variable con respecto a la que estamos integrando.
Vale la pena señalar que Wolfram|Alpha está conectado con Mathematica, por lo que comprenderá preguntas en la sintaxis de Mathematica. En el lado derecho de la pantalla hay un enlace para enlaces relacionados. En particular, habrá un enlace para el comando relacionado en Mathematica.
Siguiendo ese enlace se da más información sobre la sintaxis del comando Mathematica. Generalmente no necesitamos conocer la sintaxis, pero es útil si queremos usar opciones específicas.
Debemos señalar que Wolfram|Alpha encontrará fácilmente antiderivados que encontraríamos muy difíciles de hacer o más allá del alcance de esta clase.
La salida también tiene un enlace para mostrar pasos sobre problemas complicados.
El enlace show steps solo funciona en la versión paga de Alpha. Sin embargo podemos encontrar otras herramientas buscando calculadora integral. Tal búsqueda revela symbolab, (https://www.symbolab.com/solver/defi...ral-calculator >, que también usamos en el capítulo 4.
En el capítulo 4, encontramos una calculadora derivada. De igual manera podemos encontrar una calculadora integral (http://www.integral-calculator.com/ > que mostrará los pasos. Por problemas de a nivel de dificultad que venimos haciendo, Wolfram|Alpha también produce parcelas de la integral.
Integrales definidas - Una de las razones por las que queríamos encontrar antiderivados fue poder utilizarlos para evaluar integrales definidas. Podemos pedirle directamente a Wolfram|Alpha la integral definitiva. En ese caso, Wolfram|Alpha dará la respuesta numérica y también producirá la gráfica relevante. (Symbolab también hará integrales definidas).
Esto es particularmente útil cuando encontrar el antiderivado está más allá del alcance de este curso. Consideremos por ejemplo si queremos encontrar el área bajo una porción de una curva que tenga la forma de una curva normal.
Otro ejemplo cuando podemos configurar fácilmente integrales que no podemos resolver a mano ocurre cuando estamos tratando de encontrar el valor actual de un flujo de ingresos. Un valor,\(V\text{,}\) que obtenemos\(t\) años en el futuro, tiene un valor presente de\(V exp(-r t)\) donde\(r\) es una tasa de retorno de la inversión. Así el valor actual de un flujo de ingresos,\(V(t)\text{,}\) de vez\(a\) en cuando\(b\text{,}\) es\(\int_a^b V(t)*e^{(-r*t)} dt\text{.}\) Sin embargo sólo tenemos una regla para encontrar la antiderivada cuando\(V(t)\) es una función constante o exponencial. Con un programa CAS es sencillo calcular tales integrales para una amplia gama de funciones de flujo de valor.
Si va a utilizar Wolfram|Alpha para hacer el trabajo, debe darse cuenta de que los términos de uso del sitio requieren que cite adecuadamente a Wolfram|Alpha. (Se trata de un procedimiento académico estándar.) Su cita debe incluir esa fecha en la que obtuvo su respuesta del sitio. Los resultados anteriores se obtuvieron el 29 de febrero de 2012.
En situaciones de negocios, rara vez se nos pide que simplemente encontremos una integral. En cambio, encontrar una integral es generalmente parte de un problema mayor. Por lo tanto, a menudo usamos CAS para parte de un problema.
Problemas de valor inicial - A menudo queremos elegir un antiderivado particular de una función. Normalmente hacemos esto cuando tenemos el valor de la antiderivada para algún valor. Simplemente enchufamos ese valor en el antiderivado general y resolvemos para\(C\text{.}\)
La tasa de cambio de ganancia con respecto a la cantidad viene dada por\(P' (q)=-q^2+5q+50\) y el punto de equilibrio se produce cuando\(q=5\text{.}\) Encuentra la fórmula para el beneficio en función de\(q\text{.}\) Encuentra la ganancia máxima.
Solución
Podemos hacer esto armando cosas que ya hemos hecho. Primero usamos Wolfram|Alpha para encontrar un antiderivado.
