5: Geometría

Los que temen experimentar con sus manos nunca sabrán nada. - George Sarton (1884-1956)

La verdad matemática no está determinada arbitrariamente por las reglas de algún sistema formal 'hecho por el hombre', sino que tiene una naturaleza absoluta y yace más allá de cualquier sistema de reglas especificables. - Roger Penrose (1930—)

La geometría es en muchos sentidos la rama más natural de las matemáticas elementales a través de la cual transmitir “la esencia” de la disciplina.

• El tema subyacente está arraigado en ver, mover, hacer, dibujar, hacer, etc., y así es accesible para todos.
• A nivel secundario esta experiencia práctica conduce de manera bastante natural a un tratamiento semiformal de la “geometría como universo mental”
  • — un universo que está reventado de hechos sorprendentes, cuyas afirmaciones se pueden entender fácilmente; y
  • — que tiene una estructura lógica clara, en términos de la cual las pruebas de estos hechos son accesibles, aunque a veces tentadoramente esquivas.

Esta combinación de problemas esquivos por resolver y la acumulación constante de resultados comprobados ha proporcionado a generaciones de estudiantes su primer atisbo de matemáticas serias. Todos los lectores pueden imaginar el tipo de experiencias que se encuentran detrás del primer punto de viñeta anterior: muchos de los problemas que ya hemos conocido (como Problemas 4, 19, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 37, 38, 39) no dependen del “trato semiformal” al que se refiere el segundo punto de viñeta, por lo que puede ser abordado por cualquiera que esté interesado, siempre que acepte la importancia de aprender a construir sus propios diagramas (en el espíritu de la cita de George Sarton).

La mano es la vanguardia de la mente.

Jacob Bronowski (1908-1974)

Pero hay una captura -que explica por qué el presente capítulo aparece tan tarde en la colección. Para que muchos problemas transmitan con éxito “la esencia de las matemáticas” tiene que haber alguna comprensión compartida de lo que constituye una solución. Y en geometría, muchas soluciones requieren la construcción de una prueba. Sin embargo, muchos lectores nunca habrán experimentado un “tratamiento semiformal” coherente de la geometría elemental en el espíritu del segundo punto. De ahí que en Problemas 3 (c), 18, 21, 32, 34, 36 cometimos el pecado cardinal de guiar al lector por la nariz, rompiendo cada problema en pasos con el fin de imponer una estructura lógica. Esto puede haber sido excusable en el Capítulo 1; pero en un capítulo explícitamente dedicado a la geometría, el desafío subyacente tiene que ser enfrentado de frente: es decir, la experiencia cruda de la mano tiene que ser refinada para proporcionar una estructura deductiva para la mente.

Al igual que en el Capítulo 1, algunos de los problemas enumerados a partir de la Sección 5.3 pueden abordarse sin preocuparse demasiado por la estructura lógica de la geometría elemental. Pero en muchos casos, la “esencia” que es captada por un problema requiere que el problema sea visto dentro de una jerarquía lógica acordada -una secuenciación de propiedades, resultados y métodos, que establezca qué es una consecuencia de lo que- y por lo tanto, qué se puede utilizar como parte de un solución. En particular, necesitamos construir pruebas que eviten el razonamiento circular.

Si B es una consecuencia de A, o si B es equivalente a A, entonces una 'prueba' de A que hace uso de B es en el mejor de los casos dudosa, y bien puede ser un engaño.

La necesidad de evitar tal razonamiento circular surgió ya en el Problema 21 (lo contrario del Teorema de Pitágoras), donde sentimos la necesidad de afirmar explícitamente que sería inapropiado usar la Regla del Coseno: (ver Problema 192 más adelante).

Tales preocupaciones pueden explicar por qué este capítulo sobre geometría es el último de los capítulos relativos a las 'matemáticas escolares' de primaria, y por qué comenzamos el capítulo con

• una digresión aparente (Sección 5.1), y
• un esquema de geometría euclidiana elemental (Sección 5.2).

Aquellos con un fuerte fondo en geometría pueden optar por saltarse estas secciones en una primera lectura, y pasar directamente a los problemas que comienzan en la Sección 5.3. Pero entonces tal vez no vean cómo la arquitectura acumulativa de la Sección 5.2 transmite un aspecto bastante diferente de la “esencia de las matemáticas”, derivado no solo de los problemas individuales, sino de la forma en que una disposición sistemática y cuidadosamente elaborada de “ladrillos” simples puede crear una solución mucho más estructura matemática significativa.