3.5: Poder de cálculo - Índice de potencia Shapley-Shubik

El índice de poder de Shapley-Shubik fue introducido en 1954 por los economistas Lloyd Shapley y Martin Shubik, y proporciona un enfoque diferente para calcular el poder.

En situaciones como las alianzas políticas, el orden en que los jugadores se unen a una alianza podría considerarse la consideración más importante. En particular, si se introduce una propuesta, el jugador que se une a la coalición y le permite alcanzar cuota podría considerarse el más esencial. El índice de poder de Shapley-Shubik cuenta la probabilidad de que un jugador sea fundamental. ¿Qué significa para un jugador ser fundamental?

Primero, necesitamos cambiar nuestro enfoque de las coaliciones. Anteriormente, la coalición\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\) ya se\(\left\{P_{2}, P_{1}\right\}\) consideraría equivalente, ya que contienen a los mismos jugadores. Ahora necesitamos considerar el orden en que los jugadores se unen a la coalición. Para ello, consideraremos coaliciones secuenciales —coaliciones que contienen a todos los jugadores en los que el orden en que se enumeran los jugadores reflejan el orden en que se unieron a la coalición. Por ejemplo, la coalición secuencial

\(<P_{2}, P_{1}, P_{3}>\)significaría que\(P_2\) se unió a la coalición primero, luego\(P_1\), y finalmente\(P_3\). Los corchetes angulares < > se utilizan en lugar de los corchetes para distinguir coaliciones secuenciales.

Jugador Pivotal

Una coalición secuencial enumera a los jugadores en el orden en que se unieron a la coalición.

Un jugador fundamental es el jugador en una coalición secuencial que cambia una coalición de una coalición perdedora a una ganadora. Observe que solo puede haber un jugador fundamental en cualquier coalición secuencial.

Ejemplo 8

En el sistema de votación ponderada\([8: 6, 4, 3, 2]\), ¿qué jugador es fundamental en la coalición secuencial\(<P_{3}, P_{2}, P_{4}, P_{1}>\)?

Solución

La coalición secuencial muestra el orden en que los jugadores se unieron a la coalición. Considere los totales corrientes a medida que cada jugador se une:

\(\begin{array}{lll}P_{3} & \text { Total weight: } 3 & \text { Not winning } \\ P_{3}, P_{2} & \text { Total weight: } 3+4=7 & \text { Not winning } \\ P_{3}, P_{2}, P_{4} & \text { Total weight: } 3+4+2=9 & \text { Winning } \\ R_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{1} & \text { Total weight: } 3+4+2+6=15 & \text { Winning }\end{array}\)

Dado que la coalición se vuelve ganadora cuando\(P_4\) se une,\(P_4\) es el jugador fundamental en esta coalición.

Cálculo del índice de potencia Shapley-Shubik

Para calcular el Índice de Potencia Shapley-Shubik:

1. Listar todas las coaliciones secuenciales
2. En cada coalición secuencial, determinar el jugador fundamental
3. Cuente cuántas veces cada jugador es fundamental
4. Convertir estos recuentos en fracciones o decimales dividiendo por el número total de coaliciones secuenciales

¿Cuántas coaliciones secuenciales debemos esperar tener? Si hay N jugadores en el sistema de votación, entonces hay\(N\) posibilidades para el primer jugador de la coalición,\(N – 1\) posibilidades para el segundo jugador en la coalición, y así sucesivamente. Combinando estas posibilidades, el número total de coaliciones sería:\(N(N-1)(N-2)(N-3) \cdots(3)(2)(1)\). Este cálculo se llama factorial, y se anota\(N!\) El número de coaliciones secuenciales con\(N\) jugadores es\(N!\)

Ejemplo 9

¿Cuántas coaliciones secuenciales habrá en un sistema de votación con 7 jugadores?

Solución

Habrá coaliciones\(7!\) secuenciales. \(7 !=7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5040\)

Como pueden ver, computar el índice de poder de Shapley-Shubik a mano sería muy difícil para sistemas de votación que no son muy pequeños.

Ejemplo 10

Considerar el sistema de votación ponderada\([6: 4, 3, 2]\). Listaremos todas las coaliciones secuenciales e identificaremos al jugador fundamental. ¡Tendremos 3! = 6 coaliciones secuenciales. Se listan las coaliciones y se subraya al jugador fundamental.

\ (\ comenzar {alineado}
&<P_ {1},\ underline {P} _ {2}, P_ {3} >\ cuádruple<P_ {1},\ underline {P} _ {3}, P_ {2} >\ cuádruple<P_ {2},\ underline {P} _ {1}, P_ {3} >\\
&<P_ {2}, P_ {3},\ underline {P} _ {1} >\ cuádruple<P_ {3}, P_ {2},\ underline {P} _ {1} >\ cuádruple<P_ {3},\ underline {P} _ {1}, P_ {2} >
\ fin {alineado}\)

Solución

\(\mathrm{P}_{1}\)es pivotal 4 veces,\(\mathrm{P}_{2}\) es pivotal 1 vez, y\(\mathrm{P}_{3}\) es pivotal 1 vez.

\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Jugador} &\ textbf {Veces pivotal} &\ textbf {índice de potencia}
\\\ hline P_ {1} & 4 & 4/6=66.7\%
\\ hline P_ {2} & 1 & 1/6=16.7\%\
\ hline P_ {3} & 1 & 1/6=16.7\%\\
\ hline
\ end {array}\)

A modo de comparación, sería el índice de poder de Banzhaf para el mismo sistema de votación ponderada\(\mathrm{P}_{1}: 60 \%, \mathrm{P}_{2}: 20 \%, \mathrm{P}_{3}: 20 \%\). Si bien el índice de potencia de Banzhaf y el índice de potencia de Shapley-Shubik no suelen ser terriblemente diferentes, los dos enfoques diferentes suelen producir resultados algo diferentes.

Pruébalo ahora 4

Encuentre el índice de poder Shapley-Shubik para el sistema de votación ponderada\(\bf{[36: 20, 17, 15]}\).

Responder

Listado de todas las coaliciones secuenciales e identificación del jugador fundamental:

\(\begin{array} {lll} {<P_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}>} & {<P_{1}, P_{3}, \underline{P}_{2}>} & {<P_{2}, \underline{P}_{1}, P_{3}>} \\ {<P_{2}, P_{3}, \underline{P}_{1}>} & {<P_{3}, P_{2}, \underline{P}_{1}>} & {<P_{3}, P_{1}, \underline{P}_{2}>} \end{array}\)

\(\mathrm{P}_{1}\)es fundamental 3 veces,\(\mathrm{P}_{2}\) es pivotal 3 veces y\(\mathrm{P}_{3}\) es pivotal 0 veces.

\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Jugador} &\ textbf {Veces pivotal} &\ textbf {índice de potencia}
\\\ hline P_ {1} & 3 & 3/6=50\%
\\ hline P_ {2} & 3 & 3/6=50\%\
\ hline P_ {3} & 0 & 0/6=0\% \
\ hline
\ end {array}\)