1.1: Los fundamentos de los conjuntos
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Necesitarás: Monedas (Tarjeta de Material 1), A Bloques (Tarjetas de Material 2A-2E)
¿Alguna vez has recogido algo? Si es así, ¿qué?
Nombra algunas cosas que la gente pueda recopilar, incluyendo cualquier cosa que la gente de tu grupo coleccione.
Supongamos que alguien recogió 25 monedas de los años 1964 —1969.
a. ¿Qué diferentes tipos de monedas podrían haber en su colección?
b. Nombra una forma en la que podrías ordenar las monedas en grupos.
c. ¿Se te ocurre una manera diferente de ordenarlos en grupos? Explicar.
d. ¿Cómo crees que un niño los ordenaría?
Supongamos que estas son las 25 monedas que se recolectaron:
1966 penique, 1967 nickel, 1966 trimestre, 1967 penique, 1965 penique, 1966 medio dólar, 1967 trimestre, 1965 dime, 1967 dime, 1968 trimestre, 1964 dime, 1966 nickel, 1965 nickel, 1967 medio dólar, 1966 dime, 1964 nickel, 1969 medio dólar, 1965 medio dólar, 1968 penique, 1968 dime, 1964 trimestre, 1965 medio dólar, 1968 centavo, 1968 dime, 1964 trimestre, 1965 trimestre, 1969 moneda de diez centavos, 1968 níquel
Para simplificar la escritura de cada moneda, abreviemos 1966 penny by\(6P\), y 1967 nickel by\(7N\), etc. Así que en nuestra colección, tenemos lo siguiente:
\(6P, 7N, 6Q, 7P, 5P, 6H, 7Q, 5D, 7D, 8Q, 4D, 6N, 5N, 7H, 6D, 4N, 9Q, 9H, 5H, 8P, 8D, 4Q, 5Q, 9D \text{ and } 8N\)
Un modelo físico para estas monedas se encuentra en la Tarjeta de Material 1. Si aún no lo has hecho, corta un juego de monedas de esta Tarjeta de Material y utilízalas para hacer varios de los siguientes ejercicios.
Clasifica las monedas en cinco grupos; centavos, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos, cuartos y medio dólares. Usando las abreviaturas de cada moneda, enumere las monedas que entran en cada grupo (como\(6P, 7N, 6Q, 7P, 5P\), etc., cada moneda debe estar listada con un número y una letra. No se puede simplemente escribir una carta o un número, como 6 o 5 o\(P\). ¡Cada moneda está compuesta por una de cada una! Es como escribir las iniciales de un nombre y apellido en lugar del nombre completo).
a. centavos: ___ (¿enumeraste 4 centavos?)
b. dimes: ___ (¿enumeró 6 dimes?)
c. medio dólares: ___ (¿enumeró 4 de ellos?)
d. Ahora ordene las monedas en grupos por año. ¿Cuántos grupos hay? Enumere dos grupos diferentes y qué monedas van en cada grupo. Recuerda enumerar cada moneda individualmente cada una de las 25 monedas tiene un dígito seguido de una letra.
La colección de monedas con las que hemos estado trabajando se llama conjunto. Un conjunto es simplemente una colección de objetos. Esa es la definición de un conjunto (sin la palabra “simplemente”).
Definir conjunto: Un conjunto es
En los ejercicios\(e \text{ and } f\), agrupaste los elementos o miembros del conjunto en diferentes subconjuntos. Los elementos de un conjunto son los objetos del conjunto. En este caso, los elementos del conjunto son las 25 monedas diferentes.
Definir elementos: Los elementos de un conjunto son
Un subconjunto también es un conjunto. Cuando hablamos de subconjuntos, es en referencia a otro conjunto. Por ejemplo, el conjunto de centavos de la colección anterior es un subconjunto de la colección de monedas.
La siguiente es una definición formal de subconjunto:
Un conjunto B es un subconjunto de un conjunto C si cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto C.
Para mostrar que un conjunto no es un subconjunto de otro conjunto, tendría que haber un elemento en el primer conjunto que no esté en el segundo conjunto.
Hay una cosa en los sets que confunde a mucha gente. Por definición, decimos que un conjunto es una colección de objetos. Pero en realidad, un conjunto no puede tener elementos en él. Un conjunto que no contiene elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo. Mira la definición de un subconjunto con mucho cuidado. ¿El conjunto nulo es un subconjunto de cada conjunto?
Espero que esta haya sido tu conclusión: El conjunto nulo es un subconjunto de cada conjunto.
