5.1: Comparando geometría y aritmética

Las citas iniciales nos recuerdan que el universo mental de las matemáticas formales extrae gran parte de su inspiración inicial de la percepción y la actividad humana, actividad que comienza con los bebés observando, moviéndose y operando con objetos en el tiempo y en el espacio. Muchas de nuestras primeras experiencias prematemáticas son proto-geométricas por excelencia. Damos sentido a las entradas visuales; aprendemos a reconocer rostros y objetos; nos arrastramos por ahí; aprendemos a mirar 'detrás' y 'debajo' de obstrucciones en busca de juguetes ocultos; ordenamos y construimos; dibujamos y hacemos; etc. Sin embargo, para que esta experiencia se convierta en matemáticas, entonces necesitamos

• identificar ciertos “objetos” semiformales (puntos, líneas, ángulos, triángulos),
• identificar las relaciones clave entre ellos (bisectores, congruencia, paralelismos, similitud), y luego
• desarrollar el lenguaje asociado que nos permita encapsular los conocimientos de la experiencia previa en un marco coherente para el cálculo y la deducción.

Se ha prestado muy poca atención a lograr un consenso sobre cómo esta transición (de la experiencia informal, al razonamiento formal) se puede establecer mejor para los principiantes en geometría elemental. Por el contrario, el número y la aritmética se mueven mucho más naturalmente

• de nuestra experiencia temprana de tiempo y cantidad
• a la notación, las operaciones, los procedimientos de cálculo y las reglas de aritmética formal y álgebra.

El conteo tiene sus raíces en la idea de una unidad repetida, noción que puede provenir del latido siempre presente y regular que envuelve a cada embrión (donde presumiblemente el latido se siente mucho antes de que se escuche). Posteriormente nos encontramos con unidades repetidas con escalas de tiempo más largas (como los ciclos de día y noche, y las rutinas de alimentación y sueño). Los primeros meses y años de vida están llenos de instancias de numerosidad, de cantidad continua, de ordenamiento sistemático, de secuencias, de combinaciones y particiones, de agrupación y replicación, y de relaciones entre cantidades y operaciones, experiencias que proporcionan la materia prima para el matemáticas de número, de valor posicional, de aritmética, y posteriormente de 'estructura interna' (o álgebra).

La necesidad de que las comunidades políticas construyan un currículo escolar formal que vincule la experiencia infantil temprana y las matemáticas formales elementales es un desarrollo reciente. Sin embargo, en el dominio del número, la cantidad y la aritmética (y posterior álgebra), existe un sorprendente nivel de acuerdo sobre los pasos que deben incorporarse, aunque los detalles puedan diferir en diferentes sistemas educativos y en diferentes aulas. Por ejemplo:

• De alguna manera se debe establecer la idea de una unidad, la cual puede ser replicada para producir números mayores, o múltiplos.
• Luego se deben agrupar unidades relativas a una base elegida (por ejemplo, 10), iterar este procedimiento de agrupación (tomando “diez decenas” y luego “diez cientos”) y usar la posición para crear notación de valor posicional.
• Uno debe introducir “0”, tanto como un número por derecho propio, como un marcador de posición para expresar números usando el valor posicional.
• Luego se pueden usar combinaciones y diferencias, múltiplos y compartir (y particiones), para desarrollar la aritmética.
• En alguna etapa se introducen subunidades (es decir, fracciones unitarias) y submúltiplos (es decir, múltiplos de estas subunidades) para producir fracciones generales; entonces se puede usar equivalencia y submúltiplos comunes para extender la aritmética a las fracciones.
• Si restringimos a fracciones decimales, entonces nuestras ideas de valor posicional para enteros se pueden extender a la derecha del punto decimal para producir decimales.
• En cada etapa necesitamos

  — relacionar estas ideas con cantidades,

  — exigir a los alumnos que interpreten y resuelvan problemas verbales, y

  — cultivar tanto la aritmética mental como los algoritmos escritos estándar

  .
• Hacia el final de la primaria, la atención comienza a ir más allá de la computación a mano desnuda, para explotar conscientemente la estructura interna en preparación para el álgebra.

Nuestra experiencia geométrica temprana es tan natural como la relativa al número; pero es más sutil. Y aún no hay un consenso comparable sobre el camino que hay que seguir para que nuestra experiencia geométrica primitiva se formalice de manera útil.

La década de 1960 vio un impulso para modernizar las matemáticas escolares y, al mismo tiempo, hacerla accesible para todos. La geometría elemental ciertamente necesitaba un replanteamiento. Pero los reformadores en la mayoría de los países simplemente descartaron la mezcla tradicional (por ejemplo, en Inglaterra, donde se encontró una mezcla de dibujo técnico, euclidiana y geometría de coordenadas en diferentes proporciones para diferentes grupos de estudiantes) en favor de alternativas que suenan más modernas. Algunos países favorecieron un marco deductivo más abstracto; algunos intentaron explotar el movimiento y las transformaciones; algunos utilizaron matrices y grupos; algunos utilizaron vectores y álgebra lineal; algunos incluso jugaron con topología. Más recientemente hemos escuchado afirmaciones igualmente ambiciosas en nombre del software de geometría dinámica. Y aunque cada enfoque tiene sus atractivos,

ninguna de las alternativas ha logrado ayudar a más estudiantes a visualizar, razonar y calcular de manera efectiva en entornos geométricos.

A un nivel mucho más avanzado, la geometría combina

• con álgebra abstracta (donde el enfoque propuesto por Felix Klein (1849-1925) muestra cómo identificar cada geometría con un grupo de transformaciones), y
• con análisis y álgebra lineal (donde, siguiendo a Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866) y Grassmann (1809-1877), el cálculo, los espacios vectoriales y la topología posterior pueden ser utilizados para analizar la geometría de superficies y otros espacios).

Sin embargo, estos sutiles formalismos son totalmente irrelevantes para los principiantes, que necesitan un enfoque

• basado en conceptos que son relativamente familiares (puntos, líneas, triángulos, etc.), y
• cuyas propiedades básicas pueden formularse de manera relativamente simple.

La sutileza y flexibilidad del software de geometría dinámica puede ser enormemente impresionante; pero si los estudiantes van a aprovechar este poder, necesitan un dominio previo de algún marco simple y semiformal, junto con el lenguaje asociado y los modos de razonamiento. A pesar de la falta de un consenso aceptado, la experiencia de los últimos 50 años parecería sugerir que el marco más relevante para los principiantes de nivel secundario implica alguna combinación de:

• geometría euclidiana estática, relativamente tradicional, y
• Geometría cartesiana o coordenada (analítica).

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