9.3: Medidas de Tendencia Central
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Comencemos tratando de encontrar el valor más “típico” de un conjunto de datos.
Tenga en cuenta que acabamos de usar la palabra “típico” aunque en muchos casos se podría pensar en usar la palabra “promedio”. Debemos tener cuidado con la palabra “promedio” ya que significa cosas diferentes para diferentes personas en diferentes contextos. Uno de los usos más comunes de la palabra “promedio” es lo que matemáticos y estadísticos llaman la media aritmética, o simplemente la vieja media simple para abreviar. “Media aritmética” suena bastante elegante, pero es probable que hayas calculado una media muchas veces sin darte cuenta; la media es lo que la mayoría de la gente piensa cuando usa la palabra “promedio”.
La media de un conjunto de datos es la suma de los valores de datos dividida por el número de valores.
Los puntajes de los exámenes de Marci para su última clase de matemáticas fueron: 79, 86, 82, 94. La media de estos valores sería:
\( \dfrac{79 + 86 + 82 + 94}{4} = 85.25 \)
Por lo general, redondeamos la media a un decimal más que los datos originales. En este caso, redondearíamos\(85.25\) a\(85.3\). Así, podemos decir que el puntaje promedio de Marci en sus exámenes de matemáticas fue\(85.25\) o aproximadamente\(85.3\).
A continuación se muestra el número de pases de touchdown (TD) lanzados por cada uno de los 31 equipos de la Liga Nacional de Futbol en la temporada 2000.
37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6
Sumando estos valores, obtenemos una suma total de 634 TDs. Dividiendo por 31, el número total de valores de datos, obtenemos\(\dfrac{634}{31} = 20.4516\). Sería apropiado redondear esto a 20.5.
Sería más correcto para nosotros informar que “El número medio de pases de touchdown lanzados en la NFL en la temporada 2000 fue de 20.5 pases”, pero no es raro ver la palabra más casual “promedio” utilizada en lugar de “media”.
El precio de un frasco de mantequilla de maní en 5 tiendas fue de: $3.29, $3.59, $3.79, $3.75, y $3.99. Encuentra el precio medio.
Veamos un ejemplo para calcular la media dada una tabla de frecuencias.
A las cien familias de un barrio en particular se les pide su ingreso anual familiar, a los 5 mil dólares más cercanos. Los resultados se resumen en una tabla de frecuencias a continuación.
| Ingresos (miles de dólares) | Frecuencia |
|---|---|
| 15 | 6 |
| 20 | 8 |
| 25 | 11 |
| 30 | 17 |
| 35 | 19 |
| 40 | 20 |
| 45 | 12 |
| 50 | 7 |
Calcular la media a mano podría resultar complicado si intentamos escribir los 100 valores:
\(\dfrac{15+15+15+15+15+15+20+20+…+50+50+50+50+50+50+50}{100}\)
¡Ese es un numerador largo! Podríamos calcular esto de manera más eficiente al notar que sumarse\(15\) a sí mismo seis veces es lo mismo que\(15 \cdot 6 = 90\). Usando esta simplificación, obtenemos
\(\dfrac{(15 \cdot 6) + (20 \cdot 8) + (25 \cdot 11) + (30 \cdot 17) + (35 \cdot 19) + (40 \cdot 20) + (45 \cdot 12) + (50 \cdot 7)}{100} = \dfrac{3390}{100} = 33.9\)
El ingreso familiar medio de nuestra muestra es de\(33.9\) mil dólares (\($33,900\)).
Ampliando el último ejemplo, supongamos que una nueva familia se muda al ejemplo de barrio que tiene un ingreso familiar de 5 millones de dólares (5000 mil dólares). Añadiendo esto a nuestra muestra, nuestra media es ahora:
\(\dfrac{(15 \cdot 6) + (20 \cdot 8) + (25 \cdot 11) + (30 \cdot 17) + (35 \cdot 19) + (40 \cdot 20) + (45 \cdot 12) + (50 \cdot 7) + (5000 \cdot 1)}{100} = \dfrac{8390}{101} = 83.069\)
Si bien\(83.1\) mil dólares (\($83,069\)) es el ingreso familiar medio correcto, ya no representa un valor “típico”.
Imagine los valores de los datos en una sierra o balanza. La media es el valor que mantiene los datos en equilibrio, como en la imagen de abajo.
Si graficamos los datos de nuestros hogares, el valor de los datos de $5 millones está tan lejos a la derecha que la media tiene que ajustarse para mantener las cosas en equilibrio
Por esta razón, cuando se trabaja con datos que tienen valores atípicos —valores muy fuera de la agrupación primaria— es común utilizar una medida diferente de centro, la mediana.
La mediana de un conjunto de datos es el valor en el medio cuando los datos están en orden
Para encontrar la mediana, comience por enumerar los datos en orden de menor a mayor, o mayor a menor.
Si el número de valores de datos,\(N\), es impar, entonces la mediana es el valor de datos del medio. Este valor se puede encontrar redondeando\(\dfrac{N}{2}\) hasta el siguiente número entero.
Si el número de valores de datos es par, no hay un valor medio, por lo que encontramos la media de los dos valores medios (valores\(\dfrac{N}{2}\) y\(\dfrac{N}{2} + 1\))
Podemos interpretar la mediana como “la mitad de los datos es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana”. Por supuesto, podemos reescribir esto en contexto del problema.
