2.2: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Método Gauss-Jordan
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En esta sección aprenderás a
- Representar un sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada
- Resuelve el sistema usando operaciones elementales de fila.
En esta sección, aprendemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando un proceso llamado método Gauss-Jordan. El proceso comienza expresando primero el sistema como una matriz, y luego reduciéndolo a un sistema equivalente mediante simples operaciones de fila. El proceso se continúa hasta que la solución es obvia a partir de la matriz. La matriz que representa el sistema se llama matriz aumentada, y la manipulación aritmética que se utiliza para pasar de un sistema a un sistema equivalente reducido se denomina operación de fila.
Escribe el siguiente sistema como una matriz aumentada.
\ [\ begin {array} {l}
2 x+3 y-4 z=5\\
3 x+4 y-5 z=-6\\
4 x+5 y-6 z=7
\ end {array}\ nonumber\]
Solución
Expresamos la información anterior en forma de matriz. Dado que un sistema está totalmente determinado por su matriz de coeficientes y por su matriz de términos constantes, la matriz aumentada incluirá únicamente la matriz de coeficientes y la matriz constante. Entonces la matriz aumentada que obtenemos es la siguiente:
\ [\ left [\ begin {array} {ccc|c}
2 & 3 & -4 & 5\\
3 & 4 & -5 & -6\\
4 & 5 & -6 & 7
\ end {array}\ nonumber\ derecha]\ nonumber\]
En la última sección, expresamos el sistema de ecuaciones como\(AX = B\), donde\(A\) representaba la matriz de coeficientes, y\(B\) la matriz de términos constantes. Como matriz aumentada, escribimos la matriz como\(\left[\begin{array}{l|l}A & B \end{array}\right]\). Es claro que toda la información se mantiene en esta forma matricial, y sólo las letras\(x\),\(y\) y\(z\) faltan. Un estudiante puede optar por escribir\(x\),\(y\) y\(z\) encima de las tres primeras columnas para ayudar a facilitar la transición.
Para la siguiente matriz aumentada, escriba el sistema de ecuaciones que representa.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 3 & -5 & | & 2\\
2 & 0 & -3 & | & -5\
3 & 2 & -3 & | & -1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Solución
El sistema se obtiene fácilmente como se indica a continuación.
\ [\ begin {array} {l}
x+3 y-5 z=2\\
2 x-3 z=-5\\
3 x+2 y-3 z=-1
\ end {array}\ nonumber\]
Una vez que un sistema se expresa como una matriz aumentada, el método Gauss-Jordan reduce el sistema en una serie de sistemas equivalentes mediante el uso de las operaciones de fila. Esta reducción de filas continúa hasta que el sistema se expresa en lo que se llama la forma de escalón de fila reducida. La forma de escalón de fila reducida de la matriz de coeficientes tiene 1's a lo largo de la diagonal principal y ceros en otra parte. La solución se obtiene fácilmente de esta forma.
El método no es muy diferente de las operaciones algebraicas que empleamos en el método de eliminación en el primer capítulo. La diferencia básica es que es algorítmica por naturaleza, y, por lo tanto, puede programarse fácilmente en una computadora.
A continuación resolveremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando el método de eliminación, para luego mostrar que el método es análogo al método Gauss-Jordan.
Resolver el siguiente sistema por el método de eliminación.
\ [\ begin {array} {l}
x+3 y=7\\
3 x+4 y=11
\ end {array}\ nonumber\]
Solución
Multiplicamos la primera ecuación por — 3, y la agregamos a la segunda ecuación.
\ begin {alineado}
-3 x-9 y &=-21\\
3 x+4 y &=11\\ hline
-5y &=-10
\ end {alineado}
Al hacer esto transformamos nuestro sistema original en un sistema equivalente:
\ begin {alineado}
x+3 y &=7\\
-5 y &=-10
\ end {alineado}
Dividimos la segunda ecuación por — 5, y obtenemos el siguiente sistema equivalente.
