5.7: Método de ofertas selladas
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El método de ofertas selladas proporciona un método para la división justa discreta, permitiendo la división de artículos que no se pueden dividir en piezas más pequeñas, como una casa o un automóvil. Debido a esto, el método requiere que todas las partes tengan una gran cantidad de efectivo a su disposición para equilibrar la diferencia en los valores de las partidas.
El método comienza compilando una lista de ítems a dividir. Entonces:
1) Cada parte involucrada enumera, en secreto, una cantidad en dólares que valoran cada artículo para que valga. Esta es su oferta sellada.
2) Se recogen las pujas. Para cada parte, se suma el valor de todos los rubros, y se divide por el número de partes. Esto define su parte justa.
3) Cada artículo se otorga al mejor postor.
4) Para cada parte, se suma el valor de todos los artículos recibidos. Si el valor es mayor que la parte justa de esa parte, pagan la diferencia en una pila de retención. Si el valor es menor que la parte justa de esa parte, reciben la diferencia de la pila de retención. Esto pone fin a la asignación inicial.
5) En la mayoría de los casos, habrá un excedente, o dinero sobrante, en la pila de retención. El excedente se divide equitativamente entre todos los jugadores. Esto produce la asignación final.
Si bien los supuestos que hicimos para los métodos de división justa especificaban que un árbitro no debería ser necesario, es común que un tercero independiente recoja las ofertas y anuncie el resultado. Si bien no es técnicamente necesario, ya que el método se puede ejecutar sin que intervenga un tercero, esto protege el secreto de las ofertas, lo que en ocasiones puede ayudar a evitar resentimientos o malos sentimientos entre los jugadores.
Sam y Omar han conviviendo desde hace 3 años, tiempo durante el cual compartieron el gasto de comprar varios artículos para su hogar. Sam ha aceptado un trabajo en otra ciudad, y ahora se encuentran necesitando dividir sus activos compartidos.
Cada uno registra su valor de cada ítem, como se muestra a continuación.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Sam} &\ textbf {Omar}\
\ hline\ textbf {sofá} &\ $150 &\ $100\
\ hline\ textbf {TV} &\ $200 &\ $250\
\ hline\ textbf {sistema de videojuegos} &\ $250 &\ $150\\
\ hline\ textbf {sistema de sonido envolvente} &\ $50 &\ $100\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
La valoración total de Sam de los artículos es\(\$150+\$200+\$250+\$50 = \$650\), haciendo una parte justa para Sam\(\$650/2 = \$325\).
La valoración total de Omar de los artículos es\(\$100+\$250+\$150+\$100 = \$600\), haciendo una parte justa para Omar\(\$600/2 = \$300\).
Ahora cada artículo se otorga al mejor postor. Sam recibirá el sofá y el sistema\(\$150+\$250 = \$400\) de videojuegos, aportando valor a Sam. Dado que esto supera su parte justa, tiene que pagar la diferencia, 75 dólares, en una pila de retención.
Omar recibirá el sistema de TV y sonido envolvente, aportando\(\$250+\$100=\$350\) en valor. Esto es más que su parte justa, por lo que tiene que pagar la diferencia, 50 dólares, en la pila de retención.
Así, en la asignación inicial, Sam recibe el sofá y el sistema de videojuegos y paga 75 dólares en la pila de retención. Omar recibe el sistema de TV y sonido envolvente y paga $50 en la pila de retención. En este punto, ambos jugadores sentirían que han recibido una parte justa.
Ahora quedan 125 dólares en la pila de retención. Este es el excedente de la división. Esto ahora se divide en partes iguales, y tanto a Sam como a Omar se les devuelve 62.50 dólares. Desde que Sam había pagado en 75 dólares, el efecto neto es que pagó 12.50 dólares. Dado que Omar había pagado originalmente en 50 dólares, el efecto neto es que recibe 12.50 dólares.
