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10.3: Desigualdades racionales

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Resolver desigualdades racionales implica encontrar los ceros del numerador y denominador, luego usar estos valores para investigar las regiones del conjunto de soluciones en la línea numérica.

    Ejemplo 10.3.1

    Resuelva las desigualdades y escriba los conjuntos de soluciones en notación de intervalos:

    1. \(\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0\)
    Solución
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x − 1 = 0,\; x = 1 &\ text {Encuentra los ceros del numerador}\\ &x + 1 = 0, x =\; −1 &\ text {Encuentra los ceros del denominador}\ end {array}\)
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    Los ceros dividen la línea numérica en\(3\) regiones\(x < −1\)\(−1 < x < 1\),\(x > 1\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\;\dfrac{−2 − 1}{−2 + 1} = \dfrac{−3}{−1} = 3 ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)para\(x\) resultados en la respuesta\(3\), que es mayor o igual a\(0\). Esta región\(x < −1\) está incluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {For} −1 < x < 1,\ text {choose} x = 0.\;\;\ dfrac {0 − 1} {0 + 1} =\ dfrac {−1} {1} = −1 < 0\\ &\ text {Reemplazar\(0\) por\(x\) resultados en la respuesta\(-1\), que es menor que\(0\), no cumpliendo la desigualdad dada en el problema.}\\ &\ text {Esta región\(−1 < x < 1\) está excluida del conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {Para} x > 1,\ text {elegir} x = 2.\;\;\ dfrac {2 − 1} {2 + 1} =\ dfrac {1} {3} ≥ 0\\ &\ text {Sustituyendo\(2\) por\(x\) resultados en la respuesta\(\dfrac{1}{3}\), que es mayor o igual a\(0\). Esta región\(x > 1\) está incluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] & (−∞, −1) (1, ∞)\\ &\ text {Respuesta final escrita en notación de intervalos (consulte la sección Notación de intervalos para más detalles).} \ end {array}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{The quotient must be less than or equal to \(0\).}\\ &2x − 3 = 0,\; x = 1.5 &\ text {Encuentra los ceros del numerador}\\ &x + 1 = 0,\; x = −1 &\ text {Encuentra los ceros del denominador}\ end {array}\)
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    Los ceros dividen la línea numérica en\(3\) regiones\(x < −1\)\(−1 < x < 1.5\),\(x > 1.5\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\; \dfrac{2(−2) − 3}{−2 − 1} = \dfrac{−7}{−3} = \dfrac{7}{3} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)para\(x\) resultados en la respuesta\(\dfrac{7}{3}\), que es mayor que\(0\), no cumpliendo la desigualdad dada en el problema.}\\ &\ text {Esta región\(x < −1\) está excluida del conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {For} −1 < x < 1.5,\ text {elegir} x = 0.\;\;\ dfrac {2 (0) − 3} {0 − 1} =\ dfrac {−3} {−1} = 3 ≥ 0\\ &\ text {Sustituyendo\(0\) por\(x\) resultados en la respuesta\(3\), que es mayor o igual a\(0\), que no es lo que el problema está pidiendo.}\\ &\ text {Esta región\(−1 < x < 1.5\) está excluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {Para } x > 1,\ text {elegir} x = 2.\;\;\ dfrac {2 (2) − 3} {2 − 1} =\ dfrac {1} {1} = 1 ≥ 0\\ &\ text {Sustituyendo\(2\) por\(x\) resultados en la respuesta\(1\), que es mayor o igual a\(0\). Esta región\(x > 1\) está excluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &∅\\ &\ text {Este problema no tiene solución. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1}\)nunca será menor o igual a\(0\).} \ end {array}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x + 2 = 0,\;\; x = −2 &\ text {Encuentra los ceros del numerador}\\ &x − 2 = 0,\;\; x = 2 &\ text {Encuentra los ceros del denominador}\ end {array}\)
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    Los ceros dividen la línea numérica en\(3\) regiones\(x < −2\)\(−2 < x < 2\),\(x > 2\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −2, \text{ choose } x = −3. \dfrac{−3 + 2}{−3 − 2} = \dfrac{−1}{−5} = \dfrac{1}{5} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-3\)para\(x\) resultados en la respuesta\(\dfrac{1}{5}\), que es mayor o igual a\(0\). Esta región\(x < −2\) está incluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {For} −2 < x < 2,\ text {elegir} x = 0.\;\;\ dfrac {0 + 2} {0 − 2} =\ dfrac {2} {−2} = −1 < 0\\ &\ text {Reemplazar\(0\) por\(x\) resultados en la respuesta\(-1\), que es menor que\(0\), no cumpliendo la desigualdad dada en el problema.}\\ &\ text {Esta región no\(−2 < x < 2\) está incluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] &\ text {Para} x > 2,\ text {elige} x = 3.\;\;\ dfrac {3 + 2} {3 − 2} =\ dfrac {5} {1} = 5 ≥ 0\\ &\ text {Reemplazar\(3\) por\(x\) resultados en la respuesta\(5\), que es mayor o igual a\(0\). Esta región\(x > 2\) está incluida en el conjunto de soluciones.}\\ [0.25in] & (−∞, −2) (2, ∞)\\ &\ text {Respuesta final escrita en notación de intervalos (consulte la sección Notación de intervalos para más detalles).} \ end {array}\)

    Ejercicio 10.3.1
    1. \(\dfrac{x + 3}{x − 2} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{x − 2}{x − 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{2x − 1}{x + 2} ≤ 0\)
    4. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≥ 0\)

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