Volviendo a los datos del touchdown futbolístico, empezaríamos por enumerar los datos en orden. Por suerte, ya estaba en orden decreciente, así que podemos trabajar con él sin necesidad de reordenarlo primero.
37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6
Dado que hay 31 valores de datos, un número impar, la mediana será el número medio, el 16 º valor de datos (\(\dfrac{31}{2} = 15.5\), redondear hasta 16, dejando 15 valores por debajo y 15 por encima). El 16 º valor de datos es 20, por lo que la mediana del número de pases de touchdown en la temporada 2000 fue de 20 pases. Observe que para estos datos, la mediana es bastante cercana a la media que calculamos antes, 20.5. Esto quiere decir que la mitad de los touchdowns anotados fueron menos de 20 y la otra mitad fueron más de 20.
Encuentra la mediana de las puntuaciones de estas pruebas: 5 10 8 6 4 8 2 5 7 7
Solución
Empezamos listando los datos en orden: 2 4 5 5 6 7 7 8 8 10
Ya que hay 10 valores de datos, un número par, no hay un número medio. Entonces, encontramos la media de los dos números medios, 6 y 7, y obtenemos
\[\dfrac{(6+7)}{2} = 6.5. \nonumber\]
La mediana de la puntuación del cuestionario fue de 6.5. Podemos decir, la mitad de los puntajes del cuestionario fueron inferiores a 6.5 y la otra mitad fueron superiores a 6.5.
El precio de un frasco de mantequilla de maní en 5 tiendas fue: $3.29, $3.59, $3.79, $3.75, y $3.99. Encuentra el precio medio.
Volvamos ahora a nuestros datos originales de ingresos familiares.
| Ingresos (miles de dólares) | Frecuencia |
|---|---|
| 15 | 6 |
| 20 | 8 |
| 25 | 11 |
| 30 | 17 |
| 35 | 19 |
| 40 | 20 |
| 45 | 12 |
| 50 | 7 |
Aquí tenemos 100 valores de datos. Si no lo sabíamos ya, podríamos encontrarlo sumando las frecuencias. Dado que 100 es un número par, necesitamos encontrar la media de los dos valores de datos del medio: los valores de datos 50 th y 51 st. Para encontrarlos, comenzamos a contar desde abajo:
- Hay 6 valores de datos de $15, por lo que los Valores 1 a 6 son $15 mil
- Los siguientes 8 valores de datos son $20, por lo que los Valores 7 a (6+8) =14 son $20 mil
- Los siguientes 11 valores de datos son $25, por lo que los Valores 15 a (14+11) =25 son $25 mil
- Los siguientes 17 valores de datos son $30, por lo que los Valores 26 a (25+17) =42 son $30 mil
- Los siguientes 19 valores de datos son $35, por lo que los Valores 43 a (42+19) =61 son $35 mil
De esto podemos decir que los valores 50 y 51 serán de 35 mil dólares, y la media de estos dos valores es de 35 mil dólares. El ingreso medio en este barrio es de 35 mil dólares. Así, la mitad de los ingresos del trabajo de los hogares es inferior a 35 mil dólares y la otra mitad ganaba más de 35 mil dólares.
Si sumamos al nuevo vecino con un ingreso familiar de 5 millones de dólares, entonces habrá 101 valores de datos, y el 51 er valor será la mediana. Como descubrimos en el último ejemplo, el valor 51 st es de 35 mil dólares. Observe que el nuevo vecino no afectó la mediana en este caso. La mediana no se ve influida tanto por valores atípicos como por la media.
Pensemos en el ejemplo anterior. Cuando agregamos los ingresos de la familia 101, la media fue de $81,069 desde $31,900. Esa es una gran diferencia en el ingreso promedio de los hogares. Vemos que la media está influenciada por los valores de los datos, es decir, la media podría hacerse mayor o menor dependiendo de los valores de los datos. Sin embargo, al calcular la mediana incluyendo el ingreso de la familia 101, la mediana no se vio influenciada en absoluto. De hecho, en general, la mediana se conoce como una mejor estadística para el ingreso familiar ya que existe una amplia distribución de ingresos entre las familias. Así, los valores de los datos influyen en la media, pero no en la mediana.
Además de la media y la mediana, hay otra medición común del valor “típico” de un conjunto de datos: el modo.
El modo es el valor observado del conjunto de datos que ocurre con mayor frecuencia.
El modo se usa más comúnmente para datos categóricos, para los cuales no se pueden calcular la mediana y la media. Además, el modo es la única tendencia central que se utiliza tanto para datos categóricos como cuantitativos. La media y la mediana solo se utilizan con datos cuantitativos.
En nuestra encuesta de color de vehículos, recopilamos los datos.
| Color | Frecuencia |
|---|---|
| Azul | 3 |
| Verde | 5 |
| Rojo | 4 |
| Blanco | 3 |
| Negro | 2 |
| Gris | 3 |
Para estos datos, el Verde es el modo, ya que es el valor de los datos el que más frecuentemente ocurrió.
Es posible que un conjunto de datos tenga más de un modo si varias categorías tienen la misma frecuencia, o no hay modos si cada categoría ocurre solo una vez.
Se pidió a los revisores que calificaran un producto en una escala del 1 al 5. Encuentra
- La calificación media
- La mediana de calificación
- La clasificación de modo
| Calificación | Frecuencia |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
| 4 | 3 |
| 5 | 1 |