14.2: Cálculo del rendimiento de un bono
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¿Siempre debes mantener un bono hasta su vencimiento? ¿Hay un mejor momento para vender? En el abridor a la última sección, invirtió en 10 bonos de valor nominal de Gobierno de Canadá de 5.000 dólares con un cupón del 5% y 20 años restantes hasta su vencimiento. Por estos pagaste $4,699.02 cada uno cuando las tasas de bonos prevalecientes eran de 5.5%. Diez años después de que usted compró esos bonos, las tasas prevalecientes del mercado de bonos han caído a 3.35% pero se espera que suban en un futuro próximo. ¿Ahora es el momento de vender esos bonos?
Esta es una decisión compleja con muchas variables; sin embargo, para ayudar a tomar esa decisión debes conocer al menos tres datos críticos: el precio de venta del bono, el rendimiento que obtendrías de tu inversión si te mantenías en el bono hasta su vencimiento, y el rendimiento si vendiste el bono hoy.
Esta sección integra los cálculos de los precios y rendimientos de los bonos para que entiendas mejor tus inversiones en bonos. Estas pautas se aplican tanto si estás invirtiendo personalmente como en nombre de tu empresa.
Rendimiento a Madurez
El rendimiento hasta el vencimiento, también conocido como base, es la tasa de rendimiento general de un bono cuando se compra a un precio de mercado y se mantiene hasta su vencimiento. Incluye tanto el interés semestral que los tenedores de bonos ganan por su inversión junto con la ganancia o pérdida resultante de la diferencia entre el precio de mercado en la fecha de venta y el precio de canje. Este rendimiento a vencimiento es exactamente igual a la tasa de rendimiento del mercado en la fecha de compra. Así, en el ejemplo anterior, si te aferras a esos bonos hasta su vencimiento, te darás cuenta de un rendimiento a vencimiento de 5.5%.
En esta sección, está dando la vuelta a los cálculos de la Sección 14.1, donde respondió a la pregunta: “Conociendo la tasa de retorno del mercado, ¿qué va a pagar?” Ahora se le pregunta: “Sabiendo lo que paga, ¿cuál es la tasa de retorno del mercado?” Así, reformulando el ejemplo de apertura tendrías: “Si pagaras $4,699.02 por un bono de valor nominal de $5,000 con 20 años de vencimiento teniendo un cupón del 5%, ¿qué rendimiento a vencimiento te darías cuenta?”
La Fórmula
Y ou no necesita nuevas fórmulas para calcular el rendimiento de un bono hasta su vencimiento. El objetivo es resolver para la tasa nominal de interés, o\(IY\). Debe trabajar con las Fórmulas 14.2, 14.3 y 9.1. Recordemos que Fo rmula 14.2 determina el monto semestral del pago de intereses del cupón de bonos. Sustituye esta cantidad por la Fórmula 14.3, que calcula el precio del bono en una fecha de pago de intereses. No obstante, en este caso deberá resolver la Fórmula 14.3 no por el precio de la fecha sino por la tasa de interés periódica, o i. Una vez que conozca la tasa de interés periódica, puede sustituirla por la Fórmula 9.1 y resolverla por la tasa de interés nominal, o\(IY\).
Un problema al usar el enfoque de fórmula es que es imposible aislar algebraicamente la tasa de interés periódica i n Fórmula 14.3 . Debes recurrir a tecnología como la calculadora BAII Plus o Excel.
Cómo funciona
Siga estos pasos para calcular el rendimiento de un bono hasta su vencimiento:
Paso 1: Dibuja una línea de tiempo como la que se presenta aquí, extendiéndose desde la fecha de venta hasta la fecha de vencimiento. Identificar todas las variables conocidas.
Paso 2: Usando la Fórmula 14.2 , calcule el monto del pago de intereses de bonos.
Paso 3: Al igual que en la Sección 14.1, utilice la Fórmula 11.1 para calcular el\(N\). Dado que la tasa de mercado y la tasa de cupón son ambas semestrales, la\(N\) se utiliza tanto como el número total de compuestos como el número total de pagos.
- Si usa un método manual, sustituya todos los números conocidos en la Fórmula 14.3 e intente resolver la tasa de interés periódica (\(i\)). Una vez que lo sepas, conviértalo a una tasa de interés nominal usando la Fórmula 9.1.
- Alternativamente, si está utilizando tecnología como la calculadora, ingrese todas las variables conocidas y resuelva directamente para la tasa de interés nominal (\(IY\)).
Notas Importantes
Tenga en cuenta dos condiciones al calcular el rendimiento hasta el vencimiento:
- La negociación se realiza solo en fechas de pago de intereses.
