11.5: Medidas de Tendencia Central
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Comencemos tratando de encontrar el valor más “típico” de un conjunto de datos.
Tenga en cuenta que acabamos de usar la palabra “típico” aunque en muchos casos se podría pensar en usar la palabra “promedio”. Debemos tener cuidado con la palabra “promedio” ya que significa cosas diferentes para diferentes personas en diferentes contextos. Uno de los usos más comunes de la palabra “promedio” es lo que matemáticos y estadísticos llaman la media aritmética, o simplemente la vieja media simple para abreviar. “Media aritmética” suena bastante elegante, pero es probable que hayas calculado una media muchas veces sin darte cuenta; la media es lo que la mayoría de la gente piensa cuando usa la palabra “promedio”.
La media de un conjunto de datos es la suma de los valores de datos dividida por el número de valores.
Los puntajes de los exámenes de Marci para su última clase de matemáticas fueron: 79, 86, 82, 94. La media de estos valores sería:
Solución
\[\frac{79+86+82+94}{4}=85.25. \nonumber \]
Normalmente redondeamos las medias a un decimal más de lo que tenían los datos originales. En este caso, redondearíamos 85.25 a 85.3.
A continuación se muestra el número de pases de touchdown (TD) lanzados por cada uno de los 31 equipos de la Liga Nacional de Futbol en la temporada 2000.
37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6
Solución
Sumando estos valores, obtenemos 634 TDs totales. Dividiendo por 31, el número de valores de datos, obtenemos\(\frac{634}{31} = 20.4516\). Sería apropiado redondear esto a 20.5.
Sería más correcto para nosotros informar que “El número medio de pases de touchdown lanzados en la NFL en la temporada 2000 fue de 20.5 pases”, pero no es raro ver la palabra más casual “promedio” utilizada en lugar de “media”.
El precio de un frasco de mantequilla de maní en 5 tiendas fue de: $3.29, $3.59, $3.79, $3.75, y $3.99. Encuentra el precio medio.
- Contestar
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Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
A las cien familias de un barrio en particular se les pide su ingreso anual familiar, a los 5 mil dólares más cercanos. Los resultados se resumen en una tabla de frecuencias a continuación.
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Ingresos (miles de dólares)} &\ textbf {Frecuencia}\\
\ hline 15 & 6\\
\ hline 20 & 8\\
\ hline 25 & 11\\
\ hline 30 & 17\\
\ hline 35 & 19\\
\ hline 40 & 20\\
\ hline 45 & 12\\
\ hline 50 & 7\\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Calcular la media a mano podría resultar complicado si intentamos escribir los 100 valores:
\[\frac{15 + \cdots + 15 + 20 + \cdots+20 + 25 + \cdots + 25 + \cdots}{100} \nonumber \]
Podríamos calcular esto más fácilmente al notar que sumarse 15 a sí mismo seis veces es lo mismo que\(15 \cdot 6=90\). Usando esta simplificación, obtenemos
\[\frac{15 \cdot 6+20 \cdot 8+25 \cdot 11+30 \cdot 17+35 \cdot 19+40 \cdot 20+45 \cdot 12+50 \cdot 7}{100}=\frac{3390}{100}=33.9 \nonumber \]
El ingreso familiar promedio de nuestra muestra es de 33.9 mil dólares ($33,900).
Ampliando el último ejemplo, supongamos que una nueva familia se muda al ejemplo de barrio que tiene un ingreso familiar de 5 millones de dólares (5000 mil dólares). Añadiendo esto a nuestra muestra, nuestra media es ahora:
Solución
\[\frac{15 \cdot 6+20 \cdot 8+25 \cdot 11+30 \cdot 17+35 \cdot 19+40 \cdot 20+45 \cdot 12+50 \cdot 7+5000 \cdot 1}{101}=\frac{8390}{101}=83.069 \nonumber \]
Si bien 83.1 mil dólares ($83,069) es el ingreso familiar medio correcto, ya no representa un valor “típico”.
Imagine los valores de los datos en una sierra o balanza. La media es el valor que mantiene los datos en equilibrio, como en la imagen de abajo.
Si graficamos los datos de nuestros hogares, el valor de los datos de $5 millones está tan lejos a la derecha que la media tiene que ajustarse para mantener las cosas en equilibrio
Por esta razón, cuando se trabaja con datos que tienen valores atípicos —valores muy fuera de la agrupación primaria— es común utilizar una medida diferente de centro, la mediana.
Para encontrar la mediana, comience por enumerar los datos en orden de menor a mayor, o mayor a menor.
Si el número de valores de datos,\(N\), es impar, entonces la mediana es el valor de datos del medio. Este valor se puede encontrar redondeando\(\frac{N}{2}\) hasta el siguiente número entero.
Si el número de valores de datos es par, no hay un valor medio, por lo que encontramos la media de los dos valores medios (valores\(\frac{N}{2}\) y\(\frac{N}{2} + 1\))
Volviendo a los datos del touchdown futbolístico, empezaríamos por enumerar los datos en orden. Por suerte, ya estaba en orden decreciente, así que podemos trabajar con él sin necesidad de reordenarlo primero.
