5.2: Modelos de Crecimiento Exponencial y Decaimiento

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, aprenderás a

Reconocer y modelar el crecimiento exponencial y la decadencia
Comparar crecimiento lineal y exponencial
Distinguir entre funciones exponenciales y de potencia

Comparación del crecimiento exponencial y lineal

Considera dos sitios de redes sociales que están ampliando el número de usuarios que tienen:

El sitio A tiene 10,000 usuarios y se expande al agregar 1,500 nuevos usuarios cada mes
El Sitio B tiene 10,000 usuarios, y se expande al aumentar el número de usuarios en un 10% cada mes.

El número de usuarios para el Sitio A se puede modelar como crecimiento lineal. El número de usuarios aumenta en un número constante, 1500, cada mes. Si$x$ = el número de meses que han pasado y$y$ es el número de usuarios, el número de usuarios después de$x$ meses es$y = 10000+1500x$. Para el sitio B, la base de usuarios se expande en un porcentaje constante cada mes, en lugar de en un número constante. Crecimiento que ocurre a un porcentaje constante cada unidad de tiempo se denomina crecimiento exponencial.

Podemos ver el crecimiento de cada sitio para entender la diferencia. En la tabla se compara el número de usuarios de cada sitio durante 12 meses. La tabla muestra los cálculos de los primeros 4 meses solamente, pero utiliza el mismo proceso de cálculo para completar el resto de los 12 meses.

Mes	Usuarios en el Sitio A	Usuarios en el Sitio B
0	$10000$	$10000$
1	$10000 + 1500 = 11500$	\ (\ begin {alineado} 10000+&10\%\ text {de} 10000\\ =& 10000+0.10 (10000)\\ =& 10000 (1.10) =11000 \ end {alineado}\)
2	$11500 + 1500 = 13000$	\ (\ begin {alineado} 11000+&10\%\ text {de} 11000 &\\ =&11000+0.10 (11000)\\ =&11000 (1.10) =12100 \ end {alineado}\)
3	$13000 + 1500 = 14500$	\ (\ begin {alineado} 12100+&10\%\ text {de} 12100 &\\ =&12100+0.10 (12100)\\ =&12100 (1.10) =13310 \ end {alineado}\)
4	$14500 + 1500 = 16000$	\ (\ begin {alineado} 13310+&10\%\ text {de} 13310\\ =&13310+0.10 (13310)\\ =&13310 (1.10) =14641 \ end {alineado}\)
5	$17500$	$16105$
6	$19000$	$17716$
7	$20500$	$19487$
8	$22000$	$21436$
9	$23500$	$23579$
10	$25000$	$25937$
11	$26500$	$28531$
12	$28000$	$31384$

Para el Sitio B, podemos reexpresar los cálculos para ayudarnos a observar los patrones y desarrollar una fórmula para el número de usuarios después de x meses.

Mes 1:$y = 10000(1.1) = 11000$
Mes 2:$y = 11000(1.1) = 10000(1.1)(1.1)=\mathbf{10000(1.1)^2}= 12100$
Mes 3:$y = 12100(1.1) = 10000(1.1)^2 (1.1)=\mathbf{10000(1.1)^3}= 13310$
Mes 4:$y = 13310(1.1) = 10000(1.1)^3 (1.1)=\mathbf{10000(1.1)^4}= 14641$

Al observar los patrones en los cálculos para los meses 2, 3 y 4, podemos generalizar la fórmula. Después de$x$ meses, el número de usuarios$y$ viene dado por la función$\mathbf{y = 10000(1.1)^x}$

Uso de Funciones Exponentil para Modelar Crecimiento y Decaimiento

En crecimiento exponencial, el valor de la variable dependiente$y$ aumenta a una tasa de porcentaje constante a medida que aumenta el valor de la variable independiente ($x$o$t$). Ejemplos de funciones de crecimiento exponencial incluyen:

el número de residentes de una ciudad o nación que crece a una tasa porcentual constante.
la cantidad de dinero en una cuenta bancaria que gana intereses si el dinero se deposita en un solo momento y se deja en el banco para que se compense sin ningún retiro.

