7.4: Integración por Cambio de Variables o Sustitución

Al final de la última sección advertimos que las técnicas de integración simbólica que hemos desarrollado sólo funcionan para problemas que se ajustan exactamente a nuestras fórmulas. Cuando intentamos integrar una función exponencial donde el exponente era un tiempo constante t, tuvimos que cambiar la base para obtener una función con solo t en el exponente. Queremos desarrollar una técnica más de integración, la de cambio de variables o sustitución, para manejar integrales que estén bastante cerca de nuestras reglas declaradas. Esta técnica a menudo se denomina sustitución u y está relacionada con la regla de la cadena para la diferenciación.

Comenzamos explorando algunos ejemplos donde podemos obtener el resultado deseado por la técnica de adivinar y verificar.

Ejemplo 7.4.1: Poder de un Lineal por Guess and Check.

Encuentra\(\int (3x+5)^7 dx\text{.}\)

Solución

Podríamos hacer este problema reescribiendo el integrando como un polinomio explícito de séptimo grado y luego usando las reglas de poder y suma, pero eso es demasiado trabajo. En cambio notaré que el integrando parece casi un poder, y así adivinar una respuesta de\(\frac{1}{8} (3x+5)^8+C\text{.}\) luego verifico diferenciando. Uso de la regla de la cadena

\[ \frac{d}{dx} (\frac{1}{8} (3x+5)^8+C)=\frac{1}{8}*8(3x+5)^{8-1}*3=3(3x+5)^7. \nonumber \]

.

Así nuestra suposición fue apagada por un factor de 3 y la antiderivada correcta es

\[ \frac{1}{3}*1\frac{1}{8} (3x+5)^8+C=\frac{1}{24} (3x+5)^8+C. \nonumber \]

Podemos usar fácilmente el mismo truco para producir una regla para potencias de un polinomio lineal.

Ejemplo 7.4.2: Potencia una Lineal Genérica por Guess y Check.

Encuentra\(\int (ax+b)^n dx\text{.}\)

Solución

Como hicimos en el ejemplo 1, primero adivinamos que el antiderivado es\(\frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1}+C\text{.}\) Tomamos luego la derivada de esa expresión y obtenemos\(a(ax+b)^n\text{.}\) Esto pierde nuestro integrando por un factor de\(a\text{.}\) Ajustamos por ese factor y encontramos que el antiderivado es\(\frac{1}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1}+C\text{.}\)

Podemos usar fácilmente el mismo truco para producir una regla para funciones que son exponenciales de una función lineal.

Ejemplo 7.4.3: Antidiferenciación de una función exponencial por Guess and Check.

Encuentra\(\int e^{ax+b} dx\text{.}\)

Solución

Como hicimos en el ejemplo 2, nuestra primera conjetura usa la regla básica sin preocuparnos por el término lineal, entonces\(e^{ax+b}+C\text{.}\) adivinamos Tomamos la derivada de esa expresión y obtenemos\(ae^{ax+b}\text{.}\) Esto pierde nuestro integrando por un factor de\(a\text{.}\) Ajustamos por ese factor y encontramos el antiderivado es\(\frac{1}{a} e^{ax+b}+C\text{.}\)

Nos encontramos con un problema si tratamos de extender este método con términos cuadráticos. Si empezamos con\((x^2+5)^3\) y adivinamos un antiderivado de\(\frac{1}{4} (x^2+5)^4\text{,}\) cuando diferenciamos obtenemos\((x^2+5)^3 2x\) y estamos fuera por un factor de\(8x\text{.}\) Sin embargo cuando dividimos por ese factor para obtener\(\frac{(x^2+5)^4}{8x}\) como un antiderivado propuesto, y luego diferenciarnos de nuevo obtenemos

\[ \frac{4*2x(x^2+5)^3*8x-(x^2+5)^4*8}{8x} \nonumber \]

que no es lo que queremos. La clave es comenzar recordando la regla de la cadena

\[ \frac{d}{dx} (f(g(x)))=f'(g(x))g'(x). \nonumber \]

Queremos usar la misma regla con una notación diferente, usando diferenciación implícita y una nueva variable\(u\text{:}\)

\[ \frac{d}{dx} (f(u))=f'(u)\frac{du}{dx}. \nonumber \]

Por el teorema fundamental del cálculo, podemos convertir esto en una fórmula de integración:

\[ \int f' (u) \frac{du}{dx} dx=f(u)+C. \nonumber \]

Generalmente simplificaremos\(\frac{du}{dx} dx\) para\(du\text{,}\) que nuestra regla de sustitución sea

\[ \int f' (u)du=f(u)+C. \nonumber \]

Reelaboremos algunos ejemplos anteriores con este método y luego ilustremos el método con un problema más difícil.

