2.9: El teorema de los números primos

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Ya hemos observado que hay 4 primos menos de 10, 25 primos menos de 100 y 168 primos menos de 1000. Y hay 78 498 primos menos de 10 ⁶. Entonces

40% de los números enteros < 10 son primos;

25% de los números enteros < 100 son primos;

16.8% de los números enteros < 1000 son primos; y

7.8498% de los enteros < 10 ⁶ son primos.

En otras palabras, la fracción de enteros que son números primos disminuye a medida que vamos subiendo.

La primera pregunta que hay que hacer es si los números primos en sí mismos “se agotan” en algún momento, o si continúan para siempre. La respuesta es muy parecida a esa para los números de conteo, o enteros positivos 1, 2, 3,4, 5 ... :

el proceso de conteo ciertamente se inicia (con 1); y no importa lo lejos que vayamos, siempre podemos “sumar 1” para obtener un número de conteo mayor.

De ahí que concluimos que los números de conteo “continúan para siempre”.

Problema 76

(a) (i) Inicia el proceso de generación de números primos eligiendo tu número primo pequeño favorito y llámenlo p ₁.

ii) Luego definir $n_{1} = p_{1} + 1$ .

b) i) Desde $n_{1} > 1$ , n ₁ debe ser divisible por algún primo. Explique por qué p ₁ no es un factor de n ₁. (¿Cuál es el resto cuando dividimos n ₁ por p ₁?)

(ii) Que p ₂ sea el factor primo más pequeño de n ₁.

iii) Definir $n_{2} = p_{1} \times p_{2} + 1$

(c) (i) Dado que n ₂ > 1, n ₂ debe ser divisible por algún primo. Explique por qué p ₁ y p ₂ no son factores de n ₂. (¿Cuál es el resto cuando dividimos n ₁ por p ₁, o por p ₂?)

(ii) Que p ₃ sea el factor primo más pequeño de n ₂.

iii) Definir $n_{2} = p_{1} \times p_{2} + 1$

(d) Supongamos que hemos construido k números primos distintos p ₁, p ₂, p ₃,..., p _k. Explicar cómo siempre podemos construir un número primo p _k+1 diferente de $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ .

(e) Aplicar el proceso anterior con p ₁ = 2 para encontrar p ₂, p ₃, p ₄, p ₅.

Una vez que sepamos que los números primos continúan para siempre, nos gustaría tener una idea más clara de la frecuencia con la que ocurren los números primos entre los enteros positivos. Ya hemos señalado que

hay 4 primos entre 1 y 10,
y nuevamente 4 primos entre 10 y 20;
pero solo hay 1 prime en los 90;
y luego 4 primos entre 100 y 110.
Y no hay primos en absoluto entre 200 y 210.

En otras palabras, la distribución de los números primos parece ser bastante caótica. Nuestra comprensión de la imagen completa sigue siendo fragmentaria, pero estamos a punto de ver que el aparente caos en la distribución de los números primos oculta un patrón notable justo debajo de la superficie.

El siguiente punto es sólo un experimento; pero es un experimento muy sugerente. Es artificial, en que lo que estás invitado a contar ha sido cuidadosamente elegido para señalarte en la dirección correcta. La observación resultante se conoce generalmente como el Teorema del Número Primo. El resultado fue conjeturado por Legendre (1752—1833) y por Gauss (1777—1855) a finales de la década de 1790 —y fue probado 100 años después (independientemente y casi simultáneamente) en 1896 por el matemático francés Hadamard (1865—1963) y por el matemático belga de la Vallée Poussin (1866-1962). Deberá acceder a una lista de números primos de hasta 5000 digamos.

Problema 77 Vamos $π (x)$ denotar el número de números primos $\leq x$ : por lo $π (1) = 0$ , $π (2) = 1$ , $π (3) = π (4) = 2$ , $π (100) = 25$ . Se le invita a contar el número de primos hasta ciertos números cuidadosamente elegidos, y luego a estudiar los resultados. El patrón que debes notar funciona igual de bien para otros números, pero es considerablemente más difícil de detectar.

Los valores especiales que elegimos para “x” son

el siguiente entero por encima de las potencias sucesivas del número especial e,

donde e es una constante importante en matemáticas —un número irracional cuyo decimal comienza 2.7182818 · · ·, y que tiene su propio botón en la mayoría de las calculadoras (ver Problema 248).

a) Completar la siguiente tabla.

n	e ⁿ	siguiente número entero N	π (N)
1	2.718	3	2
2	7.389
3	20.08
4	54.59
5	148.41
6	403.42
7	1096.63
8	2980.95
9	8103.08		1019

(b) Encontrar una expresión que parezca especificar $π (N)$ en función de n. De ahí conjeturar una expresión para $π (x)$ en términos de x.

Durch planmassiges Tattonieren.

[A través de la búsqueda sistemática.]

Carl Friedrich Gauss (1777-1855),

cuando se le preguntó cómo llegó a hacer tantos descubrimientos profundos en matemáticas.