Así, en la asignación final, Sam recibe el sofá y el sistema de videojuegos y paga 12.50 dólares a Omar. Omar recibe el sistema de TV y sonido envolvente y recibe 12.50 dólares. En este punto, ambos jugadores sienten que han recibido más que una parte justa.
Cuatro pequeñas empresas de diseño gráfico están fusionando operaciones para convertirse en una corporación más grande. En esta fusión, hay una serie de cuestiones que deben resolverse. A cada empresa se le pide que ponga un valor monetario (en miles de dólares) en cada emisión:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Super diseños} &\ textbf {designByMe} &\ textbf {layoutPros} &\ textbf {Graphix}\\
\ hline\ textbf {Nombre de la empresa} &\ $5 &\ $3 &\ $3 &\ $6\\ hline
\ textbf {Ubicación de la empresa} &\ $8 &\ $9 &\ $7 &\ $6\
\ hline\ textbf {CEO} &\ $10 &\ $5 &\ $6 &\ $7\
\ hline\ textbf {Presidente de la junta} &\ $7 &\ $6 &\ $6 &\ $8\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Luego podemos calcular para cada empresa:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {súper diseños} &\ textbf {designByMe} &\ textbf {layoutPros} &\ textbf {Graphix}\
\ hline\ begin {array} {l}
\ text {valor total de todos}\\
\ text {issues}
\ end {array} &\ $30 &\ $23 &\ $22 &\ $27\\ hline
\ text {participación justa} &\ $7.50 &\ $5.75 &\ $5.50 &\ $5.50 &\ $6.75\
\ hline
\ end {array}\)
Los artículos serían entonces asignados a la empresa que más puja por cada uno.
Nombre de la empresa sería otorgado a Graphix
Ubicación de la empresa sería otorgada a DesignByMe
CEO sería premiado a Super Designs
Presidente de la junta sería otorgado a Graphix
Para cada empresa, calculamos el valor total de los artículos que reciben, y cuánto obtienen o pagan en la asignación inicial
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Super Designs} &\ textbf {designByMe} &\ textbf {layoutPros} &\ textbf {Graphix}\\
\ hline\ text {Valor total de las emisiones otorgadas} &\ $10 &\ $9 &\ $0 &\ $14\
\ hline\ texto { Cantidad que} &\ $ 7.50-\ $10 &\ $ 5.75-\ $9 &\ $ 5.50-\ $0 &\ $ 6.75-\ $14\
\ text {pagar/obtener} &\ text {Pagar}\ $2.50 &\ text {Pagar}\ $3.25 &\ text {Obtener}\ $5.50 &\ text {Pagar}\ $7.25\
\ hline
\ fin {matriz}\)
Después de la asignación inicial, hay un total de\($2.50+\$3.25-\$5.50+\$7.25 = \$7.50\) superávit. Dividiendo eso de manera uniforme, cada empresa obtiene $1.875 (aproximadamente)
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Super Diseños} &\ textbf {DesignByMe} &\ textbf {LayoutPros} &\ textbf {Graphix}\\
\ hline\ text {Cantidad} &\ text {Pagar\ $2.50} &\ text {Pagar\ $3.25} &\ text {Obtener\ $5.50} &\ text {Pagar\ $7.25}\\
\ texto {pagar/obtener} &\ texto {Obtener\ $1.875} &\ texto {Obtener\ $1.875} &\ text {Obtener\ $1.875} &\ text {Obtener\ $1.875}\\ hline
\ texto {Después de excedentes} &\ text {Pagar\ $0.625} &\ text {Pagar\ $1.375} &\ text {Obtener\ $7.375} &\ texto {Pagar\ $5.375 }\\
\ hline
\ end {array}\)
Entonces, en la asignación final,
Super Designs gana el CEO, y paga $625 ($0.625 mil)
DesignByMe gana la ubicación de la compañía y paga $1,375 ($1.375 mil)
LayoutPros no gana ningún problema, pero recibe $7,375 en compensación
Graphix gana el nombre de la compañía y el presidente de la junta, y paga $5,375.