En decaimiento exponencial, el valor de la variable dependiente y disminuye a una tasa de porcentaje constante a medida que aumenta el valor de la variable independiente ($x$o$t$). Ejemplos de funciones de decaimiento exponencial incluyen:

valor de un automóvil o equipo que se deprecia a una tasa porcentual constante a lo largo del tiempo
la cantidad de un medicamento que aún permanece en el cuerpo a medida que pasa el tiempo después de ser ingerido
la cantidad de material radiactivo restante a lo largo del tiempo a medida que una sustancia radiactiva se desintegr

Las funciones exponenciales a menudo modelan cantidades en función del tiempo; por lo tanto, a menudo usamos la letra$t$ como variable independiente en lugar de$x$.

La tabla compara las funciones de crecimiento exponencial y decaimiento exponencial:

Crecimiento exponencial	Decaimiento exponencial
La cantidad crece en un porcentaje constante por unidad de tiempo	La cantidad disminuye en un porcentaje constante por unidad de tiempo
\(\mathbf{y=ab^x}\) \(a\)es un número positivo que representa el valor inicial de la función cuando\(x = 0\) \(b\)es un número real que es mayor que 1:\(b > 1\) la tasa de crecimiento\(r\) es un número positivo,\(r > 0\) donde\(b = 1+ r\) (para que\(r = b-1\))	\(\mathbf{y=ab^x}\) \(a\)es un número positivo que representa el valor inicial de la función cuando\(x = 0\) \(b\)es un número real que está entre 0 y 1:\(0 < b < 1\) la tasa de decaimiento\(r\) es un número negativo,\(r < 0\) donde\(b = 1+ r\) (para que\(r = b-1\))

Crecimiento exponencial

Decaimiento exponencial

La cantidad crece en un porcentaje constante
por unidad de tiempo

La cantidad disminuye en un porcentaje constante por unidad de tiempo

$\mathbf{y=ab^x}$

$a$es un número positivo que representa el valor inicial de la función cuando$x = 0$
$b$es un número real que es mayor que 1:$b > 1$
la tasa de crecimiento$r$ es un número positivo,$r > 0$ donde$b = 1+ r$ (para que$r = b-1$)

$\mathbf{y=ab^x}$

$a$es un número positivo que representa el valor inicial de la función cuando$x = 0$
$b$es un número real que está entre 0 y 1:$0 < b < 1$
la tasa de decaimiento$r$ es un número negativo,$r < 0$ donde$b = 1+ r$ (para que$r = b-1$)

En general, el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de todos los números reales. El rango de una función de crecimiento o decaimiento exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos.

En la mayoría de las aplicaciones, la variable independiente,$x$ o$t$, representa el tiempo. Cuando la variable independiente representa el tiempo, podemos optar por restringir el dominio para que la variable independiente pueda tener solo valores no negativos para que la aplicación tenga sentido. Si restringimos el dominio, entonces el rango también está restringido.

Para una función de crecimiento exponencial$y=ab^x$ con$b>1$ y$a > 0$, si restringimos el dominio para que$x ≥ 0$, entonces el rango es$y ≥ a$.
Para una función de decaimiento exponencial$y=ab^x$ con$0<b<1$ y$a > 0$, si restringimos el dominio para que$x ≥ 0$, entonces el rango es$0 < y ≤ a$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considere los modelos de crecimiento para los sitios de redes sociales A y B, donde$x$ = número de meses desde que se inició el sitio y$y$ = número de usuarios. El número de usuarios del Sitio A sigue el modelo de crecimiento lineal:

\[y = 10000+1500x \nonumber. \nonumber \]

El número de usuarios del Sitio B sigue el modelo de crecimiento exponencial:

\[y=10000(1.1^x) \nonumber \]

Para cada sitio, utilice la función para calcular el número de usuarios al final del primer año, para verificar los valores en la tabla. Luego use las funciones para predecir el número de usuarios después de 30 meses.

