5.9: Exponentes racionales

Los exponentes no siempre son enteros. Esta sección analizará los casos en los que un exponente es un número racional. Cuando un exponente es un número racional, la expresión puede escribirse como una expresión con un radical. La regla es escribir tu respuesta en la misma forma que el problema original (si comienzas con exponentes, terminas con exponentes, o si comienzas con radicales, terminas con radicales).

Definición: Exponentes racionales de la Forma\(\dfrac{1}{n}\)

Para cualquier número real\(a\) y cualquier número entero\(n\), una expresión con el exponente de\(\dfrac{1}{n}\) puede expresarse como lo siguiente

\[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]

Nota:\(n\) es el índice en el radical. \(\sqrt[n]{a}\)se lee "la enésima raíz de un”

Nota: Cuando el radical no tiene un índice visible, por defecto el índice es\(2\) (raíz cuadrada). Índices mayores a\(2\) los que se marcarán en el radical.

Ejemplo 5.9.1

1. \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)por defecto}\)
2. \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)}\)
3. \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)}\)

Ahora, vamos a observar lo que sucede cuando el exponente es un número racional con numerador\(\neq 1\).

Definición: Exponentes racionales de la Forma\(\dfrac{m}{n}\)

Para cualquier número real\(a\) y cualquier número entero\(n\) y\(m\), una expresión con el exponente de\(\dfrac{m}{n}\) puede expresarse como lo siguiente

\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]

Nota:\(n\) es el índice en el radical y\(m\) es el poder de la base.

Ejemplo 5.9.2

Escribe lo siguiente en forma radical

1. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)y la base se eleva al poder de\(2\).}\)
2. \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)y la base se eleva al\(7\) poder.}\)
3. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)y base elevada al poder\(2\).}\)
4. \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
5. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)y base elevada al poder de\(5\).}\)

Ejercicio 5.9.1

Escribe lo siguiente en forma radical.

1. \((x)^{\frac{5}{7}}\)
2. \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
3. \((x)^{\frac{9}{5}}\)
4. \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
5. \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
6. \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
7. \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
8. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
9. \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)