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# 8.2: Mover dinero con intereses simples

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¿Se puede calcular la cantidad de dinero requerida para cumplir una meta futura? Asume que graduarás la universidad con tu diploma de administración de empresas en unos meses y ya te has registrado en tu universidad local para continuar con tus estudios hacia una licenciatura en comercio. Estimas tu matrícula total, cuotas y libros de texto en $8,000. Después de investigar algunas inversiones a corto plazo, encuentra que la mejor tasa de interés simple que se puede obtener es 4.5%. ¿Cuánto dinero debes invertir hoy para que crezca con interés al dinero de colegiatura necesario? En el apartado anterior, calculaste la cantidad de intereses devengados o cobrados sobre una inversión o préstamo. Si bien es bueno saber este número, la mayoría de las veces los inversionistas están interesados únicamente en cuánto en total, incluyendo tanto el principal como los intereses, se adeuda o se ahorra. Además, para calcular el monto de interés en la Fórmula 8.1, debes conocer el principal. Cuando las personas planean para el futuro, conocen la cantidad futura de dinero que necesitan pero no saben cuánto dinero deben invertir hoy para llegar a esa meta. Este es el caso en el ejemplo de apertura anterior, por lo que necesita una técnica adicional para manejar el interés simple. Esta sección explora cómo calcular el principal y el interés juntos en un solo cálculo. Agrega la flexibilidad de averiguar cuánto dinero hay al inicio del periodo de tiempo siempre y cuando conozcas el valor al final, o viceversa. De esta manera, se puede resolver casi cualquier situación de interés simple. ## Valor de Vencimiento (o Valor Futuro) El valor de vencimiento de una transacción es la cantidad de dinero resultante al final de una transacción, cantidad que incluye tanto el interés como el principal juntos. Se le llama valor de vencimiento porque en el mundo financiero la terminación de una transacción financiera se conoce como el “vencimiento” de la transacción. El monto del principal con intereses en algún momento en el futuro, pero no necesariamente al final de la transacción, se conoce como el valor futuro. ### La Fórmula Para cualquier transacción financiera que implique intereses simples, es cierto lo siguiente: $\text{Amount of money at the end }=\text{ Amount of money at the beginning }+\text{ Interest}\nonumber$ Aplicando álgebra, puede resumir esta expresión mediante la siguiente ecuación, donde el valor futuro o valor de madurez se denota comúnmente con el símbolo$$S$$: $S=P+I\nonumber$ Sustituyendo en la Fórmula 8.1,$$I = Prt$$, produce la ecuación $S=P+Prt\nonumber$ Simplifique esta ecuación factorizando$$P$$ en el lado derecho para llegar a la Fórmula 8.2. Fórmula 8.2 Dependiendo del escenario financiero, qué información conoce y qué variable necesita calcular, es posible que necesite una segunda fórmula que ofrezca un método alternativo para calcular el monto en dólares de interés simple. Fórmula 8.3 ### Cómo funciona Siga estos pasos cuando trabaje con pagos únicos que involucren intereses simples: Paso 1: La Fórmula 8.2 tiene cuatro variables, tres cualquiera de las cuales debes identificar para trabajar con un solo pago que implique intereses simples. • Si falta el$$P$$ o pero$$S$$$$I$$ se conoce el, aplique la Fórmula 8.3 para determinar el valor desconocido. • Si solo$$I$$ se conoce el monto de interés y ni se identifica$$P$$ ni$$S$$ se identifica, recuerde que el monto de interés es una porción y que la tasa de interés es producto de tasa y tiempo (por ejemplo, 6% anual durante nueve meses es una tasa de interés devengada de 4.5%). Aplicar la Fórmula 2.2 en tasa, porción y base para resolver por base, que es el valor presente o$$P$$. • Si es necesario, dibuje una línea de tiempo para ilustrar cómo se mueve el dinero a través del tiempo. Paso 2: Asegurar que la tasa de interés simple y el periodo de tiempo se expresen con una unidad común. Si no es así, es necesario convertir una de las dos variables para lograr lo común. Paso 3: Aplicar la Fórmula 8.2 y resolver para la variable desconocida, manipulando la fórmula según sea necesario. Paso 4: Si necesita calcular el monto de los intereses, aplique la Fórmula 8.3. Supongamos que hoy tienes$10,000 que vas a invertir al 7% de interés simple durante 11 meses. ¿Cuánto dinero vas a tener en total al final de los 11 meses? ¿Cuánto interés gana?

Paso 1: El principal es$$P = \10,000$$, la tasa de interés simple es 7% anual, o$$r= 0.07$$, y el tiempo es$$t = 11$$ meses.

Paso 2: El tiempo es en meses, pero para igualar la tasa se necesita expresar anualmente como$$t=\dfrac{11}{12}$$.

Paso 3: Aplicar la Fórmula 8.2 para calcular el valor futuro incluyendo los intereses,

$$S=\ 10,000 \times(1+0.07 \times)=\dfrac{11}{12}\ 10,641.67$$. Esta es la cantidad total después de 11 meses.

