3.4: Cálculo de potencia- Índice de potencia de Banzhaf
- Page ID
- 110673
El índice de poder de Banzhaf fue creado originalmente en 1946 por Lionel Penrose, pero fue reintroducido por John Banzhaf en 1965. El índice de poder es una forma numérica de ver el poder en una situación de votación ponderada.
Para calcular el índice de potencia de Banzhaf:
- Listar todas las coaliciones ganadoras
- En cada coalición, identificar a los jugadores que son críticos
- Cuente cuántas veces cada jugador es crítico
- Convierte estos recuentos en fracciones o decimales dividiendo por el total de veces que cualquier jugador es crítico
Encuentra el índice de poder de Banzhaf para el sistema de votación\([8: 6, 3, 2]\).
Solución
Comenzamos enumerando todas las coaliciones ganadoras. Si no estás seguro de cómo hacer esto, puedes enumerar todas las coaliciones, luego eliminar las coaliciones no ganadoras. Ningún jugador es dictador, así que sólo consideraremos coaliciones de dos y tres jugadores.
\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\)Peso total: 9. Cumple con cuota.
\(\left\{P_{1}, P_{3}\right\}\)Peso total: 8. Cumple con cuota.
\(\left\{P_{2}, P_{3}\right\}\)Peso total: 5. No cumple cuota.
\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)Peso total: 11. Cumple con cuota.
A continuación determinamos qué jugadores son críticos en cada coalición ganadora. En las coaliciones ganadoras de dos jugadores, ambos jugadores son críticos ya que ningún jugador puede cumplir con cuota solo. Subrayando a los jugadores críticos para que sea más fácil contar:
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{3}\right\}\)
En la coalición de tres personas,\(P_2\) o bien\(P_3\) podría abandonar la coalición y los jugadores restantes aún podrían cumplir con cuota, por lo que ninguno es crítico. Si\(P_1\) se fueran, los jugadores restantes no podían llegar a cuota, por lo que\(P_1\) es crítico.
\(\left\{\underline{P}_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)
En conjunto,\(P_1\) es crítico 3 veces,\(P_2\) es crítico 1 vez, y\(P_3\) es crítico 1 vez.
Conversión a porcentaje:
\(P_{1}=3 / 5=60 \%\)
\(P_{2}=1 / 5=20 \%\)
\(P_{3}=1 / 5=20 \%\)
Considerar el sistema de votación\([16: 7, 6, 3, 3, 2]\). Encuentra el índice de potencia de Banzhaf.
Solución
A continuación se enumeran las coaliciones ganadoras, con los actores críticos subrayados.
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{3}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{4}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}, P_{4}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{3}, P_{5}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{4}, P_{5}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\right\}\)
Contando los tiempos que cada jugador es crítico:
\(P_{1}=6\)
\(P_{2}=6\)
\(P_{3}=2\)
\(P_{4}=2\)
\(P_{5}=0\)
Total de todos: 16
Divide el conteo de cada jugador entre 16 para convertirlo en fracciones o porcentajes:
\(P_{1}=6 / 16=3 / 8=37.5 \%\)
\(P_{2}=6 / 16=3 / 8=37.5 \%\)
\(P_{3}=2 / 16=1 / 8=12.5 \%\)
\(P_{4}=2 / 16=1 / 8=12.5 \%\)
\(P_{5}=0 / 16=0=0 \%\)
El índice de poder de Banzhaf mide la capacidad de un jugador para influir en el resultado de la votación. Observe que el jugador 5 tiene un índice de poder de 0, lo que indica que no hay coalición en la que sea poder crítico y pueda influir en el resultado. Esto significa que el jugador 5 es un maniquí, como señalamos anteriormente.
Revisando el Parlamento escocés, con sistema de votación\([65: 47, 46, 17, 16, 2]\), se listan las coaliciones ganadoras, con los actores críticos subrayados.