Definir conjunto nulo: ___
Tenga en cuenta que en mi definición de subconjunto en la página anterior, utilicé las letras B y C para mis conjuntos. No tuve que usar estas cartas. Son solo variables ficticias muy parecidas cuando las usamos\(x, y \text{ and } n\) en álgebra!! Aquí hay otra manera perfectamente fina de definir subconjunto: Un conjunto R es un subconjunto de un conjunto Q si cada elemento del conjunto R es un elemento del conjunto Q.
Use letras diferentes a las que se acaban de usar para definir el subconjunto:
Normalmente usamos muchas abreviaturas en matemáticas para que no sea tan engorroso escribir todo. Muchas veces, elegimos una letra mayúscula para representar un conjunto o subconjunto y definir el conjunto por esa letra. Voy a definir algunos conjuntos ahora: El conjunto de 25 monedas con las que hemos estado trabajando se definirá como C. Los subconjuntos de centavos, cinco centavos, diez centavos, trimestres y medio dólares serán denotados por P, N, D, Q y H, respectivamente. Observe que les di letras significativas así que es fácil recordar qué letra representa qué subconjunto.
Una forma de describir un conjunto es enumerar sus objetos, si es posible. (Más adelante, discutiremos por qué esto no siempre es práctico o posible). Cuando enumeramos los objetos, lo hacemos dentro de llaves usando comas para separar los elementos. El orden en que se enumeran los elementos es irrelevante. Usando el método de listado, una forma de escribir nuestra colección de monedas, el conjunto C, es
\( \mathbf{C} = \{ 6P, 7N, 6Q, 7P, 5P, 6H, 7Q, 5D, 7D, 8Q, 4D, 6N, 5N, 7H, 6D, 4N, 9Q, 9H, 5H, 8P, 8D, 4Q, 5Q, 9D, 8N \}\)
Sea S el subconjunto de monedas de 1964, V de 1965, W de 1966, X de 1967, Y de 1968, Z de 1969 y T de 1970. ¿Son P, N, D, Q, H, S, V, W, X, Y, Z y T todos los subconjuntos de C? ___ Usando la notación correcta, escribe estos 12 conjuntos usando el método de listado listando los elementos en cada conjunto. Los únicos elementos en C son los enumerados anteriormente en este ejercicio. Tenga en cuenta que 6P es un elemento en P porque 6P es un centavo particular en C pero 6 no es un elemento y P no es un elemento. La diferencia entre cómo escribes las respuestas aquí y cómo las hiciste en el ejercicio 4 es que estás usando la notación adecuada con las llaves, y comas entre los elementos.
| N = ___ | W = ___ |
| Q = ___ | Y = ___ |
| S = ___ | T = ___ |
La manera de expresar que un elemento, como 4D, está en el conjunto C es con el símbolo que significa “es un elemento de”. Escribimos: 4D (leer “4D es un elemento de C “).
Que A represente las monedas de un dólar en nuestro conjunto C. Observe que el conjunto A está vacío. Podemos demostrar que A no contiene elementos escribiendo A = {\(\varnothing\)}. También se escribe el conjunto nulo o vacío\(\varnothing\). Entonces, también podemos escribir A =\(\varnothing\). De hecho, {} =\(\varnothing\) siempre. Es correcto escribir el conjunto nulo o vacío de cualquier manera. Pero tenga en cuenta que no es correcto escribir el conjunto nulo así: {\(\varnothing\)}. Eso sería un conjunto que sí contiene al menos un elemento el conjunto nulo! ¿Ves cómo esto puede ser un poco confuso?
Ahora a algunas preguntas sobre subconjuntos...
a. ¿Hay algún elemento en N que no esté en D? ___ Si es así, nombra uno: ___
b. de su trabajo en la parte a, responda esta pregunta: ¿N es un subconjunto de D? ___
c. ¿Hay algún elemento en A que no esté en C? ___ Si es así, nombra uno: ___
d. de su trabajo en la parte a, responda esta pregunta: ¿A es un subconjunto de C? ___
El símbolo\(\subseteq\) significa “es un subconjunto de” y así la forma de expresar que P es un subconjunto de C es escribiendo. Como N también es un subconjunto de C, podemos escribir N\(\subseteq\) C. Si el primer conjunto tiene menos elementos que el segundo conjunto, entonces el primer conjunto es un subconjunto apropiado del segundo conjunto. En este caso, el símbolo\(\subseteq\) podrá ser utilizado en lugar de\(\subseteq\). Entonces, en el caso de las monedas, también es correcto escribir P\(\subset\) C y N\(\subset\) C. Un primer conjunto no es un subconjunto de un segundo conjunto si hay al menos un elemento en el primer conjunto que no está en el segundo conjunto. Piense de nuevo en por qué el conjunto nulo tiene que ser un subconjunto de cada conjunto. Para que no sea un subconjunto, tendría que haber al menos un elemento en él que no estuviera en el segundo conjunto. Pero, ¡el conjunto nulo está vacío!
