5.4: Separador solitario
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El método del divisor único funciona para cualquier número de partidos —usaremos N para el número de partidos. Un participante es designado aleatoriamente el divisor, y el resto de los participantes son designados como seleccionadores.
El método Lone Divider procede de la siguiente manera:
1) El divisor divide el artículo en\(N\) pedazos, los cuales etiquetaremos\(S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{N}\).
2) Cada uno de los seleccionadores enumerará por separado qué piezas consideran que son una parte justa. Esto se llama su declaración, o puja.
3) Se examinan las listas. Hay dos posibilidades:
a. si es posible darle a cada parte una pieza que declararon entonces háganlo, y el divisor obtiene la pieza restante.
b. Si dos o más partes quieren las mismas piezas y ninguna otra, entonces dale una pieza no impugnada al divisor. El resto de las piezas se combinan y se repite todo el procedimiento con las partes restantes. Si sólo quedan dos partidos, pueden usar divisor-selector.
Consideremos el ejemplo de antes, en el que las piezas fueron valoradas como:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3}\\
\ hline\ textbf {Seleador 1} & 40\% & 30\% & 30\% & 30
\%\ hline\ textbf {Seleador 2} & 45\% y 30\% & 25\%\
\ hline\ textbf {Divisor} & 33.3\% & 33.3\% & 33.3\%\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Cada seleccionador hace una declaración de qué piezas valoran como parte justa. En este caso,
Selector 1 haría la declaración: Pieza 1
Selector 2 haría la declaración: Pieza 1
Dado que ambos seleccionadores quieren la misma pieza, no podemos asignar inmediatamente las piezas. El método del divisor solitario especifica que le damos una pieza no impugnada al divisor. Ambas piezas 2 y 3 son indisputadas, así que volteamos una moneda y damos Pieza 2 al divisor. Luego se recombinan las piezas 1 y 3 para hacer una pieza que valga el 70% para el Selector 1 y 70% para el Selector 2. Dado que solo quedan dos jugadores, pueden dividir las piezas recombinadas usando divisor-selector. A cada uno se le garantiza una pieza que valoran como mínimo 35%, lo que es una parte justa.
Utilice el método Lone Divider para completar la división justa dados los valores a continuación.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3}\\
\ hline\ textbf {Seleador 1} & 40\% & 30\% & 30\% & 30
\%\ hline\ textbf {Seleador 2} & 40\% y 35\% & 25\%\
\ hline\ textbf {Divisor} & 33.3\% & 33.3\% & 33.3\%\
\ hline
\ end {array}\)
- Responder
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Selector 1 haría la declaración: Pieza 1
Selector 2 haría la declaración: Pieza 1, Pieza 2
Podemos asignar inmediatamente las piezas, dando la Pieza 2 al Seleador 2, la Pieza 1 al Seleador 1 y la Pieza 3 al Separador. Todos los jugadores reciben una pieza que valoran como parte justa.
Supongamos que Abby, Brian, Chris y Dorian están dividiendo una parcela de tierra. Dorian fue seleccionado para ser el divisor a través de un sorteo de monedas. A continuación se muestra la valoración de cada pieza por cada persona.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3} &\ textbf {Pieza 4}\
\\ hline\ textbf {Abby} & 15\% & 30\% & 20\% & 35\%
\\ hline\ tbf {Brian} & 30\% & 35\% & amp; 10\% & 25\%\\ hline
\ textbf {Chris} & 20\% & 45\% & 20\% & 15\%\\ hline
\ textbf {Dorian} & 25\% & 25\% & 25\% & 25\% & 25\% & 25\%
\\ hline
\ end {array}\)
Solución
En base a ello, sus declaraciones deberán ser:
Abby: Pieza 2, Pieza 4
Brian: Pieza 1, Pieza 2, Pieza 4
Chris: Pieza 2
Este caso puede resolverse simplemente, otorgando Pieza 2 a Chris, Pieza 4 a Abby, Pieza 1 a Brian y Pieza 3 a Dorian. Cada persona recibe una pieza que valora como al menos una parte justa (valor del 25%).
Supongamos que las valoraciones en el problema anterior fueron:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3} &\ textbf {Pieza 4}\
\\ hline\ textbf {Abby} & 15\% & 30\% & 20\% & 35\%
\\ hline\ tbf {Brian} & 20\% & 35\% & amp; 10\% & 35\%\\ hline
\ textbf {Chris} & 20\% & 45\% & 20\% & 15\%\\ hline
\ textbf {Dorian} & 25\% & 25\% & 25\% & 25\% & 25\% & 25\%
\\ hline
\ end {array}\)
Solución
Las declaraciones serían:
Abby: Pieza 2, Pieza 4
Brian: Pieza 2, Pieza 4
Chris: Pieza 2
Observe en este caso que no hay liquidación simple. Entonces, la pieza que nadie más declaró, Pieza 3, se otorga al divisor original Dorian, y se repite el procedimiento con los tres jugadores restantes.
Supongamos que en la segunda vuelta de este método Brian es seleccionado para ser el divisor, se cortan tres nuevas piezas, y las valoraciones son las siguientes:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3}\\
\ hline\ textbf {Abby} & 40\% & 30\% & 30\% & 30
\%\ hline\ textbf {Brian} & 33.3% & 33.3%\ & 33.3\%\
\ hline \ textbf {Chris} & 50\% & 20\% & 30\%\
\ hline
\ end {array}\)
Las declaraciones aquí serían:
Abby: Pieza 1
Chris: Pieza 1
Una vez más tenemos un punto de encuentro. Brian puede ser premiado ya sea de Pieza 2 o Pieza 3, y las piezas restantes se pueden recombinar. Dado que solo quedan dos jugadores, pueden dividir la tierra restante utilizando el método básico de selección de divisores.
Cuatro inversionistas están dividiendo un terreno valorado en $320,000. Uno fue elegido como divisor, y sus valores de la división (en miles) se muestran a continuación. ¿Quién era el divisor? Describir el resultado de la división.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Pieza 1} &\ textbf {Pieza 2} &\ textbf {Pieza 3} &\ textbf {Pieza 4}\\
\ hline\ textbf {Sonya} &\ $90 &\ $70 &\ $80 &\ $80\
\ hline\ textbf {Cesar} &\ $80 &\ $80 & amp;\ $80 &\ $80\
\ hline\ textbf {Adrianna} &\ $60 &\ $70 &\ $100 &\ $90\
\ hline\ textbf {Raquel} &\ $70 &\ $50 &\ $90 &\ $110\
\ hline
\ end {array}\)
- Responder
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Una participación justa sería de 80 mil dólares. César era el divisor.
Sus declaraciones serían:
Sonya: Pierce 1, Pieza 3, Pieza 4.
Adrianna: Pieza 3, Pieza 4.
Raquel: Pieza 3, Pieza 4.