5.12: Cubos en mayores dimensiones

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Esta última sección sobre geometría elemental busca explorar territorio fresco yendo más allá de tres dimensiones. Siempre que intentemos saltar a un nuevo nivel, puede ayudar dar primero un paso atrás y 'tomar una carrera más larga'. Entonces, por favor, tenga paciencia si inicialmente damos un paso o dos hacia atrás.

Todos sabemos lo que es una unidad 3D-cube. Y -yendo hacia atrás- no es difícil adivinar qué se entiende por una unidad “2D-cube”: una unidad 2D-cube es solo otro nombre para una unidad cuadrada. Entonces no es difícil notar que una unidad 3D-Cube se puede construir a partir de dos unidades 2D-cubos de la siguiente manera:

primera posición dos unidades 2D-cubos 1 unidad aparte en el espacio 3D, con uno directamente encima del otro;
asegúrese de que cada vértice del cubo 2D inferior esté directamente debajo de un vértice del cubo 2D superior;
luego une cada vértice del 2D-cube superior al vértice correspondiente debajo de él.

¡Quizás una unidad 2D-cube se pueda construir de manera similar a partir de “Unit LD-Cubes”! Esta idea sugiere que una unidad “1D-cube” es solo otro nombre para un segmento de línea unitaria.

Tome la unidad LD-Cube para ser el segmento de línea de 0 a 1:

posicionar dos de tales cubos 1D en 2D (por ejemplo, uno que une (0,0) a (1, 0), y el otro uniendo (0,1) a (1,1));
verificar que cada vértice del cubo 1D inferior esté directamente debajo de un vértice del cubo 1D superior;
luego unir los pares correspondientes de vértices - uno desde el cubo 1D-superior y otro desde el cubo 1D-inferior ((0, 0) a (0,1), y (1,0) a (1,1)) - para obtener una unidad 2D-cubo.

Habiendo dado un paso atrás, repetimos (y reformulamos) la construcción previa de un cubo 3D: ^o

posicionar dos cubos 2D de esta unidad en 3D: con un cubo 2D uniendo (0, 0, 0) a (1,0,0), luego a (1,1, 0), luego a (0,1, 0) y de nuevo a (0, 0, 0), y el otro 2D-cubo uniendo (0,0,1) a (1, 0,1), luego a (1,1,1), luego a (0,1,1), y de nuevo a (1,0, 0);
con un 2D-cube directamente encima del otro,
luego unir los pares correspondientes de vértices - uno desde el 2D-cubo superior y uno desde el 2D-cubo inferior ((0,0,0) a (0,0,1), y (1, 0,0) a (1, 0,1), y (1,1, 0) a (1,1,1), y (0,1, 0) a (0,1,1)) - para obtener una unidad 3D-cubo.

Para resumir: un cubo unitario en 1D, o en 2D, o en 3D:

tiene como “vértices” todos los puntos cuyas coordenadas son todos “0s o 1s” (en 1D, o 2D, o 3D)
tiene como “bordes” todos los segmentos unitarios (o cubos 1D unitarios) que unen vértices cuyas coordenadas difieren exactamente en un lugar
y una unidad 3D-cube tiene como “caras” todos los cubos 2D unitarios extendidos por vértices con un valor constante (0 o 1) en uno de los tres lugares de coordenadas (es decir, para la unidad 3D-cube: los cuatro vértices con x = 0, o los cuatro vértices con x = 1; o los cuatro vértices con y = 0, o los cuatro vértices con y = 1; o los cuatro vértices con z = 0, o los cuatro vértices con z = 1).

Un cubo 3D está rodeado por seis cubos 2D (o caras), y un cubo 2D está rodeado por cuatro cubos 1D (o caras). Por lo que es natural interpretar los dos vértices finales de un cubo 1D como '0D-Cubes'. Entonces podemos ver que un cubo en cualquier dimensión está formado por cubos de dimensiones más pequeñas. También podemos comenzar a hacer una suposición razonable sobre lo que podríamos esperar encontrar en un '4D-Cuhe'.

Problema 225

(a) (i) ¿Cuántos vértices (es decir, cubos 0D) hay en un cubo 1D?