Solución

Ya que$x$ se mide en meses, luego$x = 12$ al final de un año.

Modelo de Crecimiento Lineal:

Cuando$x = 12$ meses, luego$y = 10000 + 1500(12) = 28,000$ usuarios
Cuando$x = 30$ meses, luego$y = 10000 + 1500(30) = 55,000$ usuarios

Modelo de Crecimiento Exponencial:

Cuando$x = 12$ meses, luego$y = 10000(1.1^{12}) = 31,384$ usuarios
Cuando$x = 30$ meses, luego$y = 10000(1.1^{30}) =174,494$ usuarios

Vemos que a medida que$x$, el número de meses, aumenta, la función de crecimiento exponencial crece más rápido que la función lineal (aunque en Ejemplo$\PageIndex{1}$ la función lineal inicialmente creció más rápido). Esta es una característica importante del crecimiento exponencial: las funciones de crecimiento exponencial siempre crecen más rápido y más grandes a largo plazo que las funciones de crecimiento lineal.

Es útil usar la notación de funciones, escritura$y = f(t) = ab^t$, para especificar el valor$t$ en el que se evalúa la función.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Un bosque tiene una población de 2000 ardillas que está aumentando a razón de 3% anual. Let$t$ = número de años y$y = f(t) =$ número de ardillas a la vez$t$.

Encuentra la función de crecimiento exponencial que modela el número de ardillas en el bosque al final de los$t$ años.
Usa la función para encontrar el número de ardillas después de 5 años y después de 10 años

Solución

a. La función de crecimiento exponencial es$y = f(t) = ab^t$, donde$a = 2000$ debido a que la población inicial es de 2000 ardillas

La tasa de crecimiento anual es de 3% anual, se afirma en el problema. Expresaremos esto en forma decimal como$r = 0.03$

Entonces$b = 1+r = 1+0.03 = 1.03$

Respuesta: La función de crecimiento exponencial es$y = f(t) = 2000(1.03^t)$

b. Después de 5 años, la población de ardillas es$y = f(5) = 2000(1.03^5) \approx 2319$ ardillas

Después de 10 años, la población de ardillas es$y = f(10) = 2000(1.03^{10}) \approx 2688$ ardillas

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Un lago grande tiene una población de 1000 ranas. Desafortunadamente la población de ranas está disminuyendo a razón de 5% anual. Let$t$ = número de años y$y$ =$g(t)$ = el número de ranas en el lago en el momento$t$.

Encuentra la función de decaimiento exponencial que modela la población de ranas.
Calcular el tamaño de la población de ranas después de 10 años.

Solución

a. La función de decaimiento exponencial es$y = g(t) = ab^t$, donde$a = 1000$ debido a que la población inicial es de 1000 ranas

La tasa de decaimiento anual es de 5% anual, se afirma en el problema. Las palabras disminuyen y decaimiento indicaron que$r$ es negativo. Esto lo expresamos como$r = -0.05$ en forma decimal.

Entonces,$b = 1+ r = 1+ (-0.05) = 0.95$

Respuesta: La función de decaimiento exponencial es:$y = g(t) = 1000(0.95^t)$

b. Después de 10 años, la población de$y = g(10) = 1000(0.95^{10}) \approx 599$ ranas es ranas

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Una población de bacterias viene dada por la función$y = f(t) = 100(2^t)$, donde$t$ se mide el tiempo en horas y$y$ es el número de bacterias en la población.

¿Cuál es la población inicial?
¿Qué le sucede a la población en la primera hora?
¿Cuánto tiempo tarda la población en llegar a 800 bacterias?

