3.2: Comienzos
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Comenzaremos con un vocabulario básico para los sistemas de votación ponderados.
Cada individuo o entidad que emita un voto se llama jugador en la elección. A menudo se les señala como\(\bf{P_1, P_2, P_3, ... , P_N}\) dónde\(N\) está el número total de votantes.
A cada jugador se le da un peso, lo que suele representar cuántos votos obtiene.
El cupo es el peso mínimo necesario para los votos o peso necesario para que se apruebe la propuesta.
Un sistema de votación ponderado a menudo se representará en una forma taquigrafía:
\([q: w_1, w_2, w_3, ... , w_N]\)
En esta forma,\(q\) es la cuota,\(w_1\) es el peso para el jugador 1, y así sucesivamente.
En una pequeña empresa, hay 4 accionistas. El señor Smith tiene una participación del 30% en la compañía, el señor García tiene una participación del 25%, la señora Hughes tiene una participación del 25% y la señora Lee tiene una participación del 20%. Están tratando de decidir si abren una nueva ubicación. Los estatutos de la sociedad establecen que más del 50% de la propiedad tiene que aprobar cualquier decisión como esta. Esto podría estar representado por el sistema de votación ponderada:
\([51: 30, 25, 25, 20]\)
Solución
Aquí hemos tratado el porcentaje de propiedad como votos, por lo que el señor Smith obtiene el equivalente a 30 votos, teniendo una participación de propiedad del 30%. Dado que se requiere más del 50% para aprobar la decisión, el cupo es 51, el número entero más pequeño mayor de 50.
Para tener un sistema de votación ponderado significativo, es necesario poner algunos límites a la cuota.
El cupo debe ser superior\(\frac{1}{2}\) al número total de votos.
El cupo no puede ser mayor que el número total de votos.
¿Por qué? Considerar el sistema de votación\( [q; 3, 2, 1]\)
Aquí hay 6 votos totales. Si la cuota se fijara en solo 3, entonces el jugador 1 podría votar sí, los jugadores 2 y 3 podrían votar no, y ambos alcanzarían cuota, lo que no lleva a que se tome una decisión. Para que sólo una decisión alcance cupo a la vez, la cuota debe ser al menos la mitad del número total de votos. Si la cuota se fijara en 7, entonces ningún grupo de electores podría llegar a la cuota, y no se puede tomar ninguna decisión, por lo que no tiene sentido que la cuota sea mayor que el número total de votantes.
En una comisión hay cuatro representantes de la dirección y tres representantes del sindicato de trabajadores. Para que una propuesta sea aprobada, cuatro de los afiliados deben apoyarla, incluyendo al menos un miembro del sindicato. Encontrar un sistema de votación que pueda representar esta situación.
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Si representamos a los jugadores como\(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, U_{I}, U_{2}, U_{3}\) entonces podemos tener la tentación de establecer un sistema como\([4: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]\). Si bien este sistema cumpliría con el primer requisito de que cuatro miembros deben apoyar una propuesta para que ésta pase, esto no satisface el requisito de que al menos un miembro del sindicato deba apoyarla.