17.5: Tablas de Verdad: Conjunción (y), Disyunción (o), Negación (no)
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Antes de centrarnos en las tablas de la verdad, vamos a introducir algunos símbolos que se usan comúnmente para y, o, y no.
El símbolo\(\wedge\) se utiliza para y:\( A\) y\(B\) está anotado\(A \wedge B\)
El símbolo\(\vee\) se utiliza para o:\(A\) o\(B\) está anotado\(A \vee B\)
El símbolo\(\sim\) se utiliza para no: no\(A\) está anotado\(\sim A\)
Se pueden recordar los dos primeros símbolos relacionándolos con las formas para la unión y la intersección. \(A \wedge B\)serían los elementos que existen en ambos conjuntos, en\(A \cap B\). De igual manera,\(A \vee B\) serían los elementos que existen en cualquiera de los dos conjuntos, en\(A \cup B\). Cuando estamos trabajando con conjuntos, usamos la versión redondeada de los símbolos; cuando estamos trabajando con declaraciones, usamos la versión puntiagudo.
Traducir cada declaración en notación simbólica. Vamos a\(P\) representar “me gusta Pepsi” y dejar que Crepresent\(^{\text {"I like Coke" }}\).
- A mí me gusta Pepsi o me gusta la Coca-Cola.
- A mí me gusta Pepsi y me gusta la Coca-Cola.
- No me gusta Pepsi.
- No es el caso que me guste Pepsi o Coca-Cola.
- A mí me gusta Pepsi y no me gusta la Coca-Cola.
Solución
- \(P \vee C\)
- \(P \wedge C\)
- \(\sim P\)
- \(\sim(P \vee C)\)
- \(P \wedge \sim C\)
Como puede ver, podemos usar paréntesis para organizar declaraciones más complicadas.
Traducir “Tenemos zanahorias o no vamos a hacer sopa” en símbolos. Vamos a\(C\) representar “tenemos zanahorias” y vamos a\(S\) representar “vamos a hacer sopa”.
- Contestar
-
\(C \vee \sim S\)
Debido a que las declaraciones booleanas complejas pueden llegar a ser difíciles de pensar, podemos crear una tabla de verdad para hacer un seguimiento de qué valores de verdad para las declaraciones simples hacen que la declaración compleja sea verdadera y falsa.
Una tabla que muestra cuál es el valor de verdad resultante de una declaración compleja para todos los posibles valores de verdad para las declaraciones simples.
Supongamos que estás escogiendo un sofá nuevo, y tu otra persona dice “consigue un seccional o algo con una chaise”.
Se trata de una declaración compleja hecha de dos condiciones más simples: “es un seccional”, y “tiene un chaise”. Para simplificar, usemos S para designar “es un seccional”, y C para designar “tiene un chaise”.
Una tabla de verdad para esta situación se vería así:
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline S & C & S\ text {o} C\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline\ rm {T} &\ mathrm {T}\
\\ hline \ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\\ hline
\ end {array}\)
En la tabla, T se usa para true, y F para false. En la primera fila, si S es verdadero y C también es verdadero, entonces la declaración compleja “S o C” es verdadera. Este sería un seccional que también tiene un chaise, que cumple con nuestro deseo. (Recuerda eso o en lógica no es exclusivo; si el sofá tiene ambas características, cumple con la condición.)
En el ejemplo anterior sobre el sofá, la tabla de la verdad en realidad estaba simplemente resumiendo lo que ya sabemos sobre cómo funciona la o declaración. A continuación se muestran las tablas de verdad para las declaraciones básicas y, o, y no.
Conjunción
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline A & B & A\ cuña B\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline
\ end {array}\)
Disyunción
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline A & B & A\ vee B\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline
\ end {array}\)
Negación
\ (\ begin {array} {|c|c|}
\ hline A &\ sim A\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ hline
\ end {array}\)
Las tablas de verdad realmente se vuelven útiles cuando analizamos declaraciones booleanas más complejas.
Crear una tabla de verdad para la declaración\(A \vee \sim B\)
Solución
Cuando creamos la tabla de verdad, necesitamos enumerar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para\(A\) y\(B\). Observe cómo la primera columna contiene 2 Ts seguidas de\(2 ~\mathrm{Fs}\), y la segunda columna alterna\(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}\), F. Este patrón asegura que se consideren las 4 combinaciones.
\ (\ begin {array} {|c|c|}
\ hline A & B\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ hline
\ fin { matriz}\)
Después de crear columnas con esos valores iniciales, creamos una tercera columna para la expresión\(\sim B\). Ahora ignoraremos temporalmente la columna para\(A\) y escribiremos los valores de verdad para\(\sim B\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline A & B &\ sim B\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F } &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end {array}\)
A continuación podemos encontrar los valores de verdad de\(A \vee \sim B,\) usar la primera y tercera columnas.
