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2.2: Pares Ordenados

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    Definición: Pares ordenados

    Los pares ordenados son pares de números utilizados para ubicar un punto en el plano de coordenadas rectangulares y escritos en la forma\((x, y)\), donde x es la coordenada x e y es la coordenada y.

    La ubicación del par ordenado en los cuadrantes determinará el signo de las coordenadas x e y, como se muestra en el apartado anterior, figura anterior. Así, los signos de los pares ordenados\((x, y)\) se resumen de la siguiente manera,

    • Si\((x, y)\) está en el Cuadrante I entonces tanto x como y son positivos.
    • Si\((x, y)\) está en el Cuadrante II entonces x es negativo e y es positivo.
    • Si\((x, y)\) está en el Cuadrante III entonces tanto x como y son negativos.
    • Si\((x, y)\) está en el Cuadrante IV entonces x es positivo e y es negativo.

    Nota: Los puntos en el eje perpendicular en un plano rectangular no pertenecen a ninguno de los cuadrantes.

    Para ubicar un punto en el plano de coordenadas, utilice un proceso llamado graficar un punto. Este proceso también se puede llamar trazar un punto. Siempre comience en el origen y mueva hacia la derecha o hacia la izquierda para ubicar la coordenada x y mueva hacia arriba o hacia abajo para ubicar la coordenada y.

    Para graficar o trazar\((−2, 5)\) en un plano de coordenadas, comienza en el origen y mueve 2 unidades hacia la izquierda, porque la coordenada x −2 es negativa, luego sube 5 unidades porque la coordenada y 5 es positiva y dibuja un punto. notar que nuestro punto está en el cuadrante II. Para graficar el punto\((4, 1)\), comienza en el origen y mueve 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba. De igual manera, grafica los puntos\((−1, −1)\) y\((2, −3)\), como se muestra en la siguiente figura.

    clipboard_ecc7ea694bef846b2f27633e461fddb92.png
    Figura 2.2.1

    ¡Cuidado! En el capítulo anterior\((p, q)\) se utilizó la notación para representar una solución de desigualdad de valor absoluto en notación de intervalos. Esta sección introduce pares ordenados que utilizan la misma representación entre paréntesis. Asegúrese de no confundir la notación de intervalo con la notación de pares ordenados.

    Ejemplo 2.2.1

    Grafique los puntos dados en el mismo plano de coordenadas rectangulares y señale dónde se encuentra cada punto. Si un punto no se encuentra en ninguno de los cuadrantes, indicar el eje sobre el que se encuentra.

    1. \((3, 4)\)
    2. \((−2, −2)\)
    3. \(\left(0, \dfrac{5 }{2 }\right)\)
    4. \((−3.5, 0)\)
    Solución
    1. Ambas coordenadas x e y son positivas. iniciar en el origen, mover 3 unidades a la derecha luego, subir 4 unidades y marcar el punto\((3, 4)\) El punto se encuentra en el cuadrante I
    2. Ambas coordenadas x e y son negativas. iniciar en el origen, mover 2 unidades a la izquierda, luego, mover 2 unidades hacia abajo y marcar el punto\((−2, −2)\). El punto está en el cuadrante II.
    3. Dado que la coordenada x es 0, comience en el origen y no se mueva hacia la derecha ni hacia la izquierda. Dado que la coordenada y es positiva, mueva\(\dfrac{5 }{2}\) unidades o 2.5 unidades hacia arriba. Punto de etiqueta\(\left(0, \dfrac{5 }{2} \right)\). El punto se encuentra en el eje y.
    4. Sine la coordenada x es negativa, comienza en el origen y mueve 3.5 unidades hacia la izquierda. Dado que la coordenada y es 0, no se mueva hacia arriba ni hacia abajo. etiquetar el punto\((−3.5, 0)\). El punto se encuentra en el eje x.
    clipboard_e573613a9ab5fcefc461a9666e98d841c.png
    Figura 2.2.2
    Ejemplo 2.2.2

    Determinar las coordenadas de los puntos etiquetados en la siguiente figura.

    clipboard_e82d2ac1b4e4fd23029801b11c2f8673e.png
    Figura 2.2.3
    Solución

    Para trazar cualquier punto en el plano de coordenadas, comience en el origen y luego se mueva de acuerdo con el signo de las coordenadas dadas de la siguiente manera,

    • Punto A: Comience por el origen y mueva 4 unidades hacia la derecha. La coordenada x es 4. No hay movimiento vertical hacia arriba ni hacia abajo, por lo que la coordenada y es 0. De ahí que el Punto A tenga coordenadas\((4, 0)\)
    • Punto B: Nuevamente, comience en el origen y mueva 1 unidad a la derecha y 4 unidades hacia abajo. De ahí que el punto B tenga coordenadas\((1, −4)\)
    • Punto C: Como la coordenada x es 0, entonces comienza en el origen y no te muevas a la derecha ni a la izquierda. La coordenada y también es 0, así que no se mueva hacia arriba ni hacia abajo. Así, las coordenadas del punto C son\((0, 0)\)
    • Punto D: Desde el origen, mueva 3 unidades a la derecha, luego 1 unidad hacia arriba. Así, las coordenadas del punto D son\((3, 1)\)
    • Punto E: Comienza en el origen y permanece ahí porque la coordenada x es 0, luego mueve 4 unidades hacia arriba. Así, el Punto E tiene coordenadas\((0, 4)\).
    • Punto F: Mover 5 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades hacia arriba. El punto F tiene coordenadas\((−5, 2)\)
    • Punto G: Mueve 1 unidad a la izquierda del origen y 2 unidades hacia abajo. El punto G tiene coordenadas\((−1, −2)\)
    Ejercicio 2.2.1
    1. ¿Cuáles son las coordenadas x e y en\((−3, 2)\) y\((2, −3)\)? ¿Son el mismo Punto?
    2. Trace los siguientes puntos en el mismo plano de coordenadas rectangulares y señale el cuadrante en el que se encuentra cada punto o el eje sobre el que se encuentra. \((−1.5, 2),\quad (0, −3), \quad(5, 2.5),\quad \left(− \dfrac{1}{ 2 },\quad − \dfrac{1 }{2}\right), \quad\left(3\dfrac{1 }{2} ,\quad −\dfrac{ 7 }{2}\right ), \quad (−3, 3),\quad (−2, 0)\)
    3. Determine las coordenadas para cada punto dado en la siguiente figura.
      clipboard_e1ef80ad5824aad92f10d741b80deac84.png
      Figura 2.2.4
    4. Determine las coordenadas para cada punto dado en la siguiente figura.
      clipboard_ef393b7a664660f0ac9517c9066d7f940.png
      Figura 2.2.5

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