Paso 4: Aplicar la Fórmula 8.3 para calcular los intereses devengados,$$I=\ 10,641.67-\ 10,000.00=\ 641.67$$. También podrías aplicar la Fórmula 8.1 para calcular el monto del interés; sin embargo, la Fórmula 8.3 es mucho más fácil de usar. Los 10.000 dólares ganan 641.67 dólares en interés simple durante los próximos 11 meses, resultando en 10.641.67 dólares en total.

### Cosas a tener en cuenta

Al igual que con la Fórmula 8.1, el error más común en la aplicación de la Fórmula 8.2 es no asegurar que la tasa y el tiempo se expresen en las mismas unidades. Antes de continuar, ¡comprueba siempre estas dos variables!

### Caminos hacia el éxito

Al resolver la Fórmula 8.2 tanto por tasa como por tiempo, generalmente es más fácil usar la Fórmula 8.3 y la Fórmula 8.1 en su lugar. Siga estos pasos para resolver por tarifa o tiempo:

1. Si se le ha proporcionado tanto el valor presente como el valor futuro, aplique la Fórmula 8.3 para calcular el monto de interés ($$I$$).
2. Aplique y reorganice la Fórmula 8.1 para resolverla por tarifa o tiempo según sea necesario.
##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$: Give It Some Thought

En cada una de las siguientes situaciones, determinar qué enunciado es correcto.

1. Si tienes un valor futuro de $5,000 y hay intereses involucrados, entonces tu valor actual es 1. Más de$5,000
2. El mismo
3. Menos de $5,000 2. Si tuviste un capital de$10,000 ganando 10% de interés simple por cualquier periodo menor a un año, ganas
1. Más de $1,000 de interés 2. Exactamente$1,000 intereses
3. Menos de $1,000 de interés 3. Si tomaste un préstamo por$2,500 a una tasa de interés simple del 5% por seis meses y no hiciste pagos durante ese período de tiempo, debes
1. Más de $2,500 2. Exactamente$2,500
3. Menos de $2,500 Responder 1. Menos de$5,000. Al cobrar o ganar intereses, el valor presente siempre es menor que el valor futuro.
2. Menos de $1,000 de interés. Los$10,000 ganan exactamente $1,000 intereses por año, por lo que cualquier período de tiempo inferior a un año produce una cantidad de interés menor. 3. Más de$2,500. Cuando se cobran intereses, el valor futuro siempre es mayor que el valor actual
##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Saving for a Down Payment on a Home

Acabas de heredar 35.000 dólares del patrimonio de tu tío y planeas comprar una casa dentro de cuatro meses a partir de hoy. Si usas tu herencia como pago inicial de la casa, ¿cuánto podrás poner si tu dinero gana 4¼% interés simple? ¿Cuánto interés te habrás ganado?

Solución

Calcular la cantidad de dinero dentro de cuatro meses incluyendo tanto el principal como los intereses devengados. Este es el valor de vencimiento ($$S$$). También calcular los intereses devengados ($$I$$).

Lo que ya sabes

Paso 1:

Se conocen el principal, la tasa de interés y el marco temporal:$$P = \35,000, r = 4¼\%$$ por año$$t = 4$$ meses

Cómo Llegarás

Paso 2:

Si bien la tasa es anual, el tiempo es en meses. Convertir el tiempo a un número anual.

Paso 3:

Aplicar Fórmula 8.2.

Paso 4:

Aplicar la Fórmula 8.3 para calcular el monto del interés.

Realizar

Paso 2:

Cuatro meses de cada 12 meses en un año es$$t=\dfrac{4}{12}$$

Paso 3:

$S=\ 35,000 \times\left(1+4\dfrac{1}{4} \% \times \dfrac{4}{12}\right)=\ 35,000 \times(1+0.0425 \times 0 . \overline{3})=\ 35,495.83 \nonumber$

Paso 4:

$I = \35,495.83 − \35,000.00 = \495.83 \nonumber$

Solución

Calcula la cantidad principal de dinero hoy ($$P$$) que debes invertir de tal manera que gane intereses y termine en los 8,000 requeridos para la colegiatura. Lo que ya sabes Paso 1: Se conocen el valor futuro, la tasa de interés y el período de tiempo:$$S = \8,000, r = 4.5\%$$ por año$$t = 8$$ meses Cómo Llegarás Paso 2: Si bien la tasa es anual, el tiempo es en meses. Convertir el tiempo a un número anual. Paso 3: Aplicar Fórmula 8.2, reordenando para$$P$$. Realizar Paso 2: Ocho meses de 12 meses en un año es$$t=\dfrac{8}{12}$$ Paso 3: \begin{aligned} &\ 8,000=P\left(1+4.5 \% \times \dfrac{8}{12}\right)\\ &P=\dfrac{\ 8,000}{(1+0.045 \times 0.\overline {6})}=\ 7,766.99 \end{aligned} \nonumber Si coloca7,766.99 en la inversión, crecerá a $8,000 en los ocho meses. ##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: What Exactly Are You Being Offered? Estás sentado en una oficina de tu institución financiera local el 4 de agosto. El oficial bancario te dice: “Te haremos mucho. Si adelantamos esa línea de crédito y hoy pides prestados 20,000 dólares, cuando quieras reembolsar ese saldo el 1 de septiembre solo tendrás que pagarnos$20,168.77, ¡lo que no es mucho más!” Antes de responder, decide evaluar la declaración. Calcular la tasa de interés simple que el funcionario bancario utilizó en sus cálculos.

