5.6: Regla de potencia para exponentes

Esta regla ayuda a simplificar una expresión exponencial elevada a un poder. Esta regla a menudo se confunde con la regla del producto, por lo que entender esta regla es importante para simplificar con éxito las expresiones exponenciales.

Definición: La regla de poder para exponentes

Para cualquier número real\(a\) y cualquier número\(m\) y\(n\), la regla de potencia para exponentes es la siguiente:

\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)

Idea:

Dada la expresión

\(\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}\)

Por lo tanto,\((2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6\)

Ejemplo 5.6.1

Simplifique la siguiente expresión usando la regla de potencia para exponentes.

\((−3^4 )^3\)

Solución

\((−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}\)

Ejemplo 5.6.2

Simplifique la siguiente expresión usando la regla de potencia para exponentes.

\((−3^4 )^3\)

Solución

\((5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}\)

Ejemplo 5.6.3

Simplifique la siguiente expresión usando la regla de potencia para exponentes.

\(((−y)^5 )^2\)

Solución

\((−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}\)

Ejemplo 5.6.4

Simplifique la siguiente expresión usando la regla de potencia para exponentes.

\((x^{−2 })^3\)

Solución

\(x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}\)

Pista: Los paréntesis en el problema son un fuerte indicador de simplificar el uso de la regla de potencia para exponentes.

Ejercicio 5.6.1

Simplifica la expresión usando la regla de potencia para exponentes.

1. \((x^3 )^5\)
2. \(((−y)^3 )^7\)
3. \(((−6y)^8 ) ^{−3}\)
4. \((x^{−2 }) ^{−3}\)
5. \((r^4 )^5\)
6. \((−p^7 )^7\)
7. \(((3k)^{−3 })^5\)