\ begin {alineado}
x+3 y &=7\\
y &=2
\ end {alineado}
Ahora multiplicamos la segunda ecuación por — 3 y sumamos a la primera, obtenemos
\ [\ begin {array} {l}
x=1\\
y=2
\ end {array}\ nonumber\]
Resolver el siguiente sistema del Ejemplo 3 por el método Gauss-Jordan, y mostrar las similitudes en ambos métodos escribiendo las ecuaciones junto a las matrices.
\ begin {array} {l}
x+3 y=7\\
3 x+4 y=11
\ end {array}
Solución
La matriz aumentada para el sistema es la siguiente.
\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7\\
3 & 4 & | & 11
\ end {array}\ right]\ quad\ left [\ begin {array} {c}
x+3 y=7\\
3 x+4 y=11
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Multiplicamos la primera fila por — 3, y agregamos a la segunda fila.
\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7\\
0 & -5 & | & -10
\ end {array}\ right]\ quad\ left [\ begin {array} {c}
x+3 y&=7\\
-5 y&=-10
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Dividimos la segunda fila por — 5, obtenemos,
\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 3 & | & 7\\
0 & 1 & | & 2
\ end {array}\ right]\ quad\ left [\ begin {array} {rl}
x+3 y & =7\\
y & =2
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Finalmente, multiplicamos la segunda fila por — 3 y sumamos a la primera fila, y obtenemos,
\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 0 & | & 1\\
0 & 1 & | & 2
\ end {array}\ right]\ quad\ left [\ begin {array} {l}
x=1\\
y=2
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Ahora enumeramos las operaciones de tres filas que emplea el método Gauss-Jordan.
- Se pueden intercambiar dos filas cualesquiera en la matriz aumentada.
- Cualquier fila puede multiplicarse por una constante distinta de cero.
- Se puede agregar un múltiplo constante de una fila a otra fila.
Se puede ver fácilmente que estas operaciones de tres filas pueden hacer que el sistema se vea diferente, pero no cambian la solución del sistema.
La operación de primera fila establece que si se intercambian dos filas cualesquiera de un sistema, el nuevo sistema obtenido tiene la misma solución que el anterior. Veamos un ejemplo en dos ecuaciones con dos incógnitas. Considerar el sistema
\ begin {alineado}
x+3 y&=7\\
3 x+4 y&=11
\ end {alineado}
Intercambiamos las filas, y obtenemos,
\ begin {alineado}
3 x+4 y&=11\\
x+3 y&=7
\ end {alineado}
Claramente, este sistema tiene la misma solución que el anterior.
La segunda operación establece que si una fila se multiplica por cualquier constante distinta de cero, el nuevo sistema obtenido tiene la misma solución que la anterior. Consideremos nuevamente el sistema anterior,
\ begin {alineado}
x+3 y&=7\\
3 x+4 y&=11
\ end {alineado}
Multiplicamos la primera fila por —3, obtenemos,
\ begin {alineado}
-3 x-9 y &=-21\\
3 x+4 y &=11
\ end {alineado}
Nuevamente, es obvio que este nuevo sistema tiene la misma solución que el original.
La operación de la tercera fila establece que cualquier múltiplo constante de una fila agregada a otra preserva la solución. Considere nuestro sistema,
\ begin {alineado}
x+3 y&=7\\
3 x+4 y&=11
\ end {alineado}
Si multiplicamos la primera fila por —3, y la agregamos a la segunda fila, obtenemos,
\ begin {alineado}
x+3 y&=7\\
-5 y&=-10
\ end {alineado}
Y una vez más, se mantiene la misma solución.
Ahora que entendemos cómo funcionan las operaciones de tres filas, es el momento de introducir el método Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Como se mencionó anteriormente, el método Gauss-Jordan comienza con una matriz aumentada, y por una serie de operaciones de fila termina con una matriz que está en la forma de escalón de fila reducida.
Una matriz está en forma de escalón de fila reducida si la primera entrada distinta de cero en cada fila es un 1, y las columnas que contienen estos 1 tienen todas las demás entradas como ceros. La forma de escalón de fila reducida también requiere que la entrada inicial en cada fila esté a la derecha de la entrada inicial en la fila superior, y que las filas que contienen todos los ceros se muevan hacia abajo hasta la parte inferior. Declaramos el método Gauss-Jordan de la siguiente manera.