- El tenedor de bonos reinvierte todos los pagos de cupones a la misma tasa de interés. Los cálculos que no cumplen estas condiciones están más allá del alcance introductorio de este libro de texto.
Si compras un bono con una tasa de cupón del 4% cuando la tasa de mercado es del 5%, ¿qué rendimiento a vencimiento te darás cuenta?
- Contestar
-
5%; su rendimiento hasta el vencimiento depende de la tasa de mercado, no de la tasa de cupón.
Supongamos que se compra un bono de valor nominal de $10,000 por $7,688.52 con 20 años hasta su vencimiento y tiene una tasa de cupón de 4% semestral. ¿Qué rendimiento se dará cuenta el tenedor de bonos si se aferra a él hasta su madurez?
Solución
El rendimiento a vencimiento representa la tasa nominal de interés sobre el bono, o\(IY\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
El cronograma para la venta de bonos aparece a continuación.
Pago de Intereses de Cupón:\(CPN\)\(CY\) = 4%, = 2, Valor nominal = $10,000
Fianza: Fecha Precio = $7,688.52,\(FV\) = $10,000,\(CY\) = 2,\(PMT_{BOND}\) = Fórmula 14.2,\(PY\) = 2, Años Restantes = 20
Cómo Llegarás
Paso 2:
Aplicar la Fórmula 14.2 para determinar el pago periódico de intereses de bonos.
Paso 3:
Aplicar las Fórmulas 11.1, 14.3 y 9.1 para determinar el rendimiento hasta el vencimiento (\(IY\)). Resuelve las Fórmulas 14.3 y 9.1 usando la calculadora.
Cálculos
Paso 2:
\[PMT_{BOND}=\$ 10,000 \times \dfrac{0.04}{2}=\$ 200 \nonumber \]
Paso 3:
\(N=2 \times 20=40\)(compuestos y pagos)
\[\$ 7,688.52=\dfrac{\$ 10,000}{(1+i)^{40}}+\$ 200\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{1+i}\right]^{40}}{i}\right] \quad i=\dfrac{\mathrm{IY}}{2} \nonumber \]
Salida de la calculadora\(= IY = 6%\)
Instrucciones de la calculadora
| Modo | N | I/Y | PV |
|---|---|---|---|
| FINAL | 40 | Respuesta: 6.000002 | -7688.52 |
| PMT | FV | P/Y | C/Y |
|---|---|---|---|
| 200 | 10,000 | 2 | 2 |
Si mantiene el bono durante los próximos 20 años, se dará cuenta de un rendimiento a vencimiento del 6% compuesto semestralmente.
El rendimiento del inversor
El cálculo de rendimiento-a-vencimiento requiere que el bono se mantenga hasta su fecha de vencimiento, momento en el que se conoce el precio de redención del valor futuro e igual a su valor nominal. Sin embargo, es posible que esta condición no se mantenga. El titular del bono podrá vender el bono en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento. Si se vende el bono, el valor futuro se basa en la tasa del bono vigente en ese momento, y el precio generalmente no es igual a su valor nominal. ¿Cuál es entonces el rendimiento del bono para el inversionista?
Figura\(\PageIndex{1}\): Rendimiento del inversor
El rendimiento del inversionista consiste en los pagos de cupón que se han recibido mientras el inversionista posee el bono junto con la diferencia lograda entre el precio de compra y el precio de venta. La cifra anterior ilustra lo que sucede con el rendimiento del inversor al relacionar la tasa de mercado posterior a la compra y el rendimiento del inversionista.
- Cuando la tasa de mercado sube después de la compra del bono, el inversionista experimenta un rendimiento menor que el rendimiento original hasta el vencimiento ya que se reduce el precio de venta del bono futuro. Supongamos que los inversionistas compran el bono a una tasa de mercado del 5%:
- Si lo mantienen hasta su madurez, logran un rendimiento de 5% a madurez.
- Si en cambio venden el bono antes del vencimiento cuando la tasa de mercado es del 6%, el rendimiento del inversionista es inferior al 5%.
- Cuando la tasa de mercado disminuye después de la compra del bono, el inversionista experimenta un rendimiento mayor que el rendimiento original hasta el vencimiento, ya que se incrementa el precio de venta del bono futuro. Supongamos nuevamente que los inversionistas compran el bono a una tasa de mercado del 5%:
- Si la mantienen hasta la madurez, por supuesto logran un rendimiento del 5% hasta la madurez.
- Si venden el bono cuando la tasa de mercado es de 4%, el rendimiento del inversionista es superior al 5%.