Ejemplo 7.4.4: Poder del Ejemplo Lineal rehecho con Cambio de Variables.

Encuentra\(\int (3x+5)^7 dx\text{.}\)

Solución

El candidato obvio para\(u\) es\(3x+5\text{.}\) Entonces\(du=3dx\text{.}\) Así

\[ \begin{aligned} \int (3x+5)^7 dx \amp =\frac{1}{3} \int (3x+5)^7 (3dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{3} \int (u)^7 du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\frac{1}{3*8} (u)^8+C \amp \quad \hbox{ (Find the integral in terms of u.)}\\ \amp =\frac{1}{24} (3x+5)^8+C \amp \quad \hbox{ (Substitute back.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

Esto es fácil de generalizar para una potencia de un término lineal.

Ejemplo 7.4.5: Poder del Ejemplo Lineal Genérico rehecho con Cambio de Variables.

Encuentra\(\int (ax+b)^n dx\text{.}\)

Solución

El candidato obvio para\(u\) es\(ax+b\text{.}\) Entonces\(du=a dx\text{.}\) Por lo tanto

\[ \begin{aligned} \int (ax+b)^n dx \amp =\frac{1}{a} \int (ax+b)^n (dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{a} \int (u)^n du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\frac{1}{a*(n+1)} (u)^{n+1}+C \amp \quad \hbox{ (Find the integral in terms of u.)}\\ \amp =\frac{1}{a*(n+1)} (ax+b)^{n+1}+C \amp \quad \hbox{ (Substitute back.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

Para utilizar este método con u reemplazando algo más complicado que un término lineal, necesitamos tener\(du\) disponible, con la posible adición de multiplicar por una constante escalar.

Ejemplo 7.4.6: Poder de Funciton Cuadrático con Cambio de Variables.

Encuentra\(\int (2x^3+11)^7 x^2 dx\text{.}\)

Solución

El candidato obvio para\(u\) es\(2x^3+11\text{.}\) Entonces\(du=6x^2d\) x. Así

\[ \begin{aligned} \int (2x^3+11)^7 x^2 dx \amp =\frac{1}{6} \int (2x^3+11)^7 6x^2 dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{6} \int (u)^7 du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\frac{1}{6*8} (u)^8+C \amp \quad \hbox{ (Find the integral in terms of u.)}\\ \amp =\frac{1}{48} (2x^3+11)^8+C \amp \quad \hbox{ (Substitute back.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

Por convención, a menudo\(u\) se utiliza la nueva variable utilizada con esta técnica de cambio de variables, por lo que la técnica suele llamarse u-sustitución.

Cambio de variables para integrales definidas

En la integral definida, entendemos que a y b son los\(x\) -valores de los extremos de la integral. Podríamos ser más explícitos y escribir\(x=a\) y\(x=b\text{.}\) El último paso para resolver una integral definida es sustituir los puntos finales de nuevo en el antiderivado que hemos encontrado. Podemos cambiar las variables para los puntos finales también, o podemos convertir la antiderivada de nuevo a las variables originales antes de sustituirla. Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.4.7: Una Integral Definida con Cambio de Variables.

Evaluar\(\int_1^3 e^{2x+5} dx\text{.}\)

Solución

1: (Convertir todo a\(u\text{.}\)) El candidato obvio para\(u\) es\(2x+5\text{.}\) Entonces\(du=2dx\text{.}\) Para el punto final inferior,\(x=1\) se convierte\(u=7\text{.}\) Para el punto final superior\(x=3\) se convierte en\(u=11\text{.}\) Sustitución,

\[ \begin{aligned} \int_1^3 e^{2x+5} dx \amp =\frac{1}{2} \int_1^3 e^{2x+5} (2dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{2} \int_{u=7}^{u=11}e^u du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\left.\frac{1}{2} e^u\right|_7^{11} \amp \quad \hbox{ (Find the antiderivative.)}\\ \amp =\frac{1}{2} e^{11}-\frac{1}{2} e^7. \amp \quad \hbox{ (Evaluate.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

2: (Mantener, pero etiquetar los puntos finales.) Tenemos la misma u y du, pero no convertimos los puntos finales. Para reducir la confusión nos aseguramos de etiquetar la variable cuando estamos usando ambos\(x\) y\(u\text{.}\) Así,

\[ \begin{aligned} \int_1^3 e^{2x+5} dx \amp =\frac{1}{2} \int_1^3 e^{2x+5} (2dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{2} \int_{x=1}^{x=3}e^u du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\left.\frac{1}{2} e^u\right|_{x=1}^{x=3} \amp \quad \hbox{ (Find the antiderivative.)}\\ \amp =\left.\frac{1}{2} e^{2x+3}\right|_{x=1}^{x=3} \amp \quad \hbox{ (Convert back.)}\\ \amp =\frac{1}{2} e^{11}-\frac{1}{2} e^7. \amp \quad \hbox{ (Evaluate.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

Cabe señalar que cuando cambiamos variables podemos encontrarnos mirando una integral desde\(a\)\(b\) donde el\(b \lt a\text{.}\) Nosotros no cambiamos el orden de los puntos finales.