Solución

Determine la tasa de interés que se le cobraría en su línea de crédito, o$$r$$.

Lo que ya sabes

Paso 1:

Se conocen el principal, el monto de vencimiento y el período de tiempo: 4$$P = 20,000.00, S = 20,168.77, t =$$ de agosto al 1 de septiembre

Cómo Llegarás

Paso 1 (continuación):

Calcular el número de días en la transacción.

Paso 2:

Dado que las tasas de interés suelen expresarse anualmente, convierte el tiempo de días a un número anual.

Paso 3:

Usa la combinación de Fórmula 8.3 y Fórmula 8.1. Primero calcule el monto de interés usando la Fórmula 8.3.

Paso 3 (continuación):

Después aplique la Fórmula 8.1, reordenando para$$r$$.

Realizar

Paso 1 (continuación):

Fecha de inicio Fecha de Finalización Días entre Fechas
4 de agosto 31 de agosto 31 − 4 = 27
31 de agosto 1 de septiembre 1 − 0 = 1
TOTAL 27 + 1 = 28 días

Paso 2:

28 días de 365 días en un año es$$t=\dfrac{28}{365}$$

Paso 3:

$I = \20,168.77 − \20,000.00 = \168.77 \nonumber$

Paso 3 (continuación):

$r=\dfrac{\ 168.77}{\ 20,000.00 \times \dfrac{28}{365}}=0.110002 \text { or } 11.0002 \% \nonumber$

Asumir el año 2011 y utilizar la función DATE:

DT1 DT2 DBD Modo
08.0411 09.0111 Respuesta: 28 ACTO

La tasa de interés en la línea de crédito ofrecida es de 11.0002% (tenga en cuenta que probablemente sea exactamente 11%; lo más probable es que el extra 0.0002% se deba al monto redondeado de interés utilizado en el cálculo).

## Pagos equivalentes

La vida pasa. A veces los planes financieros mejor establecidos no se cumplen. Quizás has perdido tu trabajo. A lo mejor un conductor imprudente totalizó tu vehículo, que ahora tienes que reemplazar a un gasto que debes luchar para que se ajuste a tu presupuesto. No importa el motivo, se encuentra incapaz de hacer el pago de su deuda como se prometió.

En el lado positivo, tal vez acabas de recibir una gran herencia inesperadamente. ¿Y si compraste un boleto rasca y acabas de ganar $25,000? Ahora que tienes el dinero, tal vez quieras pagar esa deuda antes de tiempo. ¿Se puede hacer? Ya sea pagando con retraso o temprano, cualquier monto pagado debe ser equivalente a la obligación financiera original. Como has aprendido, cuando mueves dinero hacia el futuro acumula intereses simples. Cuando mueves dinero al pasado, los intereses simples deben ser removidos del dinero. Este principio se aplica tanto a pagos anticipados como atrasados: • Pagos atrasados. Si una deuda se paga con retraso, entonces se debe imponer una sanción económica que sea justa para ambas partes involucradas. Esa penalización debe reflejar una tasa de interés vigente y agregarse al pago original. Supongamos que le debes$100 a tu amigo y que una tasa justa actual de interés simple es del 10%. Si paga esta deuda con un año de retraso, entonces se debe agregar una multa por intereses atrasados del 10% de $10, haciendo que su pago de deuda sea de 110 dólares. Esto no es diferente de que tu amigo reciba los$100 hoy e invirtiéndolo él mismo al 10% de interés para que se acumule a 110 dólares en un año.
• Pagos Anticipados. Si una deuda se paga anticipadamente, debería haber algún incentivo financiero (de lo contrario, ¿por qué molestarse?). Por lo tanto, un beneficio de interés, uno que refleje una tasa de interés actual sobre el pago anticipado, debe deducirse del pago original. Asume que le debes a tu amigo 110 dólares dentro de un año y que una tasa justa actual de interés simple es del 10%. Si paga esta deuda hoy, entonces se debe deducir un beneficio de interés anticipado del 10% de $10, haciendo su pago de deuda hoy$100. Si tu amigo entonces invierte este dinero al 10% de interés simple, dentro de un año tendrá los 110 dólares, que es lo que se suponía que debías pagar.