Así sabemos\(P(q)=\frac{1q^3}{3}+\frac{5q^2}{2}+50q+C\) por alguna constante También\(C\text{.}\) sabemos Ahora\(P(5)=0\text{.}\) enchufamos la función, sin el\(C\text{,}\) en Excel y evaluamos en\(q=5\text{.}\)
Hacemos C el negativo de nuestra respuesta y modificamos nuestra función en consecuencia. Ahora usamos solver para maximizar la función.
Así, la ganancia máxima es de $145.83, y ocurre cuando\(q=10\text{.}\)
La tasa de cambio de ganancia con respecto a la cantidad viene dada por\(P' (q)=-q^2+5q+50\) y el punto de equilibrio se produce cuando\(q=5\text{.}\) Encuentra la fórmula para el beneficio en función de\(q\text{.}\) Encuentra la ganancia máxima.
Solución
También podemos hacer esto con Wolfram|Alpha configurando el problema del valor límite. Le damos al bot alfa la derivada que queremos integrada y el valor fijo de la función original. (Observe que la respuesta no incluye un +C, ya que hemos calculado una constante particular.)
Luego le pedimos a Alpha que maximice la función.
Esto da la misma respuesta de $145.83.
Este primer ejemplo podría haberse hecho fácilmente a mano. Podemos repetir el proceso con un ejemplo que no podría ser fácilmente a mano.
La tasa de cambio de ganancia con respecto a la cantidad viene dada por\(P' (q)=q^2 \exp(-q/10)-q/10\) y se produce un punto de equilibrio cuando\(q = 5\text{.}\) Encuentra la fórmula para el beneficio en función de\(q\text{.}\) Encuentra la ganancia máxima.
Solución
En estructura, este ejemplo es muy similar al primer ejemplo. No obstante, donde en el primer ejemplo, la función hubiera sido fácil de hacer a mano, en este caso, el problema es muy difícil de hacer a mano. Utilizamos Wolfram/Alpha para encontrar el antiderivado.
\[ P(q) = exp(-q/10)*(-10*q^2-200*q-2000)-q^2/20+C. \nonumber \]
Luego usamos Excel para encontrar\(C\text{,}\) señalando que si usamos\(P(q)\) sin el\(C\text{,}\) entonces\(C\) es el valor de\(–P(5) = 1972.474\text{.}\)
Conectamos 5 y\(C = 1972.474\text{.}\) notamos\(P(5) = 0 = C-1972.474\text{,}\) así Utilizamos solver para maximizar y encontrar el beneficio máximo de $1675.17 ocurre en\(q=64.72775\text{.}\)
Sumas de Riemann - También podemos usar Alpha para hacer sumas de Riemann. Tenemos que dar un punto inicial y final y el número de intervalos.
Encuentre el valor actual de un flujo de ingresos\(V(t)=2000+5t\) por 10 años con una tasa de inversión de\(r=1.03\text{,}\) asumir que los pagos se realizan diariamente.
Solución
Aproximamos el valor actual con la integral
\[ CurrentValue=\int_{start}^{stop} r^{-t} V(t)dt= \int_0^{10} 1.03^{-t} (2000+5t)dt. \nonumber \]
Lo que realmente queremos es la suma de Riemann con un intervalo por día. A lo largo de 10 años tenemos 3652 días.
Si asumimos que los pagos comienzan al inicio del primer día usaríamos el método de punto final izquierdo.
Ejercicios: Integración usando problemas de álgebra computacional
clase=”Para 1-10, encuentre la antiderivada de la función dada
\[ f(x)=x \ln(x) \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int x \ln(x)dx=\frac{1}{4} x^{2}(2\ln(x)-1) +c \nonumber \]
\[ f(t)=e^{.07t} (-t^2+3t+5) \nonumber \]
\[ f(t)=t^2 e^(-0.06t) \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int t^2 e^{-0.06 t} dt= e^{-0.06t} (-9259.26 - 555.556 t - 16.6667 t^2)+c \nonumber \]
\[ f(x)=\ln(x) \nonumber \]
\[ f(t)=(t+1) e^{-0.06t} \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int (t+1) e^{-0.06t}\ dt =e^(-0.06t) (-294.444 - 16.6667 t)+c \nonumber \]
\[ f(x)=\frac{1}{(1+2x)(3+x)(5+6x) } \nonumber \]
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ dx= \sinh^{-1}(x)+c \nonumber \]
\[ f(x)=\frac{1}{(3+2x)^2} \nonumber \]
\[ f(x)=\frac{5}{9+x^2 } \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int \frac{5}{9+x^2 }\ dx = \left(\frac{5}{3}\right)\tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+c \nonumber \]
\[ f(x)=\frac{1}{(5x+4)^2 (7x+9)} \nonumber \]
Para los problemas 11-16 evaluar la integral definida.