Solución
\ (\ begin {array} {ll}
\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado {P} _ {2}\ derecha\}\
\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado {P} _ {2}, P_ {3}\ derecha\} &\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado línea {P} _ {2}, P_ {4}\ derecha\}\\\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado {P} _ {2}, P_ {5}\ derecha\} &\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado {P} _ {3},\ subrayado {P} _ {4}\ derecha\}\\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1},\ subrayado {P} _ {3},\ subrayado {P} _ {5}\ derecha\} &\ izquierda\ {\ subrayado {P} _1,\ subrayado {P} _1,\ subrayado {P} _1,\ subrayado {P}} _ {4},\ subrayado {P} _ {5}\ derecha\}\\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {2},\ subrayado {P} _ {3},\ subrayado {P} _ {4}\ derecha\} &\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ _ {2},\ subrayado {P} _ _ {3},\ subrayado {P} _ {5}\ derecha\}\\ izquierda\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}\ derecha\} &\ izquierda\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {5}\ derecha\\\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1}, P_ {2}, P_ {4}, P_ {5}\ derecha\} &\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {1}, P_ {3}, P_ {4}, P_ {5}\ derecha\}\\ izquierda\ {\ subrayado {P} _ {2},\ subrayado {P} {3}, P_ {4}, P_ {5}\ derecha\} &\\\ izquierda\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}, P_ {5}\ derecha\} &\ final {matriz}\)
Contando los tiempos que cada jugador es crítico:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Distrito} &\ textbf {Tiempos críticos} &\ textbf {Índice de poder}\
\\ hline P_ {1}\ text {(Partido Nacional Escocés)} & 9/27=33.3\%\
\ hline P_ {2}\ text {(Partido Laborista)} & 7 & 7/27=25.9\%\\
\ hline P_ {3}\ text {(Partido Conservador)} & 5 & 5/27=18.5\%\
\ hline P_ {4}\ text {(Partido Liberal Demócrata)} & 3 & 3/27=11.1\%\
\ hline P_ {5}\ text {(Partido Verde Escocés)} & 3 & 3/27=11.1\%\
\ hline
\ end {array}\)
Curiosamente, a pesar de que el partido Liberal Demócrata tiene solo un representante menos que el Partido Conservador, y 14 más que el Partido Verde Escocés, su índice de poder Banzhaf es el mismo que el del Partido Verde Escocés En los gobiernos parlamentarios, formar coaliciones es una parte esencial para conseguir resultados, y la capacidad de un partido para ayudar a una coalición a alcanzar cuotas define su influencia.
Encuentre el índice de poder de Banzhaf para el sistema de votación ponderada\(\bf{[36: 20, 17, 16, 3]}\).
- Responder
-
El sistema de votación nos dice que el cupo es 36, que el Jugador 1 tiene 20 votos (o equivalentemente, tiene un peso de 20), el Jugador 2 tiene 17 votos, el Jugador 3 tiene 16 votos y el Jugador 4 tiene 3 votos.
Una coalición es cualquier grupo de uno o más jugadores. Lo que buscamos es ganar coaliciones -coaliciones cuyos votos combinados (pesos) se suman a la cuota o más. Entonces la coalición no\(\{\mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\}\) es una coalición ganadora porque el peso combinado es\(16+3=19\), que está por debajo de la cuota.
Entonces miramos cada combinación posible de jugadores e identificamos a los ganadores:
\(\begin{array} {ll} {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2\}(\text { weight }: 37)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 3\} \text { (weight: } 36)} \\ {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3\} \text { (weight: } 53)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 40)} \\ {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 39)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 56)} \\ {\{\mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\}(\text { weight: } 36)} \end{array}\)
Banzhaf utilizó este índice para argumentar que el sistema de votación ponderada utilizado en la Junta de Supervisores del Condado de Nassau en Nueva York era injusto. El condado se dividió en 6 distritos, cada uno obteniendo un peso de voto proporcional a la población del distrito, como se muestra a continuación. Calcular el índice de potencia para cada distrito.
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Distrito} &\ textbf {Peso}\\
\ hline\ texto {Hempstead #1} & 31\\
\ hline\ texto {Hempstead #2} & 31\\ hline
\ texto {Bahía de Oyster} & 28\
\ hline\ texto {North Hempstead} & amplificador; 21\\
\ hline\ texto {Long Beach} & 2\\
\ hline\ texto {Glen Cove} & 2\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Traducido a un sistema de votación ponderada, asumiendo que se necesita una mayoría simple para que una propuesta sea aprobada:
\([58: 31, 31, 28, 21, 2, 2]\)
Listado de las coaliciones ganadoras y marcar a los jugadores críticos:
\(\begin{array} {lll} {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}}\} \\{\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}}\} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB} . \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{GC}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} \\ {} & {} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}}\end{array}\)
¡Hay muchos de ellos! Contando cuántas veces cada jugador es crítico,
\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Distrito} &\ textbf {Tiempos críticos} &\ textbf {Índice de potencia}
\\\ hline\ text {Hempstead #1} & 16 & 16/48=1/3=33
\%\\ hline\ text {Hempstead #2} & 16/48=1/3=33\%
\ hline\ text {Oyster Bay} & 16/48=1/3=33\%
\\ hline\ text {North Hempstead} & 0 & 0/48=0
\%\\ hline\ text {Long Beach} & 0/48=0\%
\\ hline\ text {Glen Cove} & 0/48=0\%\
\ hline
\ end {array}\)
Resulta que los tres distritos más pequeños son maniquíes. Cualquier coalición ganadora requiere de dos de los distritos más grandes.
El sistema de votación ponderada con el que los estadounidenses están más familiarizados es el sistema de Colegio Electoral utilizado para elegir al Presidente. En el Colegio Electoral se otorga a los estados un número de votos igual al número de sus representantes en el Congreso (cámara + senado). La mayoría de los estados entregan todos sus votos electorales al candidato que gana la mayoría en su estado, convirtiendo al Colegio Electoral en un sistema de votación ponderada, en el que los estados son los jugadores. Como seguro se puede imaginar, hay miles de millones de posibles coaliciones ganadoras, por lo que el índice de poder para el Colegio Electoral tiene que ser calculado por una computadora utilizando técnicas de aproximación.