5.8: Poder de una regla de cociente para exponentes

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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El poder de una regla de cociente para exponentes se centrará en lo que le sucede a un cociente cuando se eleva a algún poder.

Definición: El poder de una regla de cociente para exponentes

Para cualquier número real\(a\) y\(b\) y cualquier entero\(n\), la potencia de una regla de cociente para exponentes es la siguiente:

\(\left( \dfrac{a }{b} \right)^n = \dfrac{a^n }{b^n }\),

donde\(b \neq 0\).

Simplifique lo siguiente usando la regla de potencia de un cociente para exponentes.

Ejemplo 5.8.1

Simplifique lo siguiente usando la regla de potencia de un cociente para exponentes.

\(\left( \dfrac{a }{b} \right)^4\)

Solución

\(\begin{aligned} &\left( \dfrac{a}{ b} \right)^4 && \text{Given} \\ &= \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} &&\text{Expand using the exponent definition} \\ &= \dfrac{a^4 }{b^4} && \text{Multiply as needed to simplify} \end{aligned}\)

Ejemplo 5.8.2

\(\left(\dfrac{x^2 }{3y^5} \right)^3\)

Solución

\(\begin{aligned} &\left( \dfrac{x^2 }{3y^5 }\right)^3 && \text{Given} \\ &= \dfrac{x^{2\cdot 3 }}{3^3 \cdot y^{5\cdot 3 }} && \text{power of quotient rule for exponents applied} \\ &= \dfrac{x^6 }{3^3 \cdot y^{15 }} &&\text{Simplify exponent product} \\ &= \dfrac{x^6 }{27y^{15 }} && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

Ejemplo 5.8.3

\(\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3}\)

Solución

\(\begin{aligned} &\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3 } &&\text{Given} \\ &= \left( \dfrac{y }{2x} \right)^3 && \text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{y^3 }{2^3 \cdot x^3} && \text{Power of a quotient rule for exponents applied.} \\ &= \dfrac{y^3 }{8x^3 } && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

El orden en que se apliquen las reglas de exponentes no importa. En el ejemplo tres, los pasos 2 y 3 se pueden hacer en cualquier orden. Los resultados serán los mismos.

Ejercicio 5.8.1

Simplifica la expresión usando el poder de una regla de cociente para exponentes.

\(\left( \dfrac{p^4 }{p^7 }\right) ^3\)
\(−\left(\dfrac{ x^2 \cdot x^3 }{x \cdot y^3} \right) ^2\)
\(\left( \dfrac{5x^3 }{2y^{13 }}\right) ^{−2}\)
\(\left( \dfrac{2c^3}{ c^4} \right) ^3\)
\(\left( \dfrac{a ^{−7}b }{a^2b^{−4 }}\right)^3\)
\(\left( \dfrac{f^{−7 }}{f^5 }\right)^9\)
\(\left(\dfrac{ xy^2z^3}{ x^3y^2z} \right) ^5\)