Ejemplo 7.4.8: Una Segunda Integral Definida con Cambio de Variables.

Evaluar\(\int_{-2}^1 x \exp(x^2)dx\)

Solución

(Convertir todo a\(u\text{.}\)) El candidato obvio para\(u\) es\(x^2\text{.}\) Entonces\(du=2x\ dx\text{.}\) Para el punto final inferior,\(x=-2\) se convierte\(u=4\text{.}\) Para el punto final superior\(x=1\) se convierte en\(u=1\text{.}\) Sustitución,

\[ \begin{aligned} \int_{-2}^1 x e^{(x^2)}dx \amp =\frac{1}{2} \int_{-2}^1 e^{(x^2)}(2x dx) \amp \quad \hbox{ (Make u and du explicit.)}\\ \amp =\frac{1}{2} \int_{4}^{1}e^u du \amp \quad \hbox{ (Do the substitution.)}\\ \amp =\left.\frac{1}{2} e^u\right|_4^{1} \amp \quad \hbox{ (Find the antiderivative.)}\\ \amp =\frac{1}{2} e^1-\frac{1}{2} e^4. \amp \quad \hbox{ (Evaluate.)}\\ \end{aligned} \nonumber \]

Ejercicios: Integración por Cambio de Variables o Problemas de Sustitución

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Evaluar las siguientes integrales. En cada caso identificar el término que será tratado como u.

Ejercicio 1:

\[ \int (5x+3)^4 dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=5x+3\text{.}\) Entonces\(du=5dx\text{.}\)

\[ \int (5x+3)^4 dx=\int \frac{(u)^4 du}{5}=\frac{u^5}{25} +c =\frac{(5x+3)^5}{25} +c \nonumber \]

Ejercicio 2:

\[ \int (7x-9)^{11} dx \nonumber \]

Ejercicio 3:

\[ \int (x/5-2)^{2/3} dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=x/5-2\text{.}\) Entonces\(du=dx/5\text{.}\)

\[ \int (x/5-2)^{2/3} dx=5\int {u^{2/3} du}=3{u^{5/3}}+c =3{(x/5-2)^{5/3}} +c \nonumber \]

Ejercicio 4:

\[ \int (143567x+98736)^{2578965} dx \nonumber \]

Ejercicio 5:

\[ \int \sqrt{(8x-3)} dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=8x-3\text{.}\) Entonces\(du=8dx\text{.}\)

\[ \int (8x-3)^{1/2} dx=1/8 \int {u^{1/2} du}=\frac{1}{12}{u^{3/2}}+c =\frac{1}{12}{(8x-3)^{3/2}} +c \nonumber \]

Ejercicio 6:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{3x+7}} dx \nonumber \]

Ejercicio 7:

\[ \int 100e^{.06t-5} dt \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=0.06t-5\text{.}\) Entonces\(du=0.06dt\text{.}\)

\[ \int 100 e^{0.06t-5}dt =\frac{1}{0.06} \int {100 e^{u}du}=\frac{100 e^{u}}{0.06}+c =\frac{100 e^{0.06t-5}}{0.06}+c \nonumber \]

Ejercicio 8:

\[ \int 150(1/2)^{t/5} dt \nonumber \]

Ejercicio 9:

\[ \int (2x+5) (x^2+5x+3)^5 dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=x^2+5x+3\text{.}\) Entonces\(du=(2x+5)dx\text{.}\)

\[ \int (2x+5) (x^2+5x+3)^5 dx=\int u^5\ du \nonumber \]

\[ =\frac{u^6}{6} +c =\frac{(x^2+5x+3)^6}{6} +c \nonumber \]

Ejercicio 10:

\[ \int 50xe^{-x^2 } dx \nonumber \]

Ejercicio 11:

\[ \int \frac{3x^2+1}{x^3+x+9} dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=x^3+x+9\text{.}\) Entonces\(du=(3x^2+1)dx\text{.}\)

\[ \int \frac{3x^2+1}{x^3+x+9} dx=\int \frac{du}{u} \nonumber \]

\[ =\ln|u| +c =\ln|x^3+x+9| +c \nonumber \]