Solución

a. La población inicial es de 100 bacterias. Sabemos esto porque$a = 100$ y porque en el momento$t = 0$, entonces$f(0) = 100(2^0) = 100(1)=100$

b. Al cabo de 1 hora, la población es$y = f(1) = 100(2^1) = 100(2)=200$ bacteriana.
La población se ha duplicado durante la primera hora.

c. Necesitamos encontrar el$t$ momento en el que$f(t) = 800$. Sustituir 800 como el valor de$y$:

\ [\ begin {array} {l}
y=f (t) =100\ left (2^ {t}\ right)\\
800=100\ left (2^ {t}\ right)
\ end {array}\ nonumber\]

Divide ambos lados por 100 para aislar la expresión exponencial en un lado

\[8=1\left(2^{\mathrm{t}}\right) \nonumber \]

8 = 2 ³, por lo que la población tarda$t = 3$ horas en llegar a 800 bacterias.

Dos notas importantes sobre Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Al resolver$8 = 2^t$, “sabíamos” que$t$ es 3. Pero normalmente no podemos saber el valor de la variable con solo mirar la ecuación. Posteriormente utilizaremos logaritmos para resolver ecuaciones que tengan la variable en el exponente.
Para resolver$800 = 100(2^t)$, dividimos ambos lados por 100 para aislar la expresión exponencial$2^t$. No podemos multiplicar 100 por 2. Incluso si lo escribimos como$800 =100(2)^t$, que es equivalente, todavía no podemos multiplicar 100 por 2. El exponente aplica sólo a la cantidad inmediatamente anterior a él, por lo que el exponente t aplica sólo a la base de 2.

Comparación de funciones lineales, exponenciales y de potencia

Para identificar el tipo de función a partir de su fórmula, necesitamos anotar cuidadosamente la posición que ocupa la variable en la fórmula.

Una función lineal se puede escribir en la forma$\mathbf{y=a x+b}$

Como estudiamos en el capítulo 1, existen otras formas en las que se pueden escribir ecuaciones lineales, pero todas las funciones lineales se pueden reorganizar para tener forma$y = mx + b$.

Una función exponencial tiene forma$\mathbf{y=ab^x}$

La variable$\mathbf{x}$ está en el exponente. La base$b$ es un número positivo.

Si$b>1$, la función representa crecimiento exponencial.
Si$0 < b < 1$, la función representa decaimiento exponencial

Una función de potencia tiene forma$\mathbf{y=cx^P}$

La variable$\mathbf{x}$ está en la base. El exponente$p$ es un número distinto de cero.

Comparamos tres funciones:

función lineal$y = f(x) = 2x$
función exponencial$y = g(x) = 2^x$
función de potencia$y = h(x) = x^2$

$\mathbf{x}$	$\mathbf{y = f(x) =2x}$	$\mathbf{y = g(x) =2^x}$	$\mathbf{y= h(x) =x^2}$
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">0	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">0	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">1	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">0
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">1	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">2	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">2	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">1
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">2	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">4
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">3	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">6	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">8	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">9
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">8	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">16	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">16
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">5	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">10	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">32	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">25
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">6	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">12	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">64	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">36
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">10	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">20	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">1024	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">100
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Tipo de función	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Lineal$y = mx+b$	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Exponencial$y = ab^x$	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="LT-MATH-38596">Potencia$y = cx^P$
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Cómo reconocer la ecuación para este tipo de función.	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">todos los términos son de primer grado;$m$ es pendiente;$b$ es la$y$ intercepción	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">base es un número$b>0$; la variable está en el exponente	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">la variable está en la base; el exponente es un número$\mathrm{p} \neq 0$
\ (\ mathbf {x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="lt-math-38596">	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Para intervalos iguales de cambio en$x$,$y$ aumenta en una cantidad constante	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)” nowrap="nowrap” valign="top” class="LT-MATH-38596">Para intervalos iguales de cambio en$x$,$y$ aumenta en una relación constante	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)” valign="top” class="lt-math-38596">

Para las funciones de la tabla anterior: función lineal$y = f(x) = 2x$, función exponencial y función$y = g(x) = 2^x$ de potencia$y = h(x) = x^2$, si restringimos el dominio a$x ≥ 0$ solo, entonces todas estas funciones son funciones de crecimiento. Cuando$x ≥ 0$, el valor de los$y$ aumentos como el valor de los$x$ aumentos.