P no es un subconjunto de N. Para mostrar que P no es un subconjunto de N, debemos nombrar al menos un elemento en P que no esté en N. Nombra un elemento en P que no esté en N: ___
Piense y discuta las sutiles diferencias entre las siguientes afirmaciones:\(6P \in C\),\(\{6P\} \subset C\),\(D \subseteq D\) y\(P \subset C\) son correctas mientras que\(6P \subset C\),\(\{6P\} \in C\), ¡\(D \subset D\)y no\(P \in C\) son correctas!
Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:
| a. _______\(\varnothing \subset A\) | b. _______\(\varnothing \subseteq \varnothing\) | c. _______\(S \subseteq C\) |
| d. _______\(C \subseteq C\) | e. _______\(B \subset B\). | f. _______\(7P \in P\) |
| g. _______\(T \subseteq \varnothing\) | h. _______\(9D \in Z\). | i. _______\(5H \in N\) |
Configure tres declaraciones verdaderas y tres declaraciones falsas usando el subconjunto recién definido y los símbolos de elemento. Utilice el conjunto nulo en al menos una declaración verdadera y una falsa.
| Verdadera declaración | Declaración falsa |
Otra cosa a considerar al trabajar con conjuntos es cuántos elementos hay en un conjunto dado. Si contamos el número de elementos en un conjunto, llamamos a ese número la cardinalidad o número cardinal de ese conjunto. Para denotar la cardinalidad del conjunto C, escribimos\(n\) (C) = 25. Piense en la n como el número de objetos en el conjunto. ¿Recuerdas alguna notación funcional del álgebra como\(f\) (x) = 2x + 3 implica\(f\) (5) = 2 (5) + 3 = 10 + 3 = 13 — es decir, cuando conectas 5 a la función\(f\), sale pop 13? Bueno, cuando se trabaja con la cardinalidad de un conjunto, es el mismo tipo de cosas y usamos notación similar. En este caso, cuando conectas C a la función\(n\), sale sale el número 25!!! Cuando se le pregunta sobre la cardinalidad de un conjunto, la respuesta es un número. Decimos que dos conjuntos son equivalentes si cada uno tiene el mismo número de elementos, es decir, tienen la misma cardinalidad. Usamos el símbolo, ~, para denotar equivalencia. Por ejemplo, dado que P y H contienen cada uno cuatro elementos, podemos escribir P ~ H. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Calcular lo siguiente, utilizando la información del ejercicio 9.
a. n (P) = ____ b. n (N) = ____ c. n (Q) = ____ d. n (D) = ____
e. n (Z) = ____ f. n (H) = ____ g. n (Y) = ____ h. n (T) = ____
i. n (S) = ____ j. n (W) = ____ k. n (X) = ____ l. n (V) = ____
m. n (C) = ____ n. n (A) = ____ (A representa las monedas de un dólar en nuestro conjunto C)
o. Consideremos los subconjuntos de C que hemos definido hasta el momento. Usando el símbolo de equivalencia, exprese qué pares de subconjuntos son equivalentes entre sí.
¿Y si te preguntaran qué monedas eran peniques y también del año 1965? En el conjunto C, sólo hay una moneda que satisface ambos criterios y eso es\(5P\). Al tratar de encontrar los elementos que son comunes a dos conjuntos, en este caso, P (centavos) y V (monedas de 1965), usamos la palabra intersección. A continuación se presenta una definición formal de intersección:
La intersección de dos conjuntos, A y B, escritos A\(\cap\) B, es el conjunto de elementos que se encuentran tanto en A como en B.
Usando la notación correcta, ahora podríamos escribir P\(\cap\) V = {5P}
Complete lo siguiente, usando la notación correcta:
| a. = ____ X\(\cap\) Y | b. = ____ H\(\cap\) Z | c. = ___ N\(\cap\) S |
| d. = ____ Q\(\cap\) W | e. = ____ D\(\cap\) P |
Dos conjuntos son disjuntos si su intersección está vacía. Por ejemplo, D y Q son disjuntas porque\(D \cap Q = \varnothing\). Nombra otros tres pares de conjuntos que sean disjuntos.
Definir conjuntos disjuntos: ___
¿Y si te preguntaran qué monedas eran o peniques o del año 1965? Enumere qué monedas cumplirían una o ambas de estas condiciones:
¿Obtuviste ocho monedas diferentes esta vez? ___ Cualquier moneda que tenga un 5 o P o ambos lo haría. Acabas de encontrar la unión de los dos conjuntos P y V. A continuación se establece una definición formal de unión:
La unión de dos conjuntos, A y B, escritos\(A \cup B\), es el conjunto de elementos que están ya sea en A o B o en ambos.
