5.5: La regla del exponente negativo
- Page ID
- 112440
En la sección 5.3, el exponente del número en el numerador fue mayor que el exponente del número en el denominador. En la sección 5.4, el exponente del número en el numerador era igual al exponente del número en el denominador. En la sección 5.5, el exponente del número en el denominador puede ser mayor que el exponente del número en el numerador.
Para cualquier número real distinto de cero a y cualquier entero n, la regla de exponente negativo es la siguiente
\(a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n\)
Es mala forma en matemáticas dejar exponentes negativos en la respuesta. Todas las respuestas siempre se simplificarán para mostrar exponentes positivos.
¿Cómo funciona esto?
Recordar:
\[\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber \]
¿Qué pasa con los exponentes negativos?
\[\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber \]
Recordar: De la última sección,
\[\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber \]
Su cociente:
\(\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}\)
Aplicar la regla del cociente para obtener un resultado equivalente.
\(\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}\)
Usando la regla del exponente negativo.
\(x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}\).
Revise los siguientes ejemplos para ayudar a comprender el proceso de simplificación usando la regla del cociente de exponentes y la regla del exponente negativo.
Pista: ¡Ten paciencia, tómate tu tiempo y ten cuidado a la hora de simplificar!
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{t^5}{ t^11}\)
Solución
\(t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}\)
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}\)
Solución
\(\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}\)
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{2y^3 }{7y^7}\)
Solución
\(\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}\)
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}\)
Solución
\(− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}\)
En los Ejemplos 3 y 4, factorial la constante para ver claramente las bases comunes.
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{1}{ a^{−9}}\)
Solución
\(a^9\)
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{x^3 }{x^{−5}}\)
Solución
\(x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}\)
Simplifica la siguiente expresión a una sola base con solo exponentes positivos.
\(\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}\)
Solución
\(c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}\)
En los ejemplos 6 y 7, se utilizó la regla del cociente de exponentes antes de cambiar exponentes a exponentes positivos. Los mismos resultados se obtienen expandiendo y cambiando exponentes a exponentes positivos primero y luego aplicando la regla de cociente de exponentes.
Simplifica las siguientes expresiones a una sola base con solo exponentes positivos.
- \(\dfrac{p^4}{ p^{13}}\)
- \(-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}\)
- \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}\)
- −\(\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}\)
- \(\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}\)
- \(\dfrac{x^{−7}}{ x^5}\)