Jamal, Maggie y Kendra están dividiendo una finca que consiste en una casa, una casa de vacaciones y una pequeña empresa. Sus valoraciones (en miles) se muestran a continuación. Determinar la asignación final.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Jamal} &\ textbf {Maggie} &\ textbf {Kendra}\\
\ hline\ textbf {Casa} &\ $250 &\ $300 &\ $280\
\ hline\ textbf {Casa de vacaciones} &\ $170 &\ $180 &\ $200\\
\ hline\ textbf {Pequeña empresa} &\ $300 &\ $255 &\ $270\
\ hline
\ end {array}\)
- Contestar
-
El valor total de Jamal es\(\$250 + \$170 + \$300 = \$720\). Su parte justa es de 240 mil dólares.
El valor total de Maggie es\(\$300 + \$180 + \$255 = \$735\). Su parte justa es de 245 mil dólares.
El valor total de Kendra es\(\$280 + \$200 + \$270 = \$750\). Su parte justa es de 250 mil dólares.
En la asignación inicial,
Jamal recibe el negocio, y paga\(\$300 - \$240 = \$60\) mil en la celebración.
Maggie recibe la casa, y paga\(\$300 - \$245 = \$55\) mil en la tenencia.
Kendra recibe la casa de vacaciones, y obtiene\(\$250 - \$200 = \$50\) mil de la celebración.
Hay un excedente de\(\$60 + \$55 - \$50 = \$65\) mil en la tenencia, por lo que cada persona recibirá\(\$21,667\) del excedente. En la asignación final,
Jamal recibe el negocio, y paga\(\$38,333\).
Maggie recibe la casa, y paga\(\$33,333\).
Kendra recibe la casa de vacaciones, y obtiene\(\$71,667\).
La división justa no siempre tiene que ser utilizada para artículos de valor. También se puede utilizar para dividir artículos indeseables. Supongamos que Chelsea y Mariah comparten un departamento, y necesitan dividir las tareas del hogar. Enumeran las tareas, asignando un valor negativo en dólares a cada ítem; es decir, la cantidad que pagarían por otra persona para hacer la tarea (una cantidad por semana). Asumiremos, sin embargo, que están comprometidos a hacer todas las tareas ellos mismos y no contratar a una sirvienta.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Chelsea} &\ textbf {Mariah}\
\\ hline\ textbf {Aspirar} & -\ $10 & -\ $8\
\ hline\ textbf {Limpieza del baño} & -\ $14 & -\ $20\
\ hline\ textbf {Haciendo platos} & -\ $4 & amp; -\ $6\\
\ hline\ textbf {Dusting} & -\ $6 & -\ $4\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Luego podemos calcular la participación justa:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Chelsea} &\ textbf {Mariah}\
\\ hline\ text {Valor total} & -\ $34 & -\ $38\
\ hline\ text {Participación justa} & -\ $17 & -\ $19\
\ hline
\ end {array}\)
Otorgamos a la persona con la mayor oferta. Por ejemplo, le otorgamos aspirar a Mariah ya que a ella no le gusta menos (recuerde -8 > -10).
Chelsea se pone limpiando el baño y lavando los platos. Valor: -$18
Mariah se pone aspirando y desempolvando. Valor: -$12
Observe que la parte justa de Chelsea es de -17 dólares pero está haciendo tareas que valora en -18 dólares. Debería recibir $1 para traerla a una parte justa. Mariah está haciendo tareas valoradas en -12 dólares, pero su parte justa es de -19 dólares. Ella necesita pagar $7 para traerla a una parte justa.
Esto crea un superávit de 6 dólares, que se dividirá entre los dos. En la asignación final:
Chelsea se pone limpiando el baño y lavando los platos, y recibe\(\$1 + \$3 = \$4\) /semana.
Mariah se pone aspirando y desempolvando, y paga\(\$7 - \$3 = \$4\) /semana.