Usando la notación correcta, escribimos P\(\cup = {6P, 7P, 5P, 5D, 5N, 5H, 8P, 5Q}\) ¡Recuerda que el orden en que se escriben los elementos es irrelevante! IMPORTANTE: Si un elemento está en ambos conjuntos, sólo se anota una vez en la unión.
Complete lo siguiente, usando la notación correcta:
| a. N\(\cup\) S = ____ |
| b. Q\(\cup\) W = ____ |
| c. D\(\cup\) P = ____ |
| d. X\(\cup\) Y = _____ |
Escriba la definición de unión y luego la definición de intersección. Usa letras diferentes a las de A y B.
Informar un nuevo problema que involucre las monedas usando el símbolo de intersección y un nuevo problema usando el símbolo de unión. Escribir las soluciones a los problemas.
Informar una declaración verdadera y otra falsa que involucre las monedas usando los símbolos de intersección y unión. Declarar qué afirmación es verdadera y cuál es falsa.
Deja a un lado el juego de monedas por ahora. Trabajemos con otro conjunto. Al trabajar con sets, necesitamos tener claro de lo que estamos hablando. Aquí hay otra definición para ti.
Los matemáticos suelen referirse al conjunto bajo consideración como el universo o conjunto universal, y suelen utilizar la letra U para representar el universo.
En nuestro problema de monedas, no se especificó el universo. Podrían haber sido las 25 monedas de la colección, todas las monedas hechas entre 1960 y 1970 o tal vez todas las monedas del mundo. Sin conocer el universo, hay algunas cosas que no podríamos responder en la teoría de conjuntos. Ahora que tenemos eso fuera del camino, aquí hay dos definiciones más importantes.
El complemento de un conjunto A, escrito A c\(\bar{A}\) o A', es el conjunto de elementos en el conjunto universal que no están en A. Leemos A c como “Un complemento” o “no A”. Se debe especificar el universo para poder calcular el complemento. Por ejemplo, si U = {1, 2, 3, 4, 5} y H = {3, 4}, entonces H' = {1, 2, 5).
La diferencia de dos conjuntos A y B, escritos A — B (o A — B), es el conjunto de elementos de A que no están también en B. (Algunas personas enumeran los elementos de A y luego tachan cualquiera que esté en B para obtener la respuesta para A — B. Entonces si F = {1, 2, 3 ,4} y G = {1, 3, 5, 7}, entonces para encontrar F — G, listar los elementos de F y tachar cualquiera que esté en G: {1 ,2, 3 ,4}. La respuesta es: {2, 4)
Prueba los siguientes problemas en los que el universo son los primeros 9 números contando. Si U representa el universo, tenemos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tres subconjuntos de U se definen de la siguiente manera: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 5, 7}
| a. A\(\cap\) B = _____ | b. A\(\cap\) C = ____ |
| c. B\(\cap\) C = _____ | d. A\(\cup\) B = ____ |
| e. A\(\cup\) C = _____ | f. B\(\cup\) C = ____ |
| g. A c = _____ | h. b c = ____ |
| i. C c = _____ | j. A — B = _____ |
| k. B — A = ____ | 1. A — C = _____ |
| m. C — A = ____ | n. B — C = _____ |
| o.C — B = _____ |
¿Se dio cuenta de que la orden importa por diferencia, pero no por unión o intersección?
Continuación del ejercicio 23 donde U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Los subconjuntos son:
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 5, 7}
Prueba estos problemas “más involucrados”. Estos tomarán más de un paso para hacerlo. Es posible que necesites papel rascar.
| p. (A\(\cup\) C) — B = ____ | q. (A — C) c = ____ |
| r. (A\(\cap\) B)\(\cup\) C = ____ | s. (A\(\cup\) C)\(\cap\) B = ____ |
| t. (A\(\cup\) C) c = ____ | u. a c\(\cap\) b c = ____ |
| v.\(\bar{A \cap B}\) = ____ | w.\(\bar{A \cup B}\) = ____ |
| x. A c\(\cup\) (B c\(\cap\) c c) = _____ |
Responda verdadero o falso para lo siguiente:
| y.\(\varnothing\)\(\subset\) b ___ | z. (A — C) ~ (C — B) ___ |
| aa. 5\(\in\) (C — (A\(\cup\) B)) ___ | bb. n (A\(\cup\) B) = 9 ___ |
| cc. n (A) + n (B) = 9 ___ | dd. (A\(\cup\) B) c = A c\(\cup\) B c ___ |
| ee. (A\(\cup\) B) c = A c\(\cap\) B c ___ | ff. A — B = A — (A\(\cup\) B) ___ |
| gg. A y B son disjuntos ___ | hh. B y C son disjuntos ___ |
| ii. U — A = A c ___ | jj. {3, 4, 5, 6, 8}\(\subset\) {4, 5, 6, 7, 8, 9} __ |
Asegúrate de poder resolver todos los problemas anteriores perfectamente por tu cuenta. Si tienes problemas para entender alguno de ellos, consulta con tus compañeros de clase o pregúntale a tu profesor si algo aún necesita aclaración!!! Entonces, invente algunos problemas más propios como se indica a continuación antes de continuar.
