5.4: Regla de exponente cero

En la sección 5.3, el exponente del número en el numerador siempre fue mayor que el exponente del número en el denominador.

En la sección 5.4, el exponente del número en el numerador será igual al exponente del número en el denominador.

Definición: La regla del exponente cero

Para cualquier número real\(a\), La regla del exponente cero es la siguiente

\(a^0= 1\)

Idea:

De las secciones anteriores:

\[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

y

\[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

Ejemplo 5.4.1

Utilice la regla de exponente cero para simplificar las expresiones.

1. \(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
2. \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
3. \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
4. \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
5. \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

Solución

Expresión	Regla de exponente cero
\(\dfrac{x^9 }{x^9}\)	\(x^{9−9} = x^0 = 1\)
\(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)	\(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
\(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)	\(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \) La constante 5, se puede factorizar para ver claramente las bases comunes.
\(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)	\(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\) La constante\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\), se puede factorizar para ver claramente las bases comunes.
\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)	\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\) Primero, simplificar el denominador usando la regla de producto de exponentes. Luego usa la regla del cociente de exponentes para simplificar la expresión restante.

Nota:\(0^0\) no equivale a 1. Este es un caso especial que se cubre en cursos avanzados. Por ahora consideran\(0^0\) ser indefinidos.

Pasos útiles para simplificar expresiones con exponentes

1. Identificar bases comunes.
2. Si es necesario combinar bases comunes usando la regla de producto de exponentes.
3. Si la expresión contiene bases comunes tanto en el numerador como en el denominador, utilice la regla de cociente de exponentes según sea necesario.

Ejercicio 5.4.1

Utilice todas las reglas de exponentes cubiertas hasta ahora en este capítulo para simplificar lo siguiente.

1. \(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
2. \(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
4. \(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
5. \(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
6. \(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)