2.8: El Sistema Mumeral Binario

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Hay todo tipo de razones por las que uno debería pensar en sistemas numéricos usando bases diferentes a la base familiar 10. Esto es especialmente cierto de la base 2, que es el sistema más simple de todos, y también es (en cierto sentido) el más utilizado. Lo que sigue solo pretende ofrecer una visión restringida de este universo alternativo.

Problema 71 Los números en este ítem están todos escritos en base 2.

a) Llevar a cabo la adición

$\underset{──────}{\begin{matrix} 11100 \\ + 1110 \end{matrix}}$

sin cambiar los números en sus equivalentes base 10 — simplemente aplicando las reglas para la adición de columnas base 2 y “llevar”.

b) Llevar a cabo estas multiplicaciones largas sin cambiar los números a sus equivalentes base 10 —simplemente aplicando las reglas para la multiplicación de columna base 2.

(i) $\underset{──────}{\begin{matrix} 10110 \\ \times 10 \end{matrix}}$

ii) $\underset{──────}{\begin{matrix} 1110 \\ \times 11 \end{matrix}}$

iii) $\underset{──────}{\begin{matrix} 110 \\ \times 111 \end{matrix}}$

(c) Tratar de sumar estas fracciones (donde los numeradores y denominadores son números escritos en base 2) sin cambiar las fracciones a forma base 10 más familiar.

$\frac{110}{1111} + \frac{1}{10} + \frac{1001}{1110}$

El siguiente problema invita a idear pruebas de divisibilidad para enteros escritos en base 2 como los de base 10 (es decir, pruebas que implementan alguna comprobación que involucra los dígitos base 2 en lugar de llevar a cabo la división real).

Problema 72 Que N sea un entero positivo escrito en base 2. Describir y justificar una prueba simple, basada en los dígitos de N _base2:

(i) para que N sea divisible por 2

(ii) para que N sea divisible por 3

(iii) para que N sea divisible por 4

(iv) para que N sea divisible por 5.

Problema 73 Un comerciante matemático tiene un par de escalas y un conjunto infinito de pesos integrales calibrados con valores $w_{0}, w_{1}, w_{2}, ...$ (donde $w_{0} < w_{1} < w_{2} < ...$ ), pero con un solo peso de cada valor.

(a) Supongamos que, para cada objeto de peso entero positivo w cuyo peso se va a determinar, cuando el objeto se coloca en una cacerola de escala, el comerciante es capaz de seleccionar alguna combinación de sus pesos $w_{0}, w_{1}, w_{2}, ...$ poner en la otra báscula sartén para equilibrar, y por lo tanto para determinar el peso de, el objeto a pesar.

(i) Si por cada peso w hay una elección única de pesos w _i que equilibran w, demostrar que la recolección de pesos debe constar de todas las potencias de 2.

(ii) Si cada objeto de peso integral desconocido w puede ser equilibrado por alguna colección de los pesos w _i, pero algunos pesos w pueden equilibrarse, o “representarse”, de más de una manera, ¿es cierto que la colección de pesos del comerciante tiene que incluir todos los poderes de 2?

(b) ¿Qué puede probar si el conjunto de pesos del comerciante le permite equilibrar cada peso entero desconocido w de una manera exactamente variando su procedimiento de pesaje, para que pueda colocar sus “pesos conocidos” en cualquiera de las dos balanzas (ya sea en la misma sartén de báscula que el peso desconocido para agregar a su peso, o en la sartén de escala opuesta para equilibrarlo)?

Problema 74 Explicar cómo expresar cualquier fracción

$\begin{matrix} \frac{m}{2^{n}} \end{matrix}$

donde $0 < m < 2^{n}$ como suma de fracciones unitarias distintas con denominador una potencia de 2.

Es posible que hayas oído hablar de un algoritmo (un poco como división larga) que permite calcular a mano la raíz cuadrada de cualquier número N dado en la base 10. El algoritmo comienza agrupando los dígitos de N en pares, comenzando desde el punto decimal. Luego extrae la raíz cuadrada, dígito a dígito, teniendo la raíz cuadrada un dígito por cada par sucesivo de dígitos de N, comenzando por el par más a la izquierda (que puede ser un solo dígito).

Todos sabemos cómo iniciar el proceso. Por ejemplo, si el par de dígitos más a la izquierda en N es “12”, entonces sabemos que la raíz cuadrada comienza con un “3”. Los dígitos sucesivos se identifican usando la identidad algebraica

$\begin{matrix} N = {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, \end{matrix}$

donde x es la secuencia de dígitos iniciales en la “raíz cuadrada parcial” extraída hasta ahora (seguida de una cadena apropiada de 0s), e y representa la parte residual de la raíz cuadrada requerida.

La clave es concentrarse cada vez en el dígito inicial Y del residuo” $N - x^{2}$ “, y en cada etapa elegir el dígito principal Y de y para que $2 x y + y^{2}$ no exceda $N - x^{2}$ . Esta secuencia de pasos se presenta tradicionalmente (y útilmente) de la misma manera que la división larga, donde en cada etapa restamos el cuadrado de la raíz cuadrada aproximada actual x, del número original N, y “bajamos” el siguiente par de dígitos, y luego elegimos el siguiente dígito Y en la raíz cuadrada (el dígito inicial de y) para que” $2 x y + y^{2}$ “no exceda el residuo $N - x^{2}$ .

En la base 10 cada etapa requiere de uno para hacer malabares con las posibilidades para decidir sobre el siguiente dígito en la raíz cuadrada parcial. No obstante, en la base 2 el proceso debería ser más sencillo, ya que en cada etapa sólo tenemos que decidir si el siguiente dígito es un 1 o un 0.

Problema 75 Elaborar cómo calcular la raíz cuadrada de cualquier cuadrado dado en base 2.