Configura cuatro de tus propios “problemas más involucrados” y muestra las soluciones. Usa los mismos conjuntos (U, A, B y C) que en el ejercicio 23.
| 1. ___ |
| 2. ___ |
| 3. ___ |
| 4. ___ |
Ahora es el momento de que inventes algunos problemas originales por tu cuenta y brindes las soluciones. Primero, decidir sobre un conjunto universal, U, y definir tres subconjuntos, D, E y F. Luego, conforman dos problemas originales y no triviales (reflexivos y que involucran dos o más pasos) usando combinaciones de unión, complemento, intersección y diferencia
¿Recuerdas cuando mencioné que el método de listado no siempre era práctico o posible? Considera un conjunto universal que contenga todos los números enteros. Estos no se pudieron enumerar. Otra forma de expresar este conjunto sería por descripción. Se podría decir U = (los números enteros) Esta es una forma muy formal de escribir este mismo conjunto U = {x|x es un número entero} que se lee “U es el conjunto de todos x tal que x es un número entero”. Es posible que hayas visto esta notación en álgebra. Aquí no vamos a ser tan formales. Otra forma de sortear el problema de listado es usar tres puntos consecutivos que significa “y así sucesivamente”. Escribiríamos U = {0,1,2,3,...}. Aquí hay una manera de expresar todos los números pares entre 13 y 509: {14,16,18,... ,508}. Podrías enumerarlos (¡si no tuvieras vida!) , pero puedes ver la ventaja de usar tres puntos!!!! El uso de los tres puntos tampoco siempre funciona. Considera el conjunto de todos los números reales. No se pueden enumerar. Tendrías que escribir algo como esto: {todos los números reales) o {x|x es un número real}.
Utilice la notación de conjunto correcta para expresar los siguientes conjuntos de una o más formas:
a. las letras del alfabeto
b. los números enteros pares entre e incluyendo 124 y 698
c. los números enteros estrictamente entre 100 y 1000
d. los nombres de los pasados presidentes de Estados Unidos hasta 1995
e. los nombres de los presidentes de Estados Unidos de 1981 a 1995
Ahora es el momento de sacar tus cuadras A. Se pueden encontrar en Tarjetas de Material 2A - 2E. Las tarjetas blancas son tarjetas de etiqueta de valor (que no usarás hasta el Conjunto de Ejercicios 3), y los objetos de color son los bloques A reales. Hay 24 objetos en cada conjunto de bloques A.
Utilizaremos las siguientes abreviaturas al referirnos a cada uno de los 24 elementos.
| S = pequeño | L = grande | Y = amarillo | R = rojo | B = azul | G = verde | Q = cuadrado | T = triángulo | C = círculo |
Usaremos tres letras para especificar cada objeto en este orden: tamaño, color, forma. El pequeño cuadrado azul sería denotado por SBQ y el círculo rojo grande sería denotado por LRC. Estas abreviaturas están en los objetos que recortas.
Definamos nuestro universo de bloques A por A.
Juega un poco con los bloques A. ¿Cómo crees que los niños podrían jugar con ellos?
Organice los bloques A en algunos montones de subconjuntos. ¿Qué tipo de pilas hiciste y cuántas había en cada pila?
Dividirlos de manera diferente. Esta vez, ¿qué tipo de pilas hiciste y cuántas había en cada pila?
a. Seleccione una forma y tome todos los bloques de esa forma y colóquelos en una hoja de papel en blanco. Cierra los ojos y haz que un amigo te quite uno de los objetos. Observe las piezas restantes y determine qué pieza se quitó. Piensa en cómo lo descubriste. ¿Cómo crees que un niño lo resolvería?
b. Repita la parte (a), pero esta vez seleccione un color y ponga todos los bloques de ese color en una hoja de papel en blanco.
c. Repita la parte (a), pero esta vez seleccione un tamaño y ponga todos los bloques de ese tamaño en una hoja de papel en blanco.
d. ¿Cuál fue el más rápido para ti en descubrir — forma, color o tamaño? ¿Por qué crees que fue así?
e. Crédito Extra: Trabajar esta actividad con 2 niños pequeños. Uno debe ser muy joven (tú decides) y el otro varios años mayor. Documente sus hallazgos y compártalos en el Foro junto con una imagen o video. Compara cómo descubrieron la pieza faltante con cómo lo hiciste. Asegúrate de hacer la actividad tú mismo primero.