Ejercicio 12:

\[ \int x\sqrt{x^2-9} dx \nonumber \]

Ejercicio 13:

\[ \int_0^3 e^{3x+1} dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=3x+1\text{.}\) Entonces\(du=3dx\text{.}\)

\[ \int_0^3 e^{3x+1} dx=\int_{u=1}^{u=10} e^u \ du \nonumber \]

\[ =\left.\frac{1}{3}e^u\right|_{u=1}^{u=10} =\frac{1}{3} (e^{10}-e^1) \nonumber \]

Ejercicio 14:

\[ \int_0^10 100e^{-0.04t} dt \nonumber \]

Ejercicio 15:

\[ \int_0^5 e^{(-0.05(t+1))} dt \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=-0.05(t+1)\text{.}\) Entonces\(du=-0.05dt\text{.}\)

\[ \int_0^5 e^{-0.05(t+1)} dt=-frac{1}{0.05}\int_{u=-0.05}^{u=-0.3} e^u \ du \nonumber \]

\[ =\left.-20e^u\right|_{u=-0.05}^{u=-0.3} =-20 (e^{-0.3}-e^{-0.05}) \nonumber \]

Ejercicio 16:

\[ \int_1^3 (2x+5)^{-2} dx \nonumber \]

Ejercicio 17:

\[ \int_1^6 x\sqrt{3x^2+7} dx \nonumber \]

Contestar

Vamos\(u=3x^2+7\text{.}\) Entonces\(du=6x\ dx\text{.}\)

\[ \int_1^6 x(3x^2+7)^{1/2} dx=\frac{1}{6}\int_{u=10}^{u=115} u^{1/2} \ du \nonumber \]

\[ =\left.\frac{1}{9}u^{3/2}\right|_{u=10}^{u=115} =\frac{1}{9} (115^{3/2}-10^{3/2})\approx 133.51 \nonumber \]

Ejercicio 18:

\[ \int_0^2 x^2 e^{(1-0.2x^3)} dx \nonumber \]

Ejercicio 19:

Encuentra un antiderivado\(F(x)\) para\(f(x)=x^2(x^3+7)^3\) tal que\(F(0)=5\text{.}\)

Contestar

Vamos\(u=x^3+7\text{.}\) Entonces\(du=6x^2 dx\text{.}\)

\[ \int (x^2 ) (x^3+7)^3 dx=\frac{1}{6} \int u^3 du=\frac{u^4}{24}+c=\frac{(x^3+7)^4}{24}+c \nonumber \]

\[ F(0)=5=\frac{(7)^4}{24}+c \nonumber \]

\[ c=5-\frac{(7)^4}{24}4 \nonumber \]

\[ F(x)=\frac{(x^3+7)^4}{24}+5-\frac{(7)^4}{24} \nonumber \]

Ejercicio 20:

Encuentra un antiderivado\(F(x)\) para\(f(x)=(4x^3+5)\exp(x^4+5x-9)\) tal que\(F(0)=2\text{.}\)

Ejercicio 21:

Un flujo de inversión paga a una tasa de 10,000 dólares anuales. Al calcular el valor presente, asumo una tasa de retorno de la inversión del 5% compuesta continuamente. ¿Cuál es el valor actual de los primeros 10 años del pago?

Contestar

\[ Value=\int_0^{10}10000e^{-0.05t} dt =\left.\frac{-10000e^{-0.05t}}{0.05}\right|_0^{10} \nonumber \]

\[ =\frac{-10000}{0.05} (e^{-0.5}-1) \approx 78693.87 \nonumber \]

Ejercicio 22:

Mi pozo de gas está devolviendo un pago de 10,000 dólares. Se espera que la producción del pozo disminuya exponencialmente con la mitad de la producción en 7 años. ¿Cuánto ganaré en los próximos 10 años?

Ejercicio 23:

La tasa de venta en un libro es\(s(t)=1000t \exp(-t^2/4)\text{,}\) con el tiempo en años.

1. ¿Cuáles son las ventas totales a lo largo de 10 años?
2. ¿Cuándo baja la tasa de ventas a 10?
3. ¿Cuál es la tasa máxima de ventas?

Contestar

1. Vamos\(u=-\frac{t^2}{4}\text{.}\) Entonces\(du=-\frac{t}{2} dt\text{.}\)

   \[ Sales=\int_0^{10} 1000t e^{-t^2/4}dt=\int_0^{-25}-2000 e^u\ du \nonumber \]

\[ =\left.-2000e^u)\right|_0^{-25} =2000((1-e^{-25})\approx 2000 \nonumber \]