2.3: La fórmula de la distancia

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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En la sección anterior se enseñaba a trazar puntos en el plano de coordenadas rectangulares. Esta sección enseña cómo encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano. Por ejemplo, para encontrar la distancia de puntos\((x_1, y_1)\) y\((x_2, y_2)\) considerar la siguiente fórmula:

Definición: Fórmula de distancia

La distancia d entre dos puntos,\(P_1(x_1, y_1)\) y\(P_2(x_2, y_2)\) en el plano viene dada por:

\(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

Ejemplo 2.3.1

Encuentra la distancia entre los puntos\((−5, 2)\) y\((3, 4)\)

Solución

Dejar\(P_1(−5, 2)\) y\(P_2(3, 4)\) ser dos puntos en el plano y dejar\(x_1 = −5\),\(y_1 = 2\),\(x_2 = 3\), y\(y_2 = 4\).

Usando la fórmula de distancia con los valores dados:

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos dados es\(2\sqrt{17}\).

Ejemplo 2.3.2

Encuentra la distancia entre los puntos\((−2.5, −1)\) y\((−3, −1.5)\).

Solución

Dejar\(P_1(−2.5, −1)\) y\(P_2(−3, −1.5)\) ser puntos en el plano y dejar\(x_1 = −2.5\),\(y_1 = −1\),\(x_2 = −3\) y\(y_2 = −1.5\).

Luego usando la fórmula de distancia con los valores dados rinde,

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos dados es de aproximadamente 0.71.

Ejercicio 2.3.1

Encuentra la distancia entre\(P_1(−3, −1.5)\) y\(P_2(−2.5, − 1)\). Compara la respuesta con la respuesta en el ejemplo 2. ¿Qué se puede concluir?
Encuentra la distancia entre\((−3, 6)\) y\((2, 4)\)
Encuentra la distancia entre los puntos\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) y\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
¿Por qué se utiliza la fórmula de distancia?