En este ejercicio, las partes a a a f no están relacionadas entre sí. Comience con todo el conjunto de Bloques A para cada parte y luego proceda a seguir las indicaciones cada vez.
a. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por forma (despreciar el tamaño)
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elija uno de los subconjuntos de formas. Afirma qué forma elegiste: ____________
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
b. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por color.
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elige uno de los subconjuntos que hiciste. Afirma qué color elegiste: _____________
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
c. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por tamaño.
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elige uno de los subconjuntos que hiciste. Expone qué talla elegiste: _____________
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
d. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por forma de color.
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elige uno de los subconjuntos que hiciste. Afirma qué color y forma elegiste: _____
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
e. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por color y tamaño.
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elige uno de los subconjuntos que hiciste. Afirma qué color y talla elegiste: ______
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
f. Hacer subconjuntos de los bloques, dividiéndolos por tamaño y forma.
¿Cuántos subconjuntos hay? _____ ¿Cuántos bloques hay en cada subconjunto? _____
Elige uno de los subconjuntos que hiciste. Afirma qué tamaño y forma elegiste: _____
Usando la notación de conjunto correcta, y abreviaturas, enumere sus elementos
Una forma, color o tamaño en particular se denomina valor. Que cada uno de los valores de los bloques A se definan en términos de subconjuntos S, L, R, B, G, Y, Q, T, C definirá pequeño, grande, rojo, azul, verde, amarillo, cuadrado, triángulo y círculo, respectivamente .
a. hacer que un amigo piense en dos valores (como el azul y el cuadrado, por ejemplo). Entonces haz que tu amigo ponga todos los bloques que tengan cualquiera de estos valores en un papel en blanco, pero dejando uno intencionalmente fuera. Intenta averiguar qué bloque falta. ¿Qué tienes que averiguar primero?
b. ¿Qué valores se escogieron? ____ ¿Qué pieza faltaba?
Haz este ejercicio dos veces más, con otros valores. Pruébalo con todos los bloques escondidos una vez y con todos ellos a la vista en otra ocasión.
c. ¿Es más fácil si todos los bloques, incluido el bloque faltante, están a plena vista en alguna parte o si el bloque faltante así como todos los demás están ocultos?
d. Prueba este juego haciendo que tu amigo elija tres valores. ¿Esto es más fácil o más difícil? Pruébalo más de una vez. Enumere los valores elegidos y la pieza que falta para uno de los juegos.
e. Al hacer un subconjunto que tiene cualquiera de dos valores como en la parte a, estás formando el ____ de esos dos conjuntos. Aquí hay una pista, no es complemento. Usando la notación de conjunto correcta, escriba el conjunto formado por la unión de los dos valores elegidos en la parte a. _____\(\cup\) _____ = _______
Elija un valor (una forma, color o tamaño en particular). Pon todos los bloques con ese valor en una pila. Elige un valor diferente y pon todos los bloques con ese valor en una pila separada.
| a. ¿Qué valores se eligieron? ____ |
| b. ¿Había alguna pieza que necesitara ir en ambas pilas? ____ Si es así, ¿qué piezas? |
| c. Supongamos que los valores elegidos fueron rojo y azul. ¿Había bloques que necesitaran ir en ambos pilotes? ____ Si es así, ¿cuáles? |
| d. Supongamos que se eligieron amarillo y grande. ¿Había bloques que necesitaran ir en ambos pilotes? ____ Si es así, ¿cuáles? ____ |
| e. Los elementos que pertenezcan a ambos pilotes deben ser tanto amarillos como grandes. Al hacer un subconjunto donde los objetos deben tener ambos valores, estás formando el ____ de esos dos conjuntos, Usando notación de conjunto, escribimos Y\(\cap\) L =____ |
Ponga sus cuadras A por ahora. ¡¡¡No los pierdas!! Antes de continuar trabajando con los bloques A, tendremos que aprender y trabajar con diagramas de Venn. Luego volveremos y trabajaremos más con nuestros bloques A.
Consideremos una situación en la que una madre, María, tiene tres hijos —Alicia, Brent y Carlos. Mary tiene el pelo rojo. La pregunta que intentaremos responder es la siguiente: ¿Qué posibilidades existen respecto a cuáles, si alguno de sus hijos, tiene el pelo rojo? Enumere las posibilidades que se le ocurrieron:
Trabajemos a través del problema anterior. En primer lugar, vamos a desglosar un poco el problema. Es posible que ninguno de sus hijos tenga el pelo rojo, sólo uno tiene el pelo rojo, dos de cada tres tienen el pelo rojo o los tres terminaron como pelirrojos. Dentro de cada una de estas cuatro situaciones, vamos a anotar cada una de las posibilidades. Enumeraremos cada posibilidad como un conjunto, utilizando los nombres de los niños como posibles elementos.
