9.6: Préstamos

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En la última sección, aprendiste sobre las anualidades de pago.

En esta sección, aprenderás sobre los préstamos convencionales (también llamados préstamos amortizados o préstamos a plazos). Los ejemplos incluyen préstamos para automóviles e hipotecas para viviendas. Estas técnicas no se aplican a préstamos de día de pago, préstamos complementarios u otros tipos de préstamos donde el interés se calcula por adelantado.

Una gran cosa de los préstamos es que utilizan exactamente la misma fórmula que una anualidad de pago. Para ver por qué, imagina que tenías 10 mil dólares invertidos en un banco, y empezaste a sacar pagos mientras ganabas intereses como parte de una anualidad de pago, y después de 5 años tu saldo era cero. Dale la vuelta a eso, e imagina que estás actuando como banco, y un prestamista de autos está actuando como tú. El prestamista de autos invierte $10,000 en ti. Ya que estás actuando como banco, pagas intereses. El prestamista de autos acepta pagos hasta que el saldo sea cero.

Fórmula de Préstamos

$P_{0}=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-N k}\right)}{\left(\frac{r}{k}\right)}$

$P_0$es el saldo en la cuenta al inicio (el principal, o monto del préstamo).

$d$es el pago de tu préstamo (tu pago mensual, pago anual, etc)

$r$es la tasa de interés anual en forma decimal.

$k$es el número de períodos compuestos en un año.

$N$es la duración del préstamo, en años

Al igual que antes, la frecuencia de composición no siempre se da explícitamente, sino que está determinada por la frecuencia con la que realiza los pagos.

¿Cuándo usas esto?

La fórmula del préstamo asume que usted realiza los pagos del préstamo en un horario regular (cada mes, año, trimestre, etc.) y están pagando intereses sobre el préstamo.

Interés compuesto: Un depósito

Anualidad: Muchos depósitos.

Anualidad de pago: Muchos retiros

Préstamos: Muchos pagos

Ejemplo 11

Puedes pagar $200 mensuales como pago de auto. Si puedes obtener un préstamo para auto al 3% de interés por 60 meses (5 años), ¿qué tan caro puedes pagar un auto? Es decir, ¿qué cantidad de préstamo puedes pagar con $200 mensuales?

Solución

En este ejemplo,

$\begin{array}{ll} d = \$200 & \text{the monthly loan payment} \\ r = 0.03 & 3\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly payments, we’ll compound monthly} \\ N = 5 & \text{since we’re making monthly payments for 5 years} \end{array}$

Estamos buscando$P_0$, el monto inicial del préstamo.

$P_{0}=\frac{200\left(1-\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{-5(12)}\right)}{\left(\frac{0.03}{12}\right)}$

$P_{0}=\frac{200\left(1-(1.0025)^{-60}\right)}{(0.0025)}$

$P_{0}=\frac{200(1-0.861)}{(0.0025)}=\$ 11,120$

Puedes pagar un$\$11,120$ préstamo.

Pagarás un total de $12,000 ($200 mensuales por 60 meses) a la compañía de préstamos. La diferencia entre el monto que pagas y el monto del préstamo son los intereses pagados. En este caso, estás pagando$\$ 12,000-\$ 11,120=\$ 880$ intereses totales.

Ejemplo 12

Quieres sacar una hipoteca de $140,000 (préstamo hipotecario). La tasa de interés del préstamo es del 6%, y el préstamo es por 30 años. ¿Cuánto serán tus pagos mensuales?

Solución

En este ejemplo,

Estamos buscando$d$.

$\begin{array}{ll} r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly payments, we’ll compound monthly} \\ N = 30 & \text{since we’re making monthly payments for 30 years} \\ P_0 = \$140,000 & \text{the starting loan amount} \end{array}$

En este caso, vamos a tener que configurar la ecuación, y resolver para$d$.

$140,000=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{-30(12)}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}$

$140,000=\frac{d\left(1-(1.005)^{-360}\right)}{(0.005)}$

$140,000=d(166.792)$

$d=\frac{140,000}{166.792}=\$ 839.37$

Realizarás pagos de $839.37 mensuales por 30 años.

Estás pagando un total de$\$ 302,173.20$ a la compañía de préstamos:$\$ 839.37$ por mes por 360 meses. Usted está pagando un total de
$\$ 302,173.20 - \$ 140,000=\$ 162,173.20$ intereses a lo largo de la vida del préstamo.

Pruébalo ahora 4

Janine compró $3,000 de muebles nuevos a crédito. Debido a que su puntaje crediticio no es muy bueno, la tienda le está cobrando una tasa de interés bastante alta en el préstamo: 16%. Si accedió a pagar los muebles a lo largo de 2 años, ¿cuánto tendrá que pagar cada mes?

Contestar

$\begin{array}{ll} d = \text{ unknown} & \\ r = 0.16 & 16\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly payments, we’ll compound monthly} \\ N = 2 & \text{2 year to repay} \\ P_0 = 3,000 & \text{the starting loan amount \$3,000 loan} \end{array}$

$3,000=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{0.16}{12}\right)^{-2 \times 12}\right)}{\frac{0.16}{12}}$

Resolviendo$d$ para$\$ 146.89$ las entregas como pagos mensuales.

En total, pagará$\$ 3,525.36$ a la tienda, es decir, pagará$\$ 525.36$ en intereses a lo largo de los dos años.