La Fórmula
Las fórmulas de bonos existentes son suficientes para calcular el rendimiento del inversionista. Necesitas la Fórmula 14.2 para determinar el monto del pago del cupón de bonos. Utiliza la Fórmula 14.3 para calcular tanto el precio de compra como el precio de venta. Luego lo usas por tercera vez para resolver la tasa de interés periódica. Cuando resuelves por\(i\), el valor futuro del bono que sustituya en la fórmula debe ser el precio de venta del bono en la fecha futura, no el precio de canje.
Cómo funciona
Siga estos pasos para calcular el rendimiento del inversionista:
Paso 1: Dibuja una línea de tiempo como la que se muestra aquí, extendiéndose desde la fecha de compra hasta la fecha de vencimiento. Indique claramente la fecha de venta. Identificar todas las variables conocidas.
Paso 2: Usando la Fórmula 14.2, calcule el monto del pago de intereses de bonos.
Paso 3: Si es necesario, calcule el precio de compra utilizando la Fórmula 14.3. Al igual que en procedimientos anteriores, utilice la Fórmula 11.1 para calcular la base semestral\(N\) que representa tanto el número total de compuestos como el número total de pagos. Utilice la tasa de mercado al momento de la compra.
Paso 4: Si es necesario, calcule el precio de venta usando la Fórmula 14.3 de la misma manera. Utilice la tasa de mercado en el momento de la venta.
Paso 5: Resolver para la tasa nominal de interés (\(IY\)) entre la fecha de compra y la fecha de venta. El precio de compra es el precio de fecha, y el precio de venta es el valor futuro (\(FV\)).
- Si usa un método manual, sustituya todos los números conocidos en la Fórmula 14.3 y resuelva la tasa de interés periódica (\(i\)). Conviértelo en una tasa de interés nominal usando la Fórmula 9.1.
- Alternativamente, si se usa tecnología como una calculadora, entonces ingrese todas las variables conocidas y resuelva directamente para la tasa de interés nominal (IY).
Notas Importantes
Los mismos dos requisitos que se aplicaron para calcular el rendimiento hasta el vencimiento persisten al calcular el rendimiento del inversionista:
- La negociación se realiza solo en fechas de pago de intereses.
- El tenedor de bonos reinvierte todos los pagos de cupones a la misma tasa de interés.
En cada una de las siguientes, determine si el rendimiento del inversionista aumenta, disminuye o sigue siendo el mismo.
- Un bono se compra cuando el rendimiento del mercado es del 5% y luego se vende cuando la tasa de mercado es del 5%.
- Un bono se compra cuando el rendimiento del mercado es del 5% y luego se vende cuando la tasa de mercado es del 6%.
- Contestar
-
- Aumenta; una tasa de mercado más baja hace que el precio de venta suba.
- Lo mismo; ningún cambio en la tasa de mercado da como resultado ningún cambio en el rendimiento.
- Disminuye; una tasa de mercado más alta hace que el precio de venta baje
Se compró un bono de valor nominal de $1,000 con cupón de 7% y 12 años hasta su vencimiento por $1,084.68 cuando las tasas de mercado fueron de 6%. Se vendió siete años después por $920.87, cuando las tasas de mercado eran de 9%. ¿Qué rendimiento se dio cuenta el tenedor de bonos?
Solución
El rendimiento del inversionista representa la tasa nominal de interés sobre el bono durante el tiempo que el inversionista poseía el bono, o\(IY\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
El cronograma para la compra y venta del bono aparece a continuación.
Pago de Intereses de Cupón:\(CPN\)\(CY\) = 7%, = 2, Valor nominal = $1,000 Compra/Venta de
Bono:\(PV\) = $1,084.68,\(FV\) = $920.87,\(CY\) = 2,\(PMT_{BOND}\) = Fórmula 14.2,\(PY\) = 2, Años retenidos = 7
Cómo Llegarás
Paso 2:
Aplicar la Fórmula 14.2 para determinar el pago periódico de intereses de bonos.
Paso 3:
Determinar el precio de compra del bono. Se conoce en $1,084.68 y no necesita ser calculado. Este es el precio de fecha para el paso 5.
Paso 4:
Determinar el precio de venta del bono. Se conoce en $920.87 y no necesita ser calculado. Este es el valor futuro (\(FV\)) para el paso 5.
Paso 5:
Aplicar las Fórmulas 11.1, 14.3 y 9.1 para determinar el rendimiento del inversionista (\(IY\)). Resuelve las Fórmulas 14.3 y 9.1 usando tu calculadora.