| Situación 1: Ninguno de los niños son pelirrojas: {} |
|
Situación 2: Un niño es pelirrojo. Esto nos da las tres posibilidades que se enumeran a continuación: {Alicia} {Brent} {Carlos} |
|
Situación 3: Dos de cada tres tienen el pelo rojo. También se puede pensar en esto como un solo niño que no tiene el pelo rojo. En todo caso, eso nos da las tres posibilidades a continuación: {Brent, Carlos} {Alicia, Carlos} {Alicia, Brent} |
|
Situación 4: Los tres niños tienen el pelo rojo: {Alicia, Brent, Carlos} |
Se nos ocurrieron ocho posibilidades diferentes.
El problema anterior realmente equivale a una cuestión de teoría de conjuntos. Dado un conjunto M, donde M = {A, B, C}, enumera todos los subconjuntos posibles de M. En primer lugar, recuerde que el conjunto nulo es un subconjunto de cada conjunto y el conjunto completo es un subconjunto de sí mismo (simplemente no es un subconjunto apropiado). Te acordaste de esos dos puntos, ¿no?
Comencemos enumerando las posibilidades según cuántos elementos podrían haber en los subconjuntos ya sea sin elementos, un elemento, dos elementos o tres elementos. Para cada una de estas situaciones, enumere todas las posibilidades:
| Sin elementos: {} | Dos elementos: {A, B}, {A, C}, {B, C} |
| Un elemento: {A}, {B}, {C} | Tres elementos: {A, B, C} |
Aquí hay una lista de todos los subconjuntos posibles: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} ¡
GUAU! ¿Vías cómo se nos ocurrieron las mismas ocho posibilidades? Esta teoría de conjuntos es simplemente increíble, ¿no?
Enumere todos los subconjuntos posibles para cada uno de los conjuntos dados.
| a.\(\varnothing \): ___ |
| b. {P}: ___ |
| c. {G, F}: ___ |
| d. {X, Y, Z}: ___ |
| e. {1, 2, 3, 4}: ___ |
Utilizando la información obtenida del ejercicio 34, responde la siguiente pregunta.
¿Cuántos subconjuntos hay para un conjunto que contiene el número dado de elementos?
| a. sin elementos: ___ |
| b. un elemento: ___ |
| c. dos elementos: ___ |
| d. tres elementos: ___ |
| e. cuatro elementos: ___ |
| f. cinco elementos: ___ |
| g. n elementos (usa una fórmula): ___ |
Hay una operación más que definiremos en sets. Hasta el momento, has trabajado con unión, intersección, diferencia y complemento. Ahora aprenderemos lo que significa tomar el producto cartesiano de dos juegos, A y B.
El producto cartesiano del conjunto A con el conjunto B, que se escribe A\(\times\) B y se lee como 'A cruz B” es el conjunto de todos los pares ordenados posibles (a, b), donde a\(\in\) A y b\(\in\) B.
Si estás encontrando el producto cartesiano, la respuesta es un conjunto que contiene pares ordenados. ¡El orden importa! El primer elemento debe provenir del conjunto escrito a la izquierda del\(\times\) y el segundo elemento debe provenir del conjunto escrito a la derecha de la\(\times\).
Si A = {x, y, z} y B = {a, b}, busque A\(\times\) B y B\(\times\) A.
Solución
A\(\times\) B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}
B\(\times\) A = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z)}
Observe que hubo 3 elementos en un conjunto y dos en el otro. El producto cartesiano tiene seis elementos en él, seis pares ordenados.
Si E = {1, 2} y F = {2,3}, busque E\(\times\) F, F\(\times\) E,\(\times\) E E y F\(\times\) F
Solución
| E\(\times\) F= {(1, 2), (1.3), (2, 2), (2, 3)} | E\(\times\) E = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} |
| F\(\times\) E = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2)} | F\(\times\) F = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} |
Observe que había dos elementos en un conjunto y dos en el otro. Cada producto cartesiano tiene cuatro elementos en él, cuatro pares ordenados.
Encuentra {4, 5}\(\times\) {7, 2, x, #}.
Solución
{4, 5}\(\times\) {7, 2, x, #} = {(4, 7), (4, 2), (4, x), (4, #), (5, 7), (5, 2), (5, x), (5, x), (5, #)}
Observe que había dos elementos en un conjunto y cuatro en el otro. El producto cartesiano tiene ocho elementos en él —ocho pares ordenados.
En el Ejemplo I, un conjunto contenía 3 elementos y el otro contenía 2 elementos, El producto cartesiano contenía 6 elementos — 6 pares ordenados. En el Ejemplo 2, un conjunto contenía 2 elementos y el otro contenía 2 elementos, El producto cartesiano contenía 4 elementos, 4 pares ordenados. En el Ejemplo 3, un conjunto contenía 2 elementos y el otro contenía 4 elementos. El producto cartesiano contenía 8 elementos, 8 pares ordenados.