37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6
Solución
Dado que hay 31 valores de datos, un número impar, la mediana será el número medio, el valor de datos 16º (\ frac {31} {2} = 15.5\), redondear hasta 16, dejando 15 valores por debajo y 15 arriba). El 16 º valor de datos es 20, por lo que la mediana del número de pases de touchdown en la temporada 2000 fue de 20 pases. Observe que para estos datos, la mediana es bastante cercana a la media que calculamos antes, 20.5.
Encuentra la mediana de las puntuaciones de estas pruebas: 5 10 8 6 4 8 2 5 7 7
Empezamos listando los datos en orden: 2 4 5 5 6 7 7 8 8 10
Solución
Ya que hay 10 valores de datos, un número par, no hay un número medio. Entonces encontramos la media de los dos números medios, 6 y 7, y obtenemos\(\frac{6+7}{2} = 6.5\).
La mediana de la puntuación del cuestionario fue de 6.5.
El precio de un frasco de mantequilla de maní en 5 tiendas fue: $3.29, $3.59, $3.79, $3.75, y $3.99. Encuentra el precio medio.
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Primero ponemos los datos en orden: $3.29, $3.59, $3.75, $3.79, $3.99. Dado que hay un número impar de datos, la mediana será el valor medio, $3.75.
Volvamos ahora a nuestros datos originales de ingresos familiares
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Ingresos (miles de dólares)} &\ textbf {Frecuencia}\\
\ hline 15 & 6\\
\ hline 20 & 8\\
\ hline 25 & 11\\
\ hline 30 & 17\\
\ hline 35 & 19\\
\ hline 40 & 20\\
\ hline 45 & 12\\
\ hline 50 & 7\\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Aquí tenemos 100 valores de datos. Si no lo sabíamos ya, podríamos encontrarlo sumando las frecuencias. Dado que 100 es un número par, necesitamos encontrar la media de los dos valores de datos del medio: los valores de datos 50 th y 51 st. Para encontrarlos, comenzamos a contar desde abajo:
\[\begin{array}{ll} \text{There are 6 data values of \$15, so} & \text{Values 1 to } 6 \text{ are \$15 thousand } \\ \text{The next 8 data values are \$20, so } & \text{Values 7 to } (6+8)=14 \text{ are \$20 thousand} \\ \text{The next 11 data values are \$25, so} & \text{ Values 15 to } (14+11)=25 \text{ are \$25 thousand} \\ \text{The next 17 data values are \$30, so} & \text{Values 26 to } (25+17)=42 \text{ are \$30 thousand} \\ \text{The next 19 data values are \$35, so} & \text{Values 43 to } (42+19)=61 \text{ are \$35 thousand} \end{array} \nonumber \]
De esto podemos decir que los valores 50 y 51 serán de 35 mil dólares, y la media de estos dos valores es de 35 mil dólares. El ingreso medio en este barrio es de 35 mil dólares.
Si sumamos al nuevo vecino con un ingreso familiar de 5 millones de dólares, entonces habrá 101 valores de datos, y el 51 er valor será la mediana. Como descubrimos en el último ejemplo, el valor 51 st es de 35 mil dólares. Observe que el nuevo vecino no afectó la mediana en este caso. La mediana no se ve influida tanto por valores atípicos como lo es la media.
Además de la media y la mediana, hay otra medición común del valor “típico” de un conjunto de datos: el modo.
El modo es el elemento del conjunto de datos que ocurre con mayor frecuencia.
El modo es bastante inútil con datos como pesos o alturas donde hay una gran cantidad de valores posibles. El modo se usa más comúnmente para datos categóricos, para los cuales no se pueden calcular la mediana y la media.
En nuestro estudio de color de vehículos, recopilamos los datos
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Color} &\ textbf {Frecuencia}\\
\ hline\ text {Azul} & 3\
\\ hline\ texto {Verde} & 5\
\\ hline\ texto {Rojo} & 4\
\ hline\ texto {Blanco} & 3\\
\ hline\ texto {Negro} & 2\\
\ hline\ texto {Gris} & 3\\
\ hline
\ end {array}\)
Para estos datos, el Verde es el modo, ya que es el valor de los datos el que más frecuentemente ocurrió.
Es posible que un conjunto de datos tenga más de un modo si varias categorías tienen la misma frecuencia, o no hay modos si cada categoría ocurre solo una vez.
Se pidió a los revisores que calificaran un producto en una escala del 1 al 5. Encuentra
- La calificación media
- La mediana de calificación
- La clasificación de modo
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Calificación} &\ textbf {Frecuencia}\\
\ hline 1 & 4\\
\ hline 2 & 8\\
\ hline 3 & 7\\
\ hline 4 & 3\\ hline 5 & 1
\\\ hline\
\ hline
\ end { matriz}\)
- Contestar
-
- La media es\(\frac{1 \cdot 4+2 \cdot 8+3 \cdot 7+4 \cdot 3+5 \cdot 1}{23} \approx 2.5\)
- Hay 23 valores de datos, por lo que la mediana será el 12 º valor de datos. Las calificaciones de 1 son los primeros 4 valores, mientras que una calificación de 2 son los siguientes 8 valores, por lo que el 12 º valor será una calificación de 2. La mediana es 2.
- El modo es la calificación más frecuente. La clasificación de modo es 2.