La función de crecimiento exponencial crece más rápido que las funciones lineales y de potencia, ya que$x$ se vuelve grande. Esto siempre es cierto para las funciones de crecimiento exponencial, ya que$x$ se vuelve lo suficientemente grande.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Clasifique las siguientes funciones como funciones exponenciales, lineales o de potencia.

$y=10x^3$
$y=1000-30x$
$y=1000\left(1.05^x\right)$
$y=500(0.75^x)$
$y=10\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$
$y=5x-1$
$y=6/x^2=6x^{-2}$

Solución:

Las funciones exponenciales son

c.$y=1000\left(1.05^x\right)$ La variable está en el exponente; la base es el número$b = 1.05$

d.$y=500(0.75^x)$\) La variable está en el exponente; la base es el número$b = 0.75$

Las funciones lineales son

b.$y=1000-30x$

f.$y=5x-1$

Las funciones de alimentación son

a.$y=10x^3$ La variable es la base; el exponente es un número fijo,$p=3$.

e.$y=10\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ La variable es la base; el exponente es un número,$p=1/3$.

g.$y=6/x^2=6x^{-2}$ La variable es la base; el exponente es un número,$p = -2$.

BASE NATURAL: e

El número e se utiliza a menudo como base de una función exponencial. e se llama la base natural.

e es aproximadamente 2.71828

e es un número irracional con un número infinito de decimales; el patrón decimal nunca se repite.

La sección 6.2 incluye un ejemplo que muestra cómo se desarrolla el valor de e y por qué este número es matemáticamente importante. Los estudiantes que estudian Matemáticas Finitas ya deben estar familiarizados con el número e de sus clases de álgebra prerrequisito.

Cuando e es la base en una función de crecimiento o decaimiento exponencial, se denomina crecimiento continuo o decaimiento continuo. Utilizaremos e en el capítulo 6 en los cálculos financieros cuando examinemos intereses que se compongan continuamente.

Cualquier función exponencial se puede escribir en la forma$\mathbf{y = ae^{kx}}$

$\mathbf{k}$se llama tasa de crecimiento continuo o decaimiento.

Si$k > 0$, la función representa crecimiento exponencial
Si$k< 0$, la función representa decaimiento exponencial

$\mathbf{a}$es el valor inicial

Podemos reescribir la función en el formulario$\mathbf{y = ab^x}$, donde$\mathbf{b=e^k}$

En general, si conocemos una forma de la ecuación, podemos encontrar las otras formas. Por ahora, aún no hemos cubierto las habilidades para encontrar$k$ cuando sabemos$b$. Después de que aprendamos sobre logaritmos más adelante en este capítulo, encontraremos$k$ usando logaritmo natural:$k = \ln b$.

La siguiente tabla resume las formas de crecimiento exponencial y funciones de decaimiento.

	y = ab ^x	y = a (1+r) ^x	y = a e ^kx, k ≠ 0
Valor inicial	a>0	a>0	a>0
Relación entre b, r, k	b > 0	b=1+ r	b = e ^k y k = ln b
Crecimiento	b > 1	r > 0	k > 0
Decaimiento	0 < b < 1	r < 0	k < 0

Ejemplo$\PageIndex{6}$

El valor de las casas en una ciudad están aumentando a una tasa de crecimiento continuo de 6% anual. Para una casa que actualmente cuesta $400,000:

Escribe la función de crecimiento exponencial en la forma$y=ae^{kx}$.
¿Cuál sería el valor de esta casa dentro de 4 años?
Reescribir la función de crecimiento exponencial en la forma$y=ab^x$.
Encontrar e interpretar$r$.