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|}
\ hline A & B &\ sim B & A\ vee\ sim B\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\\ mathrm {T}
\\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline
\ end {array}\)
La tabla de la verdad muestra que\(A \vee \sim B\) es cierto en tres casos y falso en un caso. Si te preguntas cuál es el punto de esto, supongamos que es el último día de la temporada de béisbol y dos equipos, que no están jugando entre sí, están compitiendo por el puesto final de playoffs. Anaheim llegará a los playoffs si gana su juego o si Boston no gana su juego. (Anaheim es el dueño del desempate; si ambos equipos ganan, o si ambos equipos pierden, entonces Anaheim obtiene el lugar en los playoffs). Si\(A=\) Anaheim gana su juego y\(B=\) Boston gana su juego, entonces\(A \vee\)\(\sim B\) representa la situación “Anaheim gana su juego o Boston no gana su juego”. El cuadro de la verdad nos muestra los diferentes escenarios relacionados con que Anaheim llegara a los playoffs. En la primera fila, Anaheim gana su juego y Boston gana su juego, por lo que es cierto que Anaheim llega a los playoffs. En la segunda fila, Anaheim gana y Boston no gana, por lo que es cierto que Anaheim llega a los playoffs. En la tercera fila, Anaheim no gana su juego y Boston gana su juego, por lo que es falso que Anaheim llegue a los playoffs. En la cuarta fila, Anaheim no gana y Boston no gana, por lo que es cierto que Anaheim llega a los playoffs.
Cree una tabla de verdad para esta declaración:\(\sim A \wedge B\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|}
\ hline A & B &\ sim A &\ sim A\ cuña B\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} mathrm {F}\
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline
\ end {array}\)
Crear una tabla de verdad para la declaración\(A \wedge \sim(B \vee C)\)
Solución
Ayuda a trabajar de adentro hacia afuera al crear una tabla de verdad, y a crear columnas en la tabla para operaciones intermedias. Comenzamos enumerando todas las posibles combinaciones de valores de verdad para\(A, B,\) y\(C .\) Observe cómo la primera columna contiene 4 Ts seguidas de\(4 \mathrm{Fs}\), la segunda columna contiene\(2 \mathrm{Ts}, 2 \mathrm{Fs}\), luego se repite, y la última columna alterna\(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}, \mathrm{F} \ldots\) Este patrón asegura que las 8 combinaciones son considerado. Después de crear columnas con esos valores iniciales, creamos una cuarta columna para la expresión más interna,\(B \vee C .\) Ahora ignoraremos temporalmente la columna para\(A\) y nos centraremos en\(B\) y\(C\), escribiendo los valores de verdad para\(B \vee C\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline A & B & C\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {T} & amp;\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ mathrm {T}\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ línea\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\ \
\ hline
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|}
\ hline A & B & C & B & B\ vee C
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} & \ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\\ hline
\ end {array}\)
A continuación podemos encontrar la negación de\(B \vee C\), trabajando fuera de la\(B \vee\) Ccolumna que acabamos de crear. (Ignorar las tres primeras columnas y simplemente negar los valores en la\(B \vee C\) columna.)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|}
\ hline A & B & C & B\ vee C &\ sim (B\ vee C)\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ \
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end {array}\)
Finalmente, encontramos los valores de\(A\) y\(\sim(B \vee C)\). (Ignorar la segunda, tercera y cuarta columnas.)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|c|}
\ hline A & B & C & B\ vee C &\ sim B\ vee C) & A\ wedge\ sim B\ vee C\ text {)}\
\ hline\ text {T} &\ text {T} &\ text {T} &\ text {T} &\ text {F} &\ texto {F}\\
\ hline\ texto {T} & amp;\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {F}\
\ hline\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {F} &
\ texto {F}\\ hline\ texto {T} &\ texto {F}\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {T}\
\ hline\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {T} &\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {F} &\ texto {F}
\\ hline\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {T} &\ texto {F} &\ texto {F}\
\ hlínea\ texto {F} &\ text {F} &\ text {T} &\ text {T} &\ text {F} &\ text {F}\\\ hline
\ text {F} &\ text {F} &\ text {F} &\ text {F} &\ text {T} &\ text {F} &\ text {F}
\\ hline
\ end {array}\)
Resulta que esta compleja expresión es verdadera en un solo caso: cuando\(A\) es verdadero,\(B\) es falso, y\(C\) es falso. Para ilustrar esta situación, supongamos que Anaheim llegará a los playoffs si: (1) Anaheim gana, y (2) ni Boston ni Cleveland ganan. El IFF es el único escenario en el que Anaheim llegará a los playoffs.
Cree una tabla de verdad para esta declaración:\((\sim A \wedge B) \vee \sim B\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|c|}
\ hline A & B &\ sim A &\ sim A\ cuña B &\ sim B & (\ sim A\ cuña B)\ vee\ sim B\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {T } &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end {array}\)