5.4: Logaritmos y funciones logarítmicas
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En esta sección aprenderás
- la definición de función logarítmica como la inversa de la función exponencial
- escribir expresiones logarítmicas y exponenciales equivalentes
- la definición de tronco común y registro natural
- propiedades de troncos
- para evaluar registros usando la fórmula de cambio de base
El logaritmo
Supongamos que se espera que una población de 50 moscas se duplique cada semana, llevando a una función de la forma\(f(x) = 50(2)^x\), donde\(x\) representa el número de semanas que han pasado. ¿Cuándo llegará esta población a 500?
Tratar de resolver este problema lleva a
\[500 = 50(2)^x\nonumber \]
Dividiendo ambos lados por 50 para aislar las derivaciones exponenciales a
\[10 = 2^x . \nonumber \]
Si bien hemos configurado modelos exponenciales y los hemos usado para hacer predicciones, es posible que hayas notado que aún no se ha mencionado la resolución de ecuaciones exponenciales. La razón es simple: ninguna de las herramientas algebraicas discutidas hasta ahora es suficiente para resolver ecuaciones exponenciales. Considera la ecuación 2 x = 10 anterior. Sabemos que 2 3 = 8 y 2 4 = 16, por lo que es claro que x debe ser algún valor entre 3 y 4 ya que g (x) = 2 x está aumentando. Podríamos usar la tecnología para crear una tabla de valores o gráfica para estimar mejor la solución, pero nos gustaría encontrar una forma algebraica de resolver la ecuación.
Necesitamos una operación inversa a la exponenciación para resolver para la variable si la variable está en el exponente. Como aprendimos en la clase de álgebra (requisito previo para este curso de matemáticas finitas), la función inversa para una función exponencial es una función logarítmica.
También aprendimos que una función exponencial tiene una función inversa, porque cada valor de salida (y) corresponde a un solo valor de entrada (x). El nombre que se le dio a esta propiedad era “uno a uno”.
Fuente: El material de esta sección del libro de texto proviene de David Lippman y Melonie Rasmussen, Librería de texto abierto, Precálculo: Una investigación de funciones, “Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas”, licenciado bajo licencia Creative Commons CC BY-SA 3.0. El material aquí se basa en material contenido en ese libro de texto pero ha sido modificado por Roberta Bloom, según lo permitido bajo esta licencia.
La función logaritmo (base b), escrita log b (x), es la inversa de la función exponencial (base b), b x.
\[\mathbf{y=\log_{b}(x)} \quad \textbf{ is equivalent to } \quad \mathbf{b^y=x} \nonumber \]
En general, el enunciado\(b^a = c\) es equivalente al enunciado\(\log_b(c) = a\).
Nota: La base\(b\) debe ser positiva:\(b>0\)
Propiedad inversa de logaritmos
Dado que el logaritmo y exponencial son inversos, se deduce que:
\[ \log_{b}(b^x) \quad \text{ and } b^{\log_{b}(x)}=x \nonumber \]
Dado que log es una función, se escribe más correctamente como log b (c), usando paréntesis para denotar la evaluación de funciones, tal como lo haríamos con f (c). Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o número, es común ver los paréntesis caídos y la expresión escrita como log b c.
Escribe estas ecuaciones exponenciales como ecuaciones logarítmicas:
- 2 3 = 8
- 5 2 = 25
- \(10^{-3} = \frac{1}{1000}\)
Solución
a. 2 3 = 8 se puede escribir como una ecuación logarítmica como log 2 (8) = 3b. 5 2 = 25 puede escribirse como una ecuación logarítmica como log 5 (25) = 2
c. se\(10^{-3} = \frac{1}{1000}\) puede escribir como una ecuación logarítmica como\(\log _{10}\left(\frac{1}{1000}\right)=-3\)
Escribe estas ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales:
- \(\log _{6}(\sqrt{6})=\frac{1}{2}\)
- \(\log _{3}(9)=2\)
Solución
- \(\log _{6}(\sqrt{6})=\frac{1}{2}\)se puede escribir como una ecuación exponencial como\(6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)
- \(\log _{3}(9)=2\)se puede escribir como una ecuación exponencial como\(3^{2}=9\)
Al establecer la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas, ahora podemos resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales básicas mediante la reescritura.
Resolver log 4 (x) = 2 para x.
Solución
Al reescribir esta expresión como exponencial, 4 2 = x, entonces x = 16
Resuelve 2 x = 10 para x.