- Escribe la matriz aumentada.
- Intercambia filas si es necesario para obtener un número distinto de cero en la primera fila, primera columna.
- Utilice una operación de fila para obtener un 1 como entrada en la primera fila y la primera columna.
- Utilice operaciones de fila para hacer todas las demás entradas como ceros en la columna uno.
- Intercambia filas si es necesario para obtener un número distinto de cero en la segunda fila, segunda columna. Utilice una operación de fila para hacer esta entrada 1. Utilice operaciones de fila para hacer todas las demás entradas como ceros en la columna dos.
- Repita el paso 5 para la fila 3, columna 3. Continúa moviéndote por la diagonal principal hasta llegar a la última fila, o hasta que el número sea cero.
La matriz final se llama la forma reducida de fila-escalón.
Resuelve el siguiente sistema por el método Gauss-Jordan.
\ begin {alineado}
2 x+y+2 z &=10\\
x+2 y+z &=8\\
3 x+y-z &=2
\ end {alineado}
Solución
Escribimos la matriz aumentada.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
2 & 1 & 2 & | & 10\\
1 & 2 & 1 & | & 8\\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Queremos un 1 en la fila uno, columna uno. Esto se puede obtener dividiendo la primera fila por 2, o intercambiando la segunda fila con la primera. Intercambiar las filas es una mejor opción porque de esa manera evitamos fracciones.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
2 & 1 & 2 & | & 10\\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array}\ derecha]\ quad\ text {intercambiamos fila 1 (R1) y fila 2 (R2)}\ nonumber\]
Tenemos que hacer todas las demás entradas ceros en la columna 1. Para hacer de la entrada (2) un cero en la fila 2, columna 1, multiplicamos la fila 1 por - 2 y la agregamos a la segunda fila. Obtenemos,
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & -3 & 0 & | & -6\\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array}\ derecha]\ quad-2 R 1+R 2\ nonumber\]
Para hacer de la entrada (3) un cero en la fila 3, columna 1, multiplicamos la fila 1 por - 3 y la agregamos a la tercera fila. Obtenemos,
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & -3 & 0 & | & -6\\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array}\ derecha]\ quad-3 R 1+R 3\ nonumber\]
Hasta el momento hemos hecho un 1 en la esquina izquierda y todas las demás entradas ceros en esa columna. Ahora pasamos a la siguiente entrada diagonal, fila 2, columna 2. Necesitamos hacer esta entrada (—3) un 1 y hacer todas las demás entradas en esta columna ceros. Para hacer que la fila 2, columna 2 ingrese a 1, dividimos toda la segunda fila por —3.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array}\ derecha]\ quad\ mathrm {R} 2\ div (-3)\ nonumber\]
A continuación, hacemos todas las demás entradas ceros en la segunda columna.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 0 & -4 & | & -12
\ end {array}\ derecha]\ quad-2 R 2+R 1\ text {y} 5 R 2+R 3\ nonumber\]
Hacemos la última entrada diagonal a 1, dividiendo la fila 3 por — 4.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array}\ derecha]\ quad\ quad R 3\ div (-4)\ nonumber\]
Por último, hacemos todas las demás entradas ceros en la columna 3.
\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 0 & | & 1\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array}\ derecha]\ quad-\ mathrm {R} 3+\ mathrm {R} 1\ nonumber\]
Claramente, la solución lee\(x =1\),\(y = 2\), y\(z = 3\).
Antes de salir de esta sección, mencionamos algunos términos que tal vez necesitemos en el capítulo cuarto.
El proceso de obtener un 1 en una ubicación, y luego hacer todas las demás entradas ceros en esa columna, se llama pivotante.
El número que se hace un 1 se llama el elemento pivote, y la fila que contiene el elemento pivote se llama fila de pivote.
Muchas veces multiplicamos la fila de pivote por un número y la agregamos a otra fila para obtener un cero en esta última. La fila a la que se agrega un múltiplo de fila de pivote se llama fila de destino.