Si un conjunto B contiene 5 elementos (es decir, n (B) = 5) y un conjunto C contiene 7 elementos (o n (C) = 7), entonces ¿cuántos elementos (donde cada elemento es un par ordenado) hay en el producto cartesiano B\(\times\) C?
Si un conjunto B contiene 5 elementos (es decir, n (B) = 5) y un conjunto C contiene 7 elementos (o n (C) = 7), entonces ¿cuántos elementos (donde cada elemento es un par ordenado) hay en el producto cartesiano C\(\times\) B?
En general, para dos conjuntos cualesquiera, F y G, ¿es n (F\(\times\) G) = n (G\(\times\) F)?
Supongamos que un conjunto B contiene b elementos (en otras palabras, n (B) = b) y un conjunto C contiene c elementos (o n (C) = c). Utilice esta información para calcular lo siguiente, donde se le pregunta cuántos elementos (donde cada elemento es un par ordenado) hay en un producto cartesiano dado.
| a. n (B\(\times\) C) = ____ | b. n (B\(\times\) B) = ____ | c. n (C\(\times\) C) = ____ |
En general, si tomas dos conjuntos cualquiera, A y B, ¿es A\(\times\) B = B\(\times\) A? ____ Si respondió que sí, proporcione un ejemplo de dos conjuntos diferentes, A y B, y demuestre que A\(\times\) B = B\(\times\) A. Si respondió no, proporcione un ejemplo de dos conjuntos diferentes, A y B, y demuestre que A\(\times\) B ≠ B\(\times\) A.
Este es más complejo: Find {(4, 3), 5)\(\times\) {(3, 3), {4, 7, 5, 2}, 1}
Bien, respira... puedes hacer esto. Observe cuidadosamente el primer conjunto; tiene dos elementos, el primer elemento pasa a ser el par ordenado (4, 3) y el segundo elemento es el número
5. Mira cuidadosamente el segundo conjunto; tiene tres elementos, el primero mostrado pasa a ser el par ordenado (3,3), el segundo pasa a ser conjunto que contiene cuatro elementos, y el tercero es el elemento 1, así que el primer conjunto contiene 2 elementos y el segundo conjunto contiene 3 elementos. Primero, piense en cuántos elementos hay en el producto cartesiano. ¿Se te ocurrió la idea de multiplicar 2 por 3? ¡Eso espero! Hay seis elementos en el producto cartesiano. Cada uno de esos elementos es un par ordenado, y algunos de estos pares ordenados se verán un poco raros. Vea si puede entender la solución que se escribe a continuación.
Solución
{(4, 3), 5}\(\times\) {(3, 3), {4, 7, 5, 2}, l} = {((4, 3), (3, 3)), ((4, 3), {4, 7, 5, 2}), ((4, 3), 1), (5, (3, 3)), (5, {4, 7, 5, 2}), (5, 1)}
Mira esta solución cuidadosamente. Hay seis pares ordenados en la solución. Los tres primeros pares ordenados tienen (4, 3) como su primera coordenada y los segundos tres pares ordenados tienen 5 como su primera coordenada. Entonces (3, 3) es la segunda coordenada para el primer y cuarto par ordenado, {4, 7, 5, 2} es la segunda coordenada para el segundo y quinto par ordenado y 1 es la segunda coordenada para la tercera y sexta coordenada. Si puedes seguir este, deberías hacerlo muy bien en el siguiente ejercicio.
Escribe el producto cartesiano. Cada respuesta es un conjunto que contiene pares ordenados. Antes de hacer cada problema, piensa en cuántos pares ordenados estarán en la respuesta. Asegúrate de escribir tu respuesta usando la notación correcta, pon los pares ordenados en un conjunto. Hay una coma entre cada coordenada en cada par ordenado y hay una coma entre cada elemento del conjunto. Use llaves {} alrededor del conjunto. ¡Una de las respuestas es el conjunto nulo!
| a. {3, 4}\(\times\) {2, 6} = ____ |
| b. {6, 7, 8, 9}\(\times\) {5} = ____ |
| c. {r, s, t}\(\times\) {} = ____ |
| d. {a}\(\times\) {a} = ____ |
| e. {x, y}\(\times\) {x, y} = ____ |
| f. {1, 3, 5}\(\times\) {1, 3, 5} = ____ |
| g. {(9, 4), C)}\(\times\) {D, {a, b, c}} = ___ |
| h.\(\{\{5, 6, 7, 8, 9\}\} \times \{g, \{4, 3\}\}\) = ___ |