Solución
Al reescribir esta expresión como un logaritmo, obtenemos x = log 2 (10)
Si bien esto sí define una solución, es posible que la encuentre algo insatisfactoria ya que es difícil comparar esta expresión con la estimación decimal que hicimos anteriormente. Además, dar una expresión exacta para una solución no siempre es útil, a menudo realmente necesitamos una aproximación decimal a la solución. Por suerte, esta es una tarea en la que las calculadoras y las computadoras son bastante hábiles. Por desgracia para nosotros, la mayoría de las calculadoras y computadoras solo evaluarán logaritmos de dos bases: base 10 y base e. Felizmente, esto termina por no ser un problema, ya que veremos pronto que podemos usar una fórmula de “cambio de base” para evaluar logaritmos para otras bases.
Logaritmos comunes y naturales
El logaritmo común es el logaritmo con base 10, y normalmente se escribe\(\log (x)\) y a veces como\(\log_{10} (x)\). Si la base no está indicada en la función log, entonces la base b utilizada es\(b=10\).
El logaritmo natural es el logaritmo con base\(e\), y normalmente se escribe\(\ln (x)\).
Tenga en cuenta que para cualquier otra base b, que no sea 10, la base debe indicarse en la notación\(\log_b (x)\).
Evaluar\(\log(1000)\) usando la definición del registro común.
Solución
La tabla muestra los valores del log común
| número | número como exponencial | log (número) |
|---|---|---|
| 1000 | 10 3 | 3 |
| 100 | 10 2 | 2 |
| 10 | 10 1 | 1 |
| 1 | 10 0 | 0 |
| 0.1 | 10 -1 | -1 |
| 0.01 | 10 -2 | -2 |
| 0.001 | 10 -3 | -3 |
Para evaluar log (1000), podemos decir
\[ x = \log(1000) \nonumber \]
Luego reescribe la ecuación en forma exponencial usando la base logarítmica común de 10
\[10^x = 1000 \nonumber \]
A partir de esto, podríamos reconocer que 1000 es el cubo de 10, entonces
\[x=3 \nonumber \]
Alternativamente, podemos usar la propiedad inversa de los registros para escribir
\[\log_{10}(10^3) = 3 \nonumber \]
Evaluar\(\log\left(\dfrac{1}{1,000,000}\right)\)
Solución
Para evaluar log (1/1,000,000), podemos decir
\[x=\log (1 / 1,000,000)=\log \left(1 / 10^{6}\right)=\log \left(10^{-6}\right) \nonumber \]
Luego reescribe la ecuación en forma exponencial:\(10^{x}=10^{-6}\)
Por lo tanto\(x = -6\)
Alternativamente, podemos usar la propiedad inversa de los registros para encontrar la respuesta:
\[ \log _{10}\left(10^{-6}\right)=-6 \nonumber \]
Evaluar
- \(\ln e^5\)
- \(\ln \sqrt{e}\)
Solución
a. Evaluar\(\ln e^5\), podemos decir
\[ x = \ln e^5 \nonumber \]
Luego reescribe en forma exponencial usando la base logarítmica natural de e
\[ e^x = e^5 \nonumber \]
Por lo tanto\(x = 5\).
Alternativamente, podemos usar la propiedad inversa de los registros para escribir\(\ln \left(e^{5}\right)=5\).
b. Para evaluar\(\ln \sqrt{e}\), recordamos que las raíces están representadas por exponentes fraccionarios
\[\mathrm{x}=\ln \sqrt{e}=\ln (\sqrt{e})=\ln \left(e^{1 / 2}\right) \nonumber \]
Luego reescribe en forma exponencial usando la base logarítmica natural de e
\[\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1 / 2} \nonumber \]
Por lo tanto\(x = 1/2\)
Alternativamente, podemos usar la propiedad inversa de los registros para escribir
\[(\ln \left(\mathrm{e}^{1 / 2}\right)=1 / 2 \nonumber \]
Evalúe lo siguiente usando su calculadora o computadora:
- \(\log 500\)
- \(\ln 500\)
Solución
a. Utilizando la clave LOG de la calculadora para evaluar logaritmos en base 10, evaluamos LOG (500)
Respuesta:\(\log 500 \approx 2.69897\)
b. Utilizando la clave LN en la calculadora para evaluar logaritmos naturales, evaluamos LN (500)
Respuesta:\(\ln 500 \approx 6.214608\)
Algunas propiedades de logaritmos
A menudo necesitamos evaluar logaritmos usando una base distinta a 10 o e. Para encontrar una manera de utilizar las funciones de logaritmo comunes o naturales para evaluar expresiones como log 2 (10), necesitamos algunas propiedades adicionales.
\[\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A) \nonumber \]
La propiedad exponente nos permite encontrar un método para cambiar la base de una expresión logarítmica.
\[\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)} \text { for any bases } b, c>0 \nonumber \]
Para mostrar por qué estas propiedades son ciertas, ofrecemos pruebas.