Realizar
Paso 2:
\[PMT_{BOND}=\$ 1,000 \times \dfrac{0.07}{2}=\$ 35 \nonumber \]
Paso 5:
\(N=2 \times 7=14\)(compuestos y pagos)
\[\$ 1,084.68=\dfrac{\$ 920.87}{(1+i)^{14}}+\$ 35\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{1+i}\right]^{14}}{i}\right] \quad i=\dfrac{I Y}{2} \nonumber \]
Salida de la calculadora\(= IY=4.6003 \%\)
Instrucciones de la calculadora
| Modo | N | I/Y | PV |
|---|---|---|---|
| FINAL | 14 | Respuesta: 4,600320 | -1084.68 |
| PMT | FV | P/Y | C/Y |
|---|---|---|---|
| 35 | 920.87 | 2 | 2 |
El precio del mercado de bonos bajó significativamente debido al aumento de 3% en la tasa de mercado durante el período de siete años. Así, el inversionista no se da cuenta del rendimiento original hasta el vencimiento del 6% (la tasa de mercado), y de hecho el rendimiento del inversionista ha bajado a 4.6003% compuesto semestralmente.
En las discusiones de apertura a las Secciones 14.1 y 14.2, usted había invertido en 10 bonos de valor nominal del Gobierno de Canadá de $5,000 con un cupón de 5% y 20 años restantes hasta su vencimiento, pagando $4,699.02 cada uno cuando las tasas de bonos prevalecientes eran de 5.5%. Se nota hoy, 10 años después, que las tasas de bonos prevalecientes han bajado a 3.35%. ¿Qué rendimiento de inversionista te darías cuenta si vendieras tus bonos hoy?
Solución
Es necesario calcular el rendimiento para solo uno de los 10 bonos ya que, por supuesto, el rendimiento es el mismo en todos los bonos. El rendimiento del inversionista representa la tasa nominal de interés sobre el bono durante el tiempo que usted posee el bono, o\(IY\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
El cronograma para la compra y venta del bono aparece a continuación.
Pago de Intereses de Cupón:\(CPN\)\(CY\) = 5%, = 2, Valor nominal = $5,000
Compra de Bono:\(PV\) = $4,699.02
Venta de Bonos:\(FV\) = $5,000,\(IY\) = 3.35%,\(CY\) = 2,\(PMT_{BOND}\) = Fórmula 14.2,\(PY\) = 2, Años Restantes = 10
Compra/Venta de Bonos:\(PV\) = $4,699.02,\(FV\) = Precio de Venta,\(CY\) = 2,\(PMT_{BOND}\) = Fórmula 14.2,\(PY\) = 2, Años Retenidos = 10
Cómo Llegarás
Paso 2:
Aplicar la Fórmula 14.2 para determinar el pago periódico de intereses de bonos.
Paso 3:
Determinar el precio de compra del bono. Se conoce en $4,699.02 y no necesita ser calculado. Este es el precio de fecha para el paso 5.
Paso 4:
Determine el precio de venta del bono aplicando las Fórmulas 9.1, 11.1 y 14.3. Este es el valor futuro (\(FV\)) para el paso 5.
Paso 5:
Aplicar las Fórmulas 11.1, 14.3 y 9.1 para determinar el rendimiento del inversionista (\(IY\)). Resuelve las Fórmulas 14.3 y 9.1 usando la calculadora.
Realizar
Paso 2:
\[PMT_{BOND}=\$ 5,000 \times \dfrac{0.05}{2}=\$ 125 \nonumber \]
Paso 4:
\(i=3.35 \% / 2=1.675 \% ; N=2 \times 10=20\)(compuestos y pagos)
\[\text { Date Price }=\dfrac{\$ 5,000}{(1+0.01675)^{20}}+\$ 125\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{1+0.01675}\right]^{20}}{0.01675}\right]=\$ 5,696.14 \nonumber \]
Paso 5:
\(N=2 \times 10=20 \)(compuestos y pagos)
\[\$ 4,699.02=\dfrac{\$ 5,696.14}{(1+i)^{20}}+\$ 125\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{1+i}\right]^{20}}{i}\right] \quad i=\dfrac{IY}{2} \nonumber \]
Salida de la calculadora\(=IY=6.8338 \%\)
Instrucciones de la calculadora
| Paso | Modo | N | I/Y | PV | PMT | FV | P/Y | C/Y |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | FINAL | 20 | 3.35 | Respuesta: 5,696,138252 | 125 | 5000 | 2 | 2 |
| 5 | \(\surd\) | \(\surd\) | Respuesta: 6.833820 | -4,699.02 | \(\surd\) | 5696.14 | \(\surd\) | \(\surd\) |
El precio del mercado de bonos aumentó significativamente durante el periodo de 10 años debido a que la tasa de mercado bajó de 5.5% a 3.35%. Así, el inversionista se da cuenta más que el rendimiento original a vencimiento de 5.5% (la tasa de mercado), y de hecho el rendimiento del inversionista ha subido a 6.8338% compuesto semestralmente.