\[ \int_0^{10} t^2 e^{-0.06t} dt \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int_0^{10} t^2 e^{-0.06t} dt \approx 214.03 \nonumber \]
\[ \int_1^{10}\frac{dt}{t} \nonumber \]
\[ \int_1^8(x-1)(x-8) dx \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int_1^8(x-1)(x-8) dx \approx -57.167 \nonumber \]
\[ \int_0^{10}t^2 e^{.05(10-t)} dt \nonumber \]
\[ \int_0^2 e^{-x^2} dx \nonumber \]
- Contestar
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\[ \int_0^2 e^{-x^2} dx \approx 0.882081 \nonumber \]
\[ \int_9^{16} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-10)^2} dx \nonumber \]
Para problemas 17-20 hacer el problema de valor inicial.
\[ P' (q)=-q^2+3q+5\hbox{ and }P(3)=5.\hbox{ Find } P(q) \nonumber \]
- Contestar
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\[ P(q)=\frac{1}{6} (-2q^3+9q^2+30q-87) \nonumber \]
\[ F' (t)=t^2 e^{-0.1t} \hbox{ and } F(10)=2. \hbox{ Find } F(t). \nonumber \]
\[ P' (q)=\sqrt{q^2+5q+7} \hbox{ and } P(0)=7. \hbox{ Find } P(q). \nonumber \]
- Contestar
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\[ P(q) = (56 - 50 \sqrt{157} + (4q+10) \sqrt{7 + 5 q + q^2} \nonumber \]
\[ - 3 \sinh^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{3}}\right)+ 3 \sinh^{-1}\left(\frac{5 + 2 q}{\sqrt{3}}\right))/8 \nonumber \]
\[ P' (q)=-(q^2+2q+3)^2 \hbox{ and } P(10)=-7. \hbox{ Find } P(q). \nonumber \]
Tengo una inversión que produce ingresos a una tasa de\(P(t)=5000+100t\text{.}\) supongo que el valor presente de un activo disminuye continuamente a una tasa de 2% anual por el tiempo que tengo que esperar por el activo. ¿Cuál es el valor actual de los primeros 7 años de retorno de mi inversión?
- Contestar
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\[ \int_0^7(5000+100t) (.98)^t dt\approx 34868.6 \nonumber \]
Mi pozo petrolero está produciendo ingresos a una tasa de\(P(t)=5000(0.09^t)\text{.}\) supongo que el valor presente de un activo disminuye continuamente a una tasa de 3% anual por el tiempo que tengo que esperar por el activo. ¿Cuál es el valor actual de los primeros 10 años de retorno de mi inversión?
La tasa de ganancia marginal es\(MP(q)=100-12\ln(q)\) y se produce un punto de equilibrio en\(q=100\text{.}\) Encuentra la cantidad que más ganancia produce y la cantidad de ganancia generada en ese punto.
- Contestar
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Tenemos beneficio máximo cuando\(MP(q)=0\text{,}\) o cuando\(q=e^8=2981\text{.}\)
Usando WolframAlpha para resolver el problema de valor inicial que obtenemos
\[ P(q)=16(7q-700+75ln(100))-12q ln(q) \nonumber \]
\[ P(2981)= 16(7*2981-700+75ln(100))-12*2981 ln(2981)=42021.7 \nonumber \]
Nuestra función de costo marginal es\(MC(q)=10q \ln(q)\) y los costos de inicio son de $23,000. Producir una función de costo.