Comprobante de propiedad de exponente:\(\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A)\)
Dado que las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas,
\[\log _{b}\left(A^{q}\right)=\mathrm{A} \nonumber \]
Entonces
\[A^{q}=\left(b^{\log _{b} A}\right)^{q} \nonumber \]
Utilizando la regla exponencial que establece\(\left(x^{p}\right)^{q}=x^{p q}\), obtenemos
\[A^{q}=\left(b^{\log _{b} A}\right)^{q}=b^{q \log _{b} A} \nonumber \]
Entonces\[\log _{b} A^{q}=\log _{b} b^{q \log _{b} A} \nonumber \]
Una vez más, utilizando la propiedad inversa en el lado derecho produce el resultado
\[\log _{b} A^{q}=q \log _{b} A \nonumber \]
Comprobante de Cambio de Propiedad Base:\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) para cualquier base\(b\),\(c >0\)
Vamos\(\log _{b}(A)=x\).
La reescritura como un exponencial da\(b^x = A\).
Tomando la base logarítmica\(c\) de ambos lados de esta ecuación da\(\log _{c} b^{x}=\log _{c} A\).
Ahora utilizando la propiedad de exponente para registros en el lado izquierdo,
\[x \log _{c} b=\log _{c} A \nonumber \]
Dividiendo, obtenemos\(x=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) cual es el cambio de fórmula base.
Evaluando logaritmos
Con el cambio de fórmula base,\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) para cualquier base\(b\)\(c >0\),, finalmente podemos encontrar una aproximación decimal a nuestra pregunta desde el inicio de la sección.
Resolver\(2^x = 10\) para\(x\).
Solución
Reescribir la ecuación exponencial 2 x = 10 como una ecuación logarítmica
\[x=\log _{2}(10) \nonumber \]
Usando el cambio de fórmula base, podemos reescribir log base 2 como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar logaritmo natural, podemos elegir usar el logaritmo natural, que es la base logarítmica e:
Usando nuestras calculadoras para evaluar esto,\(\frac{\ln (10)}{\ln (2)}=\mathrm{LN}(10) / \mathrm{LN}(2) \approx 3.3219\)
Esto finalmente nos permite responder a nuestra pregunta original desde el inicio de esta sección:
Para la población de 50 moscas que se duplica cada semana, tardará aproximadamente 3.32 semanas en crecer a 500 moscas.
Evaluar\(\log_{5}(100)\) usando el cambio de fórmula base.
Solución
Podemos reescribir esta expresión usando cualquier otra base.
Método 1: Podemos usar logaritmo natural base e con el cambio de fórmula base
\[\log _{5}(100)=\frac{\ln (100)}{\ln (5)}=\mathrm{LN}(100) / \mathrm{LN}(5) \approx 2.861 \nonumber \]
Método 2: Podemos usar logaritmo común base 10 con el cambio de fórmula base,
\[\log _{5}(100)=\frac{\log (100)}{\log (5)}=\operatorname{LOG}(100) / \mathrm{LOG}(5) \approx 2.861 \nonumber \]
Resumimos la relación entre funciones exponenciales y logarítmicas
La función logaritmo (base b), escrita log b (x), es la inversa de la función exponencial (base b), b x.
\[\mathbf{y=\log_{b}(x)} \quad \textbf{ is equivalent to } \quad \mathbf{b^y=x} \nonumber \]
En general, el enunciado\(b^a = c\) es equivalente al enunciado\(\log_b(c) = a\).
Nota: La base b debe ser positiva: b>0
Propiedad inversa de logaritmos
Dado que el logaritmo y exponencial son inversos, se deduce que:
\[ \log_{b}(b^x) \quad \text{ and } b^{\log_{b}(x)}=x \nonumber \]
Propiedades de Logs: Propiedad Exponencial:\(\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A) \nonumber\)
Propiedades de Troncos: Cambio de Base:\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)} \text { for any base } b, c>0 \nonumber\)
El inverso, exponencial y cambio de propiedades base anteriores nos permitirá resolver las ecuaciones que surgen en los problemas que encontramos en este libro de texto. Para completar, declaramos algunas propiedades más de logaritmos
Propiedad Suma de Registros:\(\log _{b}(A)+\log _{b}(C)=\log _{b}(A C)\)
Diferencia de Propiedad de Registros: \(\log _{b}(A)-\log _{b}(C)=\log _{b}\left(\frac{A}{C}\right)\)
Registros de Reciprocales:\(\log _{b}\left(\frac{1}{C}\right)=-\log _{b}(C)\)
Bases Recíprocas:\(\log _{1 / b} C=-\log _{b}(C)\)
Fuente: El material de esta sección del libro de texto proviene de David Lippman y Melonie Rasmussen, Librería de texto abierto, Precálculo: Una investigación de funciones, “Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas”, licenciado bajo licencia Creative Commons CC BY-SA 3.0. El material aquí se basa en material contenido en ese libro de texto pero ha sido modificado por Roberta Bloom, según lo permitido bajo esta licencia.