(ii) ¿Cuántos bordes (es decir, cubos 1D) hay en un cubo 1D?

b) i) ¿Cuántos vértices (o cubos 0D) hay en un cubo 2D?

(ii) ¿Cuántas “caras” (es decir, cubos 2D) hay en un cubo 2D?

(iii) ¿Cuántos bordes (es decir, cubos 1D) hay en un cubo 2D?

c) i) ¿Cuántos vértices (o cubos 0D) hay en un cubo 3D?

(ii) ¿Cuántos cubos 3D hay en un cubo 3D?

(iii) ¿Cuántos bordes (es decir, cubos 1D) hay en un cubo 3D?

(iv) ¿Cuántas “caras” (es decir, cubos 2D) hay en un cubo 3D?

(d) i) ¿Cuántos vértices (o cubos 0D) esperas encontrar en un cubo 4D?

(ii) ¿Cuántos cubos 4D esperas encontrar en un cubo 4D?

(iii) ¿Cuántos bordes (es decir, cubos BD) espera encontrar en un cubo 4D?

(iv) ¿Cuántas “caras” (es decir, cubos 2D) esperas encontrar en un cubo 4D?

(v) ¿Cuántos cubos 3D esperas encontrar en un cubo 4D?

Problema 226

(a) (i) Esbozar una unidad 2D-Cube de la siguiente manera. Comenzando con dos unidades LD-Cubos - uno directamente encima del otro. Luego une cada vértice en el LD-cubo superior al vértice al que corresponde en el LD-cubo inferior (directamente debajo de él).

(ii) Etiquete cada vértice de su boceto con las coordenadas (x, y) (x, y = 0 o 1) para que el cubo 2D inferior tenga la ecuación “y = 0” y el cubo 2D superior tenga la ecuación “y = 1”.

(b) (i) Esbozar una unidad 3D-cube, comenzando con dos unidades 2D-cubos - uno directamente encima del otro. Luego une cada vértice en el 2D-cube superior al vértice al que corresponde en el 2D-cube inferior (directamente debajo de él).

(ii) Etiquete cada vértice de su boceto con coordenadas (x, y, z) (donde cada x, y, z = 0 o 1) para que el cubo 2D inferior tenga la ecuación “z = 0” y el cubo 2D superior tenga la ecuación “z = 1”.

(c) (i) Ahora esboce una unidad 4D-cube de la misma manera, comenzando con dos unidades 3D-cubos, uno “directamente encima” del otro.

[Pista: En la parte (b) tu boceto era una proyección de un cubo 3D sobre papel 2D, y esto te obligó a representar los cubos 2D inferiores y superiores como rombos en lugar de cubos 2D genuinos (cuadrados unitarios). En la parte (c) te enfrentas a la tarea aún más difícil de representar un cubo 4D en papel 2D; por lo que debes estar preparado para otras “distorsiones”. En particular, es casi imposible ver qué está pasando si intentas posicionar físicamente un cubo 3D “directamente encima” del otro en papel 2D. Entonces comienza con la unidad “superior” 3D-cube hacia la parte superior derecha de tu papel, y luego coloca la unidad “inferior” 3D-cube no directamente debajo de ella en el papel, sino debajo y ligeramente hacia la izquierda, antes de emparejar y unir cada vértice del 3D-cube superior con el vértice correspondiente en el cubo 3D inferior.]

(ii) Etiquete cada vértice de su boceto con coordenadas (w, x, y, z) (donde cada w, x, y, z = 0 o 1) para que el cubo 3D inferior tenga la ecuación “z = 0” y el cubo 3D superior tenga la ecuación “z = 1”.

Problema 227 El único camino posible a lo largo de los bordes de un cubo 2D usa cada vértice una vez y vuelve al inicio después de visitar los cuatro vértices.

(a) (i) Dibuja una trayectoria a lo largo de los bordes de un cubo 3D que visite cada vértice exactamente una vez y vuelva al inicio.

(ii) Mira la secuencia de triples de coordenadas a medida que sigues tu camino. ¿Qué notas?

(b) i) Dibuje una trayectoria a lo largo de los bordes de un cubo 4D que visite cada vértice exactamente una vez y regrese al inicio.

(ii) Mira la secuencia de coordenada 4-tuplas a medida que sigues tu camino. ¿Qué notas?