Solución

a. El valor inicial de la casa es$a$ = $400000

El problema plantea que la tasa de crecimiento continuo es de 6% anual, por lo que$k$ = 0.06

La función de crecimiento es:$y=400000e^{0.06x}$

b. después de 4 años, el valor de la casa es$y=400000e^{0.06 (4)}$ = $508,500.

c. Para reescribir$y=400000e^{0.06x}$ en la forma$y = ab^x$, utilizamos el hecho de que$b=e^k$.

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {b} =e^ {0.06}\
\ mathrm {b} =1.06183657\ approx 1.0618\\
\ mathrm {y} =400000 (1.0618) ^ {\ mathrm {x}}
\ end {array}\ nonumber\]

d. Para encontrar$r$, utilizamos el hecho de que$b=1+ r$

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {b} =1.0618\\
1+\ mathrm {r} =1.0618\
\ mathrm {r} =0.0618
\ end {array}\ nonumber\]

El valor de la casa está aumentando a una tasa anual de 6.18%.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Supongamos que el valor de cierto modelo de auto nuevo disminuye a una tasa de decaimiento continuo de 8% anual. Para un auto que cuesta $20,000 cuando es nuevo:

Escribe la función de decaimiento exponencial en la forma$y=ae^{kx}$.
¿Cuál sería el valor de este auto dentro de 5 años?
Reescribir la función de decaimiento exponencial en la forma$y=ab^x$.
Encontrar e interpretar$r$.

Solución

a. El valor inicial del auto es$a$ = $20000

El problema plantea que la tasa de decaimiento continuo es de 8% anual, por lo que$k$ = -0.08

La función de crecimiento es:$y=20000e^{-0.08x}$

b. después de 5 años, el valor del automóvil es$y=20000 e^{-0.08 (5)}$ = $13,406.40.

c. Para reescribir$y=20000e^{-0.08x}$ en la forma$y=ab^x$, utilizamos el hecho de que$b=e^k$.

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {b} =e^ {-0.08}\\
\ mathrm {b} =0.9231163464\ approx 0.9231\
\ mathrm {y} =20000 (0.9231) ^ {\ mathrm {x}}
\ end {array}\ nonumber\]

d. Para encontrar$r$, utilizamos el hecho de que$b=1+ r$

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {b} =0.9231\\
\ mathrm {l} +\ mathrm {r} =0.9231\\
\ mathrm {r} =0.9231-1=-0.0769
\ end {array}\ nonumber\]

El valor del automóvil está disminuyendo a una tasa anual de 7.69%.

Mes	Usuarios en el Sitio A	Usuarios en el Sitio B
0	\(10000\)	\(10000\)
1	\(10000 + 1500 = 11500\)	\ (\ begin {alineado} 10000+&10\%\ text {de} 10000\\ =& 10000+0.10 (10000)\\ =& 10000 (1.10) =11000 \ end {alineado}\)
2	\(11500 + 1500 = 13000\)	\ (\ begin {alineado} 11000+&10\%\ text {de} 11000 &\\ =&11000+0.10 (11000)\\ =&11000 (1.10) =12100 \ end {alineado}\)
3	\(13000 + 1500 = 14500\)	\ (\ begin {alineado} 12100+&10\%\ text {de} 12100 &\\ =&12100+0.10 (12100)\\ =&12100 (1.10) =13310 \ end {alineado}\)
4	\(14500 + 1500 = 16000\)	\ (\ begin {alineado} 13310+&10\%\ text {de} 13310\\ =&13310+0.10 (13310)\\ =&13310 (1.10) =14641 \ end {alineado}\)
5	\(17500\)	\(16105\)
6	\(19000\)	\(17716\)
7	\(20500\)	\(19487\)
8	\(22000\)	\(21436\)
9	\(23500\)	\(23579\)
10	\(25000\)	\(25937\)
11	\(26500\)	\(28531\)
12	\(28000\)	\(31384\)

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