9.7: Saldo restante del préstamo

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Con los préstamos, a menudo es deseable determinar cuál será el saldo restante del préstamo después de algún número de años. Por ejemplo, si compras una vivienda y planeas venderla en cinco años, tal vez quieras saber cuánto del saldo del préstamo habrás pagado y cuánto tienes que pagar de la venta.

Para determinar el saldo restante del préstamo después de algún número de años, primero necesitamos conocer los pagos del préstamo, si aún no los conocemos. Recuerda que solo una parte de los pagos de tu préstamo va hacia el saldo del préstamo; una parte va a ir hacia intereses. Por ejemplo, si tus pagos fueron de $1,000 mensuales, después de un año no habrás pagado $12,000 del saldo del préstamo.

Para determinar el saldo restante del préstamo, podemos pensar “¿cuánto préstamo podrán pagar estos pagos de préstamo en el tiempo restante del préstamo?”

Ejemplo 13

Si una hipoteca a una tasa de interés del 6% tiene pagos de $1,000 mensuales, ¿cuánto será el saldo del préstamo a 10 años del final del préstamo?

Solución

Para determinar esto, estamos buscando el monto del préstamo que se pueda liquidar por $1,000 mensuales pagos en 10 años. En otras palabras, estamos buscando$P_0$ cuándo

$\begin{array}{ll} d = \$1,000 & \text{the monthly loan payment} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly payments, we’ll compound monthly} \\ N = 10 & \text{since we’re making monthly payments for 10 more years} \end{array} $

\ [\ begin {align*} P_ {0} & =\ dfrac {1000\ izquierda (1-\ izquierda (1+\ dfrac {0.06} {12}\ derecha) ^ {-10 (12)}\ derecha)} {\ izquierda (\ dfrac {0.06} {12}\ derecha)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {1000\ izquierda (1- (1.005) ^ {-120}\ derecha)} {(0.005)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {1000\ izquierda (1- (1.005) ^ {-120}\ derecha)} {(0.005)}
\\ [4pt] & amp; =\ dfrac {1000 (1-0.5496)} {(0.005)}
\\[4pt] &=\$ 90,073.45 \end{align*} \nonumber \]

El saldo del préstamo con 10 años restantes en el préstamo será$\$ 90,073.45$

Muchas veces responder preguntas de saldo restante requiere dos pasos:

Cálculo de los pagos mensuales del préstamo
Calcular el saldo restante del préstamo basado en el tiempo restante del préstamo

Ejemplo 14

Una pareja compra una vivienda con$\$ 180,000$ hipoteca$4 \%$ por 30 años con pagos mensuales. ¿Cuál será el saldo restante de su hipoteca después de 5 años?

Solución

Primero calcularemos sus pagos mensuales.

Estamos buscando$d$.

$\begin{array}{ll} r = 0.04 & 4\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since they’re paying monthly} \\ N = 30 & \text{30 years} \\ P_0 = \$180,000 & \text{the starting loan amount} \end{array} $

Establecimos la ecuación y resolvemos para$d$.

\ [\ begin {align*} 180.000 &=\ dfrac {d\ izquierda (1-\ izquierda (1+\ dfrac {0.04} {12}\ derecha) ^ {-30 (12)}\ derecha)} {\ izquierda (\ dfrac {0.04} {12}\ derecha)}
\\ [4pt] 180.000 &=\ dfrac {d\ izquierda (1- (1.00333) ^ {-360}\ derecha)} {(0.00333)}
\\ [4pt] 180.000 &=d (209.562)
\\ [4pt] d &=\ dfrac {180,000} { 209.562}
\\[4pt] &=\$ 858.93 \end{align*} \nonumber \]

Ahora que conocemos los pagos mensuales, podemos determinar el saldo restante. Queremos el saldo restante después de 5 años, cuando quedarán 25 años en el préstamo, así calculamos el saldo del préstamo que se pagará con los pagos mensuales a lo largo de esos 25 años.

$\begin{array}{ll} d = \$858.93 & \text{the monthly loan payment we calculated above} \\ r = 0.04 & 4\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since they’re paying monthly} \\ N = 25 & \text{since they’d be making monthly payments for 25 more years} \end{array} $

\ [\ begin {align*} P_ {0} &=\ dfrac {858.93\ izquierda (1-\ izquierda (1+\ dfrac {0.04} {12}\ derecha) ^ {-25 (12)}\ derecha)} {\ izquierda (\ dfrac {0.04} {12}\ derecha)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {858.93\ izquierda (1- (1.00333) ^ {-300}\ derecha)} {(0.00333)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {858.93 (1-0.369)} {(0.00333)}
\\[4pt] & \approx \$ 162,758 \end{align*} \nonumber \]

El saldo del préstamo después de 5 años, con 25 años restantes en el préstamo, será$\$ 162,758$

A lo largo de esos 5 años, la pareja ha pagado el saldo$\$ 180,000-\$ 162,758=\$ 17,242$ del préstamo. Han pagado un total de$\$ 858.93$ un mes por 5 años (60 meses), por un total de$\$ 51,535.80$, así que$\$ 51,535.80-\$ 17,242=\$ 34,292.80$ de lo que han pagado hasta el momento han sido intereses.