3.3: Una mirada al poder
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Considerar el sistema de votación\([10: 11, 3, 2]\). Observe que en este sistema, el jugador 1 puede alcanzar cuota sin el apoyo de ningún otro jugador. Cuando esto sucede, decimos que el jugador 1 es un dictador.
Un jugador será dictador si su peso es igual o mayor que la cuota. El dictador también puede bloquear cualquier propuesta para que no pase; los demás jugadores no pueden llegar a cuota sin el dictador.
En el sistema de votación\([8: 6, 3, 2]\), ningún jugador es dictador. No obstante, en este sistema, la cuota sólo puede alcanzarse si el jugador 1 está en apoyo de la propuesta; los jugadores 2 y 3 no pueden alcanzar cuota sin el apoyo del jugador 1. En este caso, se dice que el jugador 1 tiene poder de veto. Observe que el jugador 1 no es un dictador, ya que el jugador 1 todavía necesitaría el apoyo del jugador 2 o 3 para alcanzar la cuota.
Un jugador tiene poder de veto si su apoyo es necesario para que se alcance la cuota. Es posible que más de un jugador tenga poder de veto, o que ningún jugador tenga poder de veto.
Con el sistema\([10: 7, 6, 2]\), se dice que el jugador 3 es un maniquí, lo que significa que no tiene influencia en el resultado. La única forma en que se puede cumplir la cuota es con el apoyo de ambos jugadores 1 y 2 (ambos tendrían poder de veto aquí); el voto del jugador 3 no puede afectar el resultado.
Un jugador es un maniquí si su voto nunca es esencial para que un grupo alcance la cuota.
En el sistema de votación\([16: 7, 6, 3, 3, 2]\), ¿hay jugadores dictadores? ¿Alguno tiene poder de veto? ¿Hay algún maniquí?
Solución
Ningún jugador puede alcanzar cuota solo, así que no hay dictadores.
Sin el jugador 1, el resto de pesos de los jugadores se suman a 14, lo que no alcanza cuota, por lo que el jugador 1 tiene poder de veto. De igual manera, sin jugador 2, el resto de pesos de los jugadores se suman a 15, lo que no alcanza cuota, por lo que el jugador 2 también tiene poder de veto.
Dado que los jugadores 1 y 2 pueden alcanzar cuota con el apoyo del jugador 3 o del jugador 4, ni el jugador 3 ni el jugador 4 tienen poder de veto. Sin embargo no pueden alcanzar cuota solo con el apoyo del jugador 5, por lo que el jugador 5 no tiene influencia en el resultado y es un maniquí.
En el sistema de votación\([q: 10, 5, 3]\), ¿qué jugadores son dictadores, tienen poder de veto, y son ficticios si la cuota es de 10? ¿12? 16?
- Contestar
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En el sistema de votación\([q: 10, 5, 3]\), si la cuota es 10, entonces el jugador 1 es un dictador ya que puede llegar a cuota sin el apoyo de los demás jugadores. Esto convierte a los otros dos jugadores automáticamente en maniquí.
Si el cupo es 12, entonces el jugador 1 es necesario para alcanzar cuota, así tiene poder de veto. Ya que en este punto ya sea el jugador 2 o el jugador 3 permitirían que el jugador 1 alcanzara cuota, ninguno de los jugadores es ficticio, por lo que son jugadores regulares (no dictadores, sin poder de veto, y no ficticio).
Si la cuota es de 16, entonces no hay dos jugadores solos que puedan llegar a cuota, por lo que los tres jugadores tienen poder de veto.
Para definir mejor el poder, necesitamos introducir la idea de una coalición. Una coalición es un grupo de jugadores que votan de la misma manera. En el ejemplo anterior,\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{4}\right\}\) representaría la coalición de jugadores 1, 2 y 4. Esta coalición tiene un peso combinado de\(7+6+3 = 16\), que cumple con cuota, por lo que esta sería una coalición ganadora.
Se dice que un jugador es crítico en una coalición si dejar la coalición la cambiaría de una coalición ganadora a una coalición perdedora. En la coalición\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{4}\right\}\), cada jugador es crítico. En la coalición\(\left\{P_{3}, P_{4}, P_{5}\right\}\), ningún jugador es crítico, ya que para empezar no fue una coalición ganadora. En la coalición\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\right\}\), sólo los jugadores 1 y 2 son críticos; cualquier otro jugador podría abandonar la coalición y aún así cumpliría cuota.
Una coalición es cualquier grupo de jugadores que voten de la misma manera.
Una coalición es una coalición ganadora si la coalición tiene el peso suficiente para cumplir con la cuota.
Un jugador es crítico en una coalición si salir de la coalición la cambiaría de una coalición ganadora a una coalición perdedora.
En el Parlamento escocés en 2009 había 5 partidos políticos: 47 representantes por el Partido Nacional Escocés, 46 por el Partido Laborista, 17 por el Partido Conservador, 16 por los Liberales Demócratas y 2 por el Partido Verde Escocés. Normalmente todos los representantes de un partido votan como bloque, por lo que el parlamento puede ser tratado como el sistema de votación ponderada:
\([65: 47, 46, 17, 16, 2]\)
Solución
Consideremos la coalición\(\left\{P_{1}, P_{3}, P_{4}\right\}\). No hay dos jugadores solos que pudieran cumplir con la cuota, por lo que los tres jugadores son críticos en esta coalición.
En la coalición\(\left\{P_{1}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\right\}\), cualquier jugador excepto\(P_1\) podría abandonar la coalición y seguiría cumpliendo cuota, por lo que sólo P 1 es crítico en esta coalición.
Observe que un jugador con poder de veto será crítico en cada coalición ganadora, ya que quitar su apoyo impediría que una propuesta pase.
De igual manera, un maniquí nunca será crítico, ya que su apoyo nunca cambiará una coalición perdedora por una ganadora.
Un jugador es un dictador si la coalición de un jugador que los contiene es una coalición ganadora.
Un jugador tiene poder de veto si es crítico en cada coalición ganadora.
Un jugador es un maniquí si